數(shù)學(xué)問(wèn)題解答

2017年9月號(hào)問(wèn)題解答解答由問(wèn)題提供人給出)

2381設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng),對(duì)應(yīng)邊上的中線長(zhǎng),角平分線長(zhǎng),高線長(zhǎng),半周長(zhǎng),外接圓及內(nèi)切圓半徑分別為a,b,c,ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc,s,R,r,則有

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

由角平分線長(zhǎng)公式

及正弦定理,得

注意到由面積公式

及正弦定理可推得

又∑cotBcotC=1，

那么有

另一方面,注意到由中線長(zhǎng),角平分線長(zhǎng)及高線長(zhǎng)公式可得

2382如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)上的一點(diǎn)，且CE=AD．延長(zhǎng)AC交DE于F，F(xiàn)G∥BE交CD于G，F(xiàn)H∥AD交AE于H.

求證：(1)FG=FH；(2)AF⊥GH．

(濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 紀(jì)保存 457000)

證明(1)由等高三角形的面積比等于底邊之比，得

①

②

③

再由共角三角形面積比定理，得

④

①×②×③×④，并注意到

AB=BC，CE=AD，

因?yàn)镕G∥BE，F(xiàn)H∥AD，

所以FG、FH分別是△DCE、△ADE的中位線，

由CE=AD即得FG=FH．

(2)由題意，知

∠BAC=∠BCA，∠BAC=∠AFH，

∠BCA=∠GFA，

于是∠AFH=∠AFG，

再由(1)得AF是等腰△GFH的頂角平分線，

故AF⊥GH．

2383n是大于3的奇數(shù)，證明：n！+1與(n! -n)！+1中至少有一個(gè)是合數(shù).

(浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000)

證明設(shè)p=n! +1是素?cái)?shù)，

則有p| (n! ) ! +1(Wilson定理).

(1)

另一方面，

由n! =p-1 及n! -n為奇數(shù)，得

(n! ) !

=1·2 …n·(n+1 ) … (n! -1) ·n!

程頤目光晃過(guò)來(lái)的時(shí)候，粒粒覺(jué)得不好意思，于是伸出手來(lái)說(shuō)：“你好?！背填U握住她的手，驚呼一聲：“你的手好涼！”

=n! (p-(n!-n)) … (p-2 ) (p-1 )

=(p-1) · (hp+( -1 )n !-n· (n! -n) !)

=lp+(n! -n) ! , 其中h,l∈Z,

故 (n! ) ! +1=lp+ (n! -n) ! +1，

由此和(1)推出p| (n! -n) ! +1.

(2)

又n>3?n-1>2? (n-1)!>2?n!>2n

?n!-n>n?(n!-n) ! +1>n!+1，

即 (n! -n) ! +1>p，

由此和(2) 知 (n!-n) ! +1必為合數(shù)，

這就證明了n!+1 (n! -n) ! +1中總有一個(gè)是合數(shù) .

注意到本題中n與n! -n同為正奇數(shù)，于是由所證的結(jié)論立即得出：存在無(wú)窮多個(gè)正奇數(shù)m，使得m! +1 是合數(shù) .

此外注意到：k|n?k|n!-n，由此和本題結(jié)論又推出：對(duì)于給定的正奇數(shù)k，存在無(wú)窮多個(gè)正奇數(shù)r使得(kr)!+1是合數(shù) .

2384設(shè)a,b,c分別表示△ABC三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)，求證：

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

證明因?yàn)?/p>

所以

同理

以上三式左右兩端分別相加，并利用三角形射影定理

a=bcosC+ccosB，

b=ccosA+acosC，

c=acosB+bcosA，

可得

(2)

(2)式整理即得(1)式．

2385如圖，⊙O與⊙O1內(nèi)切于點(diǎn)A，⊙O與⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)B，且⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)C、D，AB交CD于點(diǎn)T. 求證：S△TOO1=S△TOO2.

(重慶市合川太和中學(xué) 袁安全 401555)

證明如圖所示.設(shè)直線AB分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)E、F，則易知A、O、O1及B、O、O2分別共線.又設(shè)直線EO1與FO2交于點(diǎn)M.則易得

∠E=∠O1AE=∠OAB=∠OBA

=∠O2BF=∠F.

即ME∥O2B，MF∥O1A.

于是 四邊形MO1OO2是平行四邊形,

所以O(shè)M與O1O2互相平分于點(diǎn)N，

即NO1=NO2.

再設(shè)射線MO交AB于點(diǎn)T′.

①

又易得TA·TE=TC·TD=TB·TF,

②

比較①、②可知T′與T兩點(diǎn)重合,

即，M、O、T三點(diǎn)共線.

所以，M、N、O、T四點(diǎn)共線.

故S△TOO1=S△TOO2.

2017年10月號(hào)問(wèn)題

(來(lái)稿請(qǐng)注明出處——編者)

S△BP1Q1·S△BP2Q2=S△FA1P1·S△FA2P2．

(北京市陳經(jīng)綸中學(xué) 張留杰 100020)

2387設(shè)a,b,c≥0，a+b+c=6，求證：

(陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000 )

2388如圖，經(jīng)過(guò)直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A作斜腰CD的平行線交下底BC于點(diǎn)M，△DBC的外接圓ω1交直線DM于點(diǎn)D,G，△AMC的外接圓ω2交ω1于點(diǎn)C,F，△BGM的外接圓ω3交ω2于點(diǎn)M,E，證明：直線BE,CF,DG交于一點(diǎn)，且此點(diǎn)為△AMC的重心.

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

2390如圖，已知⊙O上四點(diǎn)A、B、C、D，BA交CD于E，AC交BD于F，EF交⊙O于H、G，K為EF中點(diǎn)，以點(diǎn)A、K、C作圓交EG于T，求證：HF=TG．

(江西師范高等?？茖W(xué)校 王建榮 335000；溫州私立第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉沙西 325000)