同循合數(shù)

何鴻猷

循合數(shù)除1以外的所有因數(shù)可以表示成1+nr；質(zhì)數(shù)除2，3外都可以表示成(1+6r)和(5+6r)，因此同循合數(shù)中的因數(shù)又可以表示成（1+gr）和（m+gr），以利分解.

【關(guān)鍵詞】同循合數(shù)；全1數(shù)オ

什么是同循合數(shù)？以不含因數(shù)2，5的合數(shù)為分母的真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)為純循環(huán)小數(shù).不含因數(shù)2，5的合數(shù)可分為：

(1)同因合數(shù)：如3瑀(r大于1)，（設(shè)j為循環(huán)節(jié)位數(shù)5個(gè)字，n為循環(huán)節(jié)數(shù)字，即j=n，以下同）1[]3瑀，j=3﹔-2.設(shè)P為除2,3,5以外的所有質(zhì)數(shù)，再設(shè)1[]p,j=np瑀（r大于1)為同因合數(shù)，1[]p瑀，j=p﹔-1×n.

（2)純異因合數(shù)：如3×11×37×7×13=111111.73×137=10001.

(3)混異因合數(shù)：如3×3×37×333667=111111111.7×7×11×11=5929.

11×11×23×4093×8779=100000000001.

將混異因合數(shù)中的同因合數(shù)視為一個(gè)因數(shù)，純異因合數(shù)與混異因合數(shù)又通稱(chēng)異因合數(shù).以異因合數(shù)為分母的真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)的位數(shù)是其中各因數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù).如：3×11×37×7×13=111111，1[]3=0.3·,猨=1.1[]11=0.0·9·，j=2.1[]37=0.0·27·，j=3.1[]7=0.1·42857·，﹋=6.1[]13=0.0·76923·，j=6.1,2,3,6,6的最小公倍數(shù)是6.1[]111111=0.0·00009·,猨=6.再如：7×7×11×11=1[]72×1[]112=5929，1[]72，﹋=72-1×6=42.

1[]112，j=112-1×2=22.42和22的最小公倍數(shù)是42×11=462，1[]5929，j=462.

在純異因合數(shù)中，有這樣一種合數(shù)，除因數(shù)1外，其他所有因數(shù)、質(zhì)因數(shù)分別為分母的真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)的位數(shù)都完全相等，具有這一特點(diǎn)的合數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)同循合數(shù).如11111=41×271,1[]11111=0.0·0009·,1[]41=0.0·2439·,1[]271=0.0·0369·.11111是同循合數(shù).

同循合數(shù)還可以作如下理解：即每一個(gè)自然數(shù)都有質(zhì)數(shù)為分母的真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)位數(shù)與之對(duì)應(yīng)，有唯一一個(gè)的，也有兩個(gè)或兩個(gè)以上的，凡兩個(gè)以上與某個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的所有質(zhì)數(shù)的積就是同循合數(shù).

1[]3 j=1，1[]11 j=2，1[]37 j=3，1[]101 j=4，1[]333667 j=9，1[]9091 j=10，1[]9901 j=12，1[]909091 j=14.以上對(duì)應(yīng)例子質(zhì)數(shù)為分母都是唯一的，如再有第二個(gè)，它一定是合數(shù).

11111=41×271，1[]41 j=5，1[]271 j=5,91=7×13，1[]7，﹋=6,1[]13,j=6.

1111111111111=53×79×265371653，1[]53 j=13，1[]79 j=13，1[]265371653 j=13.

826446281=23×4093×8779，1[]23 j=22，1[]4093 j=22，1[]8779 j=22.

10000000000000001=353×449×641×1409×69857，1[]353 j=32,1[]449 j=32，1[]641 j=32，1[]1409 j=32，1[]69857 ﹋=32，以上對(duì)應(yīng)例子質(zhì)數(shù)為分母都是兩個(gè)或兩個(gè)以上，11111，91，1111111111111，826446281，10000000000000001等都是同循合數(shù)，對(duì)應(yīng)質(zhì)數(shù)在三個(gè)以上的部分質(zhì)數(shù)的積，可稱(chēng)為部分同循合數(shù)以示區(qū)別.

同循合數(shù)寓于n位全1數(shù)中，（為敘述方便特稱(chēng)大于1位各位都是數(shù)碼1的數(shù)為n位全1數(shù).為書(shū)寫(xiě)方便特引入記號(hào)《n》表示n位全1數(shù)，如：《21》表示21位全1數(shù)）《n》不含因數(shù)2，5，以《n》為分母的真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)，為純循環(huán)小數(shù)，且循環(huán)節(jié)的位數(shù)等于n位.下面來(lái)推導(dǎo)它：

1[]7=0.1·42857·.

1[]7×142857=1[]999999=0.0·00001·.

1[]111111=0.0·00009·，j=6.

以合數(shù)為分母的真分?jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)節(jié)位數(shù)是其中各因數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù)，所以在《n》中，必有至少一個(gè)甚至多個(gè)質(zhì)數(shù)以它們?yōu)榉帜傅恼娣謹(jǐn)?shù)化為循環(huán)小數(shù)，j=n.這也可以從另一個(gè)角度證明質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多.

全1數(shù)可分為質(zhì)數(shù)位全1數(shù)與合數(shù)位全1數(shù)，質(zhì)數(shù)位全1數(shù)自身如不是質(zhì)數(shù)，除《3》外，它便是同循合數(shù)；合數(shù)位全1數(shù)，約去其中小于n位的全1數(shù)因數(shù)（約去其中循環(huán)節(jié)小于n位的因數(shù)）后，如果不是質(zhì)數(shù)便也是同循合數(shù).在約分時(shí)要注意既不能重約也不能少約.如《42》有全1數(shù)因數(shù)《21》、《2》、《3》、《14》、《6》、《7》，若先約去《21》，同時(shí)也就約去了《7》和《3》，如再約《14》時(shí)，必須先從《14》中約去《7》；《14》÷《7》=10000001；10000001=11×909091，最后再約《6》時(shí)必須從111111÷111÷11=91，如此可以避免重約，但還要注意少約，因?yàn)椤?2》是混異因合數(shù)，其中有因數(shù)72，1[]72，j=72-1×6=42,約去了91，91=7×13，只約去了一個(gè)7，還要再約去一個(gè)7，這一點(diǎn)要特別注意.全1數(shù)中有混異因合數(shù)，如：《9r》、《22r》、《42r》、《78r》……

《42》÷《21》÷1000001÷91÷7=156985855573.

156985855573=127×2689×459691.

1[]127 j=42，1[]2689 j=42，1[]459691 j=42.

從n位全1數(shù)中得到的同循合數(shù)，循環(huán)節(jié)的位數(shù)是已知數(shù)，這樣同循合數(shù)中的因數(shù)除1外，其他因數(shù)質(zhì)因數(shù)都可以表示成1+nr(n是循環(huán)節(jié)位數(shù)，r為自然數(shù)).質(zhì)數(shù)除2,3外又都可以表示成6r+1或6r-1(1+6r或5+6r)，因此同循合數(shù)中的6r+1數(shù)，就可以表示成1+gr(g為n和6的最小公倍數(shù))，同循合數(shù)中的6r-1數(shù)就可以表示成m+gr(m為m÷n……1,

m÷6……5中最小的數(shù)）.m可根據(jù)下列公式來(lái)求：若n=6r+1，m=4n+1.n=6r+2，m=2n+1.n=6r+4，m=n+1.n=6r+5,m=2n+1.n=3r,凡n=3r因數(shù)都是1+6r數(shù).這樣求出的m和g是最基本的，根據(jù)需要，只要不超過(guò)質(zhì)數(shù)本身(m+gr)+gx，(1+gr)+gy都不會(huì)影響因數(shù)的數(shù)值,g實(shí)際是同循合數(shù)與它的兩個(gè)因數(shù)之間共同因數(shù)的最小公倍數(shù)，如能判斷出三者還另有共同因數(shù)，則g就可以擴(kuò)大.如《11》是6r-1數(shù)，n=11，m=23，g=66.(23+66x)(1+66y)=《11》.如判斷出兩個(gè)因數(shù)的尾數(shù)是9,那么(23+66)=89，(1+66×3)=199.這樣g又可以擴(kuò)大5倍，66×5=330,（89+330x）（199+330y）=《11》.下面來(lái)征明質(zhì)數(shù)除2,3外都可表示成6r+1或6r-1.將自然數(shù)依下表排列：

【1】[]【2】[]【3】[]【4】[]【5】[]【6】

1，2，3，4，5[]6[]7[]8[]9[]10

11[]12[]13[]14[]15[]16

[BH]17[]18[]19[]20[]21[]22

……[]……[]……[]……[]……[]……

（6r-1）[]6r[](6r+1)[](6r+2)[](6r+3)[](6r+4)

(6r-1)[]6r[](6r+1)[]2(3r+1)[]3(2r+1)[]2(3r+2)

【1】列和【3】列提不出公因數(shù)，【2】,【4】,【5】,【6】等列明顯是合數(shù).所以質(zhì)數(shù)除2,3外，均在【1】列和【3】列中，這就證明了質(zhì)數(shù)除2,3外都可以表示成6r+1或6r-1.而且（6r+1）(6r+1)，積仍可以表示成6r+1；（6r-1)(6r-1)，積可以表示成6r+1；(6r+1)(6r-1),積可以表示成6r-1.【1】和【3】相互的積，仍在【1】和【3】數(shù)列之中.

質(zhì)因數(shù)分6r+1數(shù)和6r-1數(shù)且尾數(shù)分別是1,3,7,9.﹋=5r的質(zhì)因數(shù)有兩種情況，即：1+gr和m+gr且尾數(shù)都是1.j=3r的，它的因數(shù)都是6r+1數(shù)，且尾數(shù)可能是1,3,7,9.循環(huán)節(jié)的位數(shù)是3和5的最小公倍數(shù)即15的倍數(shù)時(shí)，只有一種情況，即：尾數(shù)是1的6r+1數(shù).其他的則可能出現(xiàn)八種情況，即：6r+1數(shù)和6r-1數(shù)的尾數(shù)分別都可能是1,3,7,9.除j=5r外，其他的前一部分只要尾數(shù)確定了g就可以擴(kuò)大5倍.已知循環(huán)節(jié)的位數(shù)，欲求對(duì)應(yīng)的質(zhì)數(shù)，就去分解對(duì)應(yīng)的全1數(shù).