奇合數(shù)的構(gòu)成規(guī)律研究

康湘蘭，周東平

（1.利歐股份有限公司，溫嶺317500；2.溫嶺市新河中學(xué)，溫嶺317500）

0 引 言

合數(shù)是與素?cái)?shù)相對(duì)應(yīng)的概念.除了1和本身之外，還可以被其它自然數(shù)整除的數(shù)稱為合數(shù).既是合數(shù)又是奇數(shù)的數(shù)被稱為奇合數(shù).即奇合數(shù)就是能夠被除1和本身以外其他一個(gè)或幾個(gè)自然數(shù)整除的正奇數(shù).例如：9、15、21等都是奇合數(shù).

正奇數(shù)集是由1與奇合數(shù)及素?cái)?shù)組成的.對(duì)于素?cái)?shù)的構(gòu)成規(guī)律有大量的研究，但是最好的研究結(jié)果還是中國(guó)陳景潤(rùn)得出的“1＋2”.本文就奇合數(shù)的構(gòu)成規(guī)律進(jìn)行探究，試圖從素?cái)?shù)與奇數(shù)相乘構(gòu)成奇合數(shù)的關(guān)系著手找出奇合數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，從而為研究素?cái)?shù)分布提供方便.

1 素?cái)?shù)與奇數(shù)的乘積構(gòu)成奇合數(shù)

所有的奇合數(shù)可以看成是由一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)奇數(shù)的乘積來生成的，每個(gè)素?cái)?shù)都可能生成一系列的奇合數(shù)，例如：9＝3＊3，15＝3＊5，125＝5＊25等等.通過公式它們可以表示為：

這些公式中的n是不確定的，能否有確定的公式來表達(dá)奇合數(shù)，下面一起去探尋.

2 奇合數(shù)構(gòu)成規(guī)律

假設(shè)某一素?cái)?shù)a n與其相鄰的下一個(gè)素?cái)?shù)a n＋1的平方之間的奇合數(shù)要么是由a n前面的素?cái)?shù)與某一奇數(shù)相乘生成的，要么是由a n本身與某一奇數(shù)相乘生成的.下面以上述5個(gè)公式為例，對(duì)奇合數(shù)組成規(guī)律進(jìn)行分析研究.

2.1 素?cái)?shù)a 1＝3生成的奇合數(shù)的規(guī)律

根據(jù)公式①，我們計(jì)算出100以內(nèi)由3產(chǎn)生的奇合數(shù)如表1所示.

表1 100以內(nèi)由3產(chǎn)生的奇合數(shù)

通過歸納法，可以找到通項(xiàng)公式為：y1＝6n＋3×3（n＝0，1，2……），此為首項(xiàng)為9，公差為6的等差數(shù)列.

2.2 素?cái)?shù)a 2＝5生成的奇合數(shù)的規(guī)律

根據(jù)上述公式②，我們計(jì)算出500以內(nèi)由5產(chǎn)生的奇合數(shù)如表2所示.

表2 500以內(nèi)由5產(chǎn)生的奇合數(shù)

2.3 素?cái)?shù)a 3＝7生成的奇合數(shù)的規(guī)律

根據(jù)上述公式③計(jì)算650以內(nèi)由7產(chǎn)生的奇合數(shù)如表3所示.

表3 八組由7生成的奇合數(shù)

通過歸納法，可以找到8個(gè)通項(xiàng)公式，它們?yōu)?個(gè)不同首項(xiàng)、相同公差的等差數(shù)列，如表4所示.

表4 八組通項(xiàng)公式表達(dá)式

其中表2中的n＝0，1，2…….其中本文中的“＊”為乘積符號(hào).

2.4 素?cái)?shù)a 4＝11生成的奇合數(shù)的規(guī)律

根據(jù)上述公式④計(jì)算9260以內(nèi)由11產(chǎn)生的奇合數(shù)，共可分為48組，如表5所示.

表5 四十八組由11生成的奇合數(shù)

通過歸納法，可以找到48個(gè)通項(xiàng)公式，他們?yōu)?8個(gè)不同首項(xiàng)，相同公差的等差數(shù)列，如表6所示.

表6 四十八組等差數(shù)列的表達(dá)式

其中表4中的n＝0，1，2…….

2.5 素?cái)?shù)a 5＝13生成的奇合數(shù)的規(guī)律

根據(jù)公式⑤計(jì)算90260以內(nèi)由13產(chǎn)生的奇合數(shù)，共可分為481組，部分這樣的奇合數(shù)如表7所示.

表7 部分由13生成的奇合數(shù)

23 1391 31421 61451 71 4537 34567 64597 24 1417 31447 61477 72 4589 34619 64649 25 1469 31499 61529 73 4667 34697 64727 26 1651 31681 61711 74 4693 34723 64753 27 1703 31733 61763 75 4771 34801 64831 28 1781 31811 61841 76 4849 34879 64909 29 1807 31837 61867 77 4901 34931 64961 30 1937 31967 61997 78 4927 34957 64987 31 1963 31993 62023 79 4979 35009 65039 32 2041 32071 62101 80 5057 35087 65117 33 2119 32149 62179 81 5083 35113 65143 34 2171 32201 62231 82 5161 35191 65221 35 2197 32227 62257 83 5213 35243 65273 36 2249 32279 62309 84 5239 35269 65299 37 2327 32357 62387 85 5317 35347 65377 38 2353 32383 62413 86 5447 35477 65507 39 2483 32513 62543 87 5473 35503 65533 40 2509 32539 62569 88 5603 35633 65663 41 2561 32591 62621 89 5629 35659 65689 42 2587 32617 62647 90 5681 35711 65741 43 2743 32773 62803 91 5707 35737 65767 44 2873 32903 62933 92 5759 35789 65819 45 2899 32929 62959 93 5837 35867 65897 46 2951 32981 63011 94 5941 35971 66001 47 2977 33007 63037 95 5993 36023 66053 48 3029 33059 63089 96 6019 36049 66079

通過歸納法，可以找到481個(gè)通項(xiàng)公式，它們?yōu)?81個(gè)不同首項(xiàng)，相同公差的等差數(shù)列.這些公式與表7中數(shù)據(jù)一一對(duì)應(yīng).部分通項(xiàng)公式如表8所示，

表8 部分等差數(shù)列的表達(dá)式

其中表6中的n為：0，1，2，…….

3 結(jié) 論

根據(jù)上面的分析，可以得出以下結(jié)論：

奇合數(shù)集合可以分解由素?cái)?shù)生成的無數(shù)個(gè)等差數(shù)列，即奇合數(shù)集合可以表示為無數(shù)個(gè)等差數(shù)列的并集.等差數(shù)列的形式可以表示為：Y＝Cn＋B，B為等差數(shù)列的首項(xiàng)，C為等差數(shù)列的公差，n為非負(fù)整數(shù).其中由素?cái)?shù)a1生成的奇合數(shù)的等差數(shù)列可以表示為Y＝6n＋3×3（n為非負(fù)整數(shù)），由其他的素?cái)?shù)an生成的奇合數(shù)的等差數(shù)列Y＝Cn＋B表達(dá)式中，C可以表示為：6×a2×a3×…，×an，B可以表示成為a n×N，其中N是包含[an，6×a2×a3×…×an－1]之間所有素?cái)?shù)的非連續(xù)整數(shù)集合，其中里面的整數(shù)不包括an之前任何一個(gè)素?cái)?shù)形成的奇合數(shù).

[1]潘承洞.素?cái)?shù)分布與哥德巴赫猜想[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，1979.

[2]周海中.梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，31（4）.