讓學(xué)生經(jīng)歷真正的建模歷程*
——源于三道高三調(diào)研測(cè)試應(yīng)用題的深度比較分析

曾 榮

(南通市教育科學(xué)研究院 226001)

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)．高考中對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查主要體現(xiàn)在應(yīng)用題的考查上．筆者每年要組織、參加幾次市級(jí)調(diào)研試卷的命題、閱卷、分析工作，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解答應(yīng)用題的過(guò)程中受到諸多因素的影響，有內(nèi)部因素，如知識(shí)基礎(chǔ)、信念動(dòng)機(jī)、解題策略等；也有外部因素，如問(wèn)題情境、試題類型、設(shè)問(wèn)方式等．其中問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式往往體現(xiàn)了試題的建模要求，對(duì)解答應(yīng)用題產(chǎn)生了較大影響．本文結(jié)合三道高三調(diào)研測(cè)試應(yīng)用題的深度比較，嘗試說(shuō)明設(shè)問(wèn)方式對(duì)應(yīng)用題解答的影響，并提出相關(guān)教學(xué)建議．

2 深度比較

2.1 試題再現(xiàn)

題1(2016江蘇南通第三次調(diào)研測(cè)試)某賓館在裝修時(shí)，為了美觀，欲將客房的窗戶設(shè)計(jì)成半徑為1 m的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個(gè)區(qū)域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形．現(xiàn)計(jì)劃將矩形ABCD區(qū)域設(shè)計(jì)為可推拉的窗口．

(2)若四根木條總長(zhǎng)為6 m，求窗口ABCD面積的最大值．

評(píng)注本題的創(chuàng)作靈感來(lái)自于筆者命題時(shí)住宿的賓館的窗戶，左圖為實(shí)物圖形．問(wèn)題的背景源于生活實(shí)際，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)，同時(shí)這樣的背景也可保證試題的公平性．

題2(2017江蘇南通第一次調(diào)研測(cè)試)如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6 m，寬2 m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪．已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C，D分別落在直線BC下方點(diǎn)M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P)，再沿直線PE裁剪．

題2圖

(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說(shuō)明理由．

評(píng)注本題的創(chuàng)作靈感來(lái)自于教材中的折紙問(wèn)題，將其改編成了工程背景的問(wèn)題．這樣的模型學(xué)生理解題意方便，建模角度多樣，能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

題3(2016江蘇南通第一次調(diào)研測(cè)試)如圖，陰影部分為古建筑物保護(hù)群所在地，其形狀是以O(shè)1為圓心，半徑為1 km的半圓面．公路l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且與直徑OA垂直．現(xiàn)計(jì)劃修建一條與半圓相切的公路PQ(點(diǎn)P在直徑OA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在公路l上)，T為切點(diǎn)．

(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系：

①設(shè)∠OPQ=α(rad)，將△OPQ的面積S表示為α的函數(shù)；

②設(shè)OQ=t(km)，將△OPQ的面積S表示為t的函數(shù)．

(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求△OPQ的面積S的最小值．

題3圖

評(píng)注本題的情境改編自江蘇2014年高考應(yīng)用題，設(shè)置方式則參考了江蘇2008年江蘇高考應(yīng)用題，圖形改編自普通高中課程實(shí)驗(yàn)教材(蘇教版)數(shù)學(xué)必修5第19頁(yè)例4：

如圖所示，已知半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC=1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值．

2.2 成績(jī)比較

題1題2題3調(diào)研人數(shù)25427人28828人28998人預(yù)設(shè)難度0.5～0.550.5～0.550.5～0.55考試時(shí)機(jī)二輪復(fù)習(xí)基本完成以后一輪復(fù)習(xí)基本完成以后一輪復(fù)習(xí)基本完成以后學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備比較完善,綜合運(yùn)用知識(shí)的能力趨于成熟知識(shí)儲(chǔ)備相對(duì)欠缺,綜合運(yùn)用知識(shí)的能力相對(duì)薄弱知識(shí)儲(chǔ)備相對(duì)欠缺,綜合運(yùn)用知識(shí)的能力相對(duì)薄弱實(shí)際平均分5.08分8分9.6分實(shí)際難度0.3175明顯低于預(yù)設(shè)0.5與預(yù)設(shè)相當(dāng)0.6略高于預(yù)設(shè)

2.3 試題比較

(1)相同點(diǎn)比較

預(yù)設(shè)難度卷中位置知識(shí)載體試題背景解決目標(biāo)解題方案試題總分問(wèn)題情境相同點(diǎn)0.5～0.55,中檔題第18題,共20題以函數(shù)考查為主,融入三角函數(shù)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等均結(jié)合生活實(shí)際,以平面幾何圖形為載體均與最值有關(guān)解決方案不唯一,均可以一題多解16分與日常生活有關(guān),題意易理解

(2)不同點(diǎn)比較

分值分配設(shè)問(wèn)方式建模要求不同點(diǎn)題1題2題3題1題2題3題1題2題35+11,第一問(wèn)5分,第二問(wèn)11分5+11,第一問(wèn)5分,第二問(wèn)11分10+6,第一問(wèn)又分兩小問(wèn),各5分,第二問(wèn)6分問(wèn)題開(kāi)放,未對(duì)設(shè)參方案作任何提示第一問(wèn)對(duì)第二問(wèn)具有一定的引導(dǎo)作用第一問(wèn)明確給出設(shè)參方法,第一問(wèn)為第二問(wèn)服務(wù)需要學(xué)生自主建模對(duì)建模方式進(jìn)行了暗示明確給出兩種建模方案,且給出了兩種設(shè)參方式供選擇

應(yīng)用題是高考中影響學(xué)生成績(jī)的關(guān)鍵題，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的高層次表現(xiàn)，反映出學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、建模能力．通過(guò)上面兩表的比較可以發(fā)現(xiàn)，雖然三道試題在試題考查目標(biāo)、知識(shí)載體、試題難度等方面差異不大，但由于設(shè)問(wèn)方式、建模要求上的差異，造成了巨大的得分差異．由此可見(jiàn)，學(xué)生要能解好應(yīng)用題，必須具備良好的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

3 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題解決的認(rèn)知過(guò)程是主體在數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控下，擺脫情節(jié)結(jié)構(gòu)、建立并處理數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的一種數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，由情境理解與問(wèn)題表征、問(wèn)題歸類與模式識(shí)別、建模解模與解題遷移、驗(yàn)?zāi)Ｓ媚Ｅc自我評(píng)價(jià)等4 個(gè)相互關(guān)聯(lián)的子系統(tǒng)組成的一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程．

大型考試中，由于考慮到學(xué)生基礎(chǔ)的差異、考試時(shí)間的限制，可能會(huì)通過(guò)改變?cè)O(shè)問(wèn)方式，適當(dāng)降低對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求，如題2、題3．但在日常應(yīng)用題教學(xué)中，我們應(yīng)立足數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，把探索實(shí)踐的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷真正的建模過(guò)程．下面結(jié)合題2的處理談相關(guān)教學(xué)建議．

3.1 改編設(shè)問(wèn)方式，創(chuàng)設(shè)建模機(jī)會(huì)

在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)于應(yīng)用題的教學(xué)，我們不能簡(jiǎn)單地停留在就題講題層面，而要善于精選試題，并合理重整加工，改編設(shè)問(wèn)方式，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)真正的建模機(jī)會(huì)．例如，對(duì)于題2，我們可以進(jìn)行如下的改編．

改編1如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6 m，寬2 m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪．已知點(diǎn)E在邊BC上，BE=2CE，點(diǎn)F在邊AD上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C，D分別落在直線BC下方點(diǎn)M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P)，再沿直線PE裁剪．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)F落在何處時(shí)，裁剪掉的四邊形MNPE面積最大？

改編1

評(píng)注本題可通過(guò)折紙實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬，折疊過(guò)程大致分為下圖五個(gè)環(huán)節(jié)．從臨界位置1到特殊位置，四邊形MNPE的面積等于正方形MNHE的面積減去直角三角形EPH的面積，其中正方形MNHE的面積為定值，直角三角形EPH的面積在不斷減小，故四邊形MNPE的面積在不斷增大；從特殊位置到臨界位置2，四邊形MNPE的面積等于正方形MNHE的面積加上直角三角形EPH的面積，其中正方形MNHE的面積為定值，直角三角形EPH的面積在不斷增大，故四邊形MNPE的面積在不斷增大．故從臨界位置1到臨界位置2，四邊形MNPE的面積一直在增大，在臨界位置2處達(dá)到最大．這種實(shí)驗(yàn)探究法，是解決實(shí)際問(wèn)題的常用方法．

臨界位置1一般位置1

特殊位置

一般位置2臨界位置2

改編2如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6 m，寬2 m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪．已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C，D分別落在直線BC下方點(diǎn)M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P)，再沿直線PE裁剪．若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說(shuō)明理由．

改編2

評(píng)注本題與原題相比，僅去掉第一問(wèn)，即不對(duì)建模方式作任何暗示，給學(xué)生更廣闊的探索空間．同時(shí)與改編題1比較，本題的最值不是在特殊位置取得，通過(guò)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)操作不能解決問(wèn)題，必須建立函數(shù)模型．試題背景相同，但解決方式不同，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更豐富的建模機(jī)會(huì)．

3.2 深刻理解情境，初定建模方案

數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題是一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，是用一定的情節(jié)描述的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題．情節(jié)和數(shù)量關(guān)系是它的兩個(gè)基本構(gòu)成要素, 兩者密不可分．要讓學(xué)生深刻理解應(yīng)用題的情境及描述的情節(jié)，我們需要讓學(xué)生置身情境，或操作，或聯(lián)想．對(duì)于題2，我們嘗試如下的研究方案：

研究方案1：實(shí)驗(yàn)操作，在動(dòng)態(tài)觀察中解決問(wèn)題．對(duì)于改編1，最好的方式就是通過(guò)折紙進(jìn)行操作，觀察分析可知，四邊形MNPE的面積一直在增大，實(shí)際上是建立了一種單調(diào)函數(shù)模型；

3.3 多法解模驗(yàn)?zāi)?，探求最?yōu)解法

以∠EFD=θ或BE=t為變量建立目標(biāo)函數(shù)求解，常見(jiàn)的解答方法如下：

所以四邊形MNPE面積為

此時(shí)，(*)成立．

解法二：同解法一得

θ0, π3 π3π3, π2 S'θ +0-Sθ 增函數(shù)極大值減函數(shù)

解法三：設(shè)BE=t，3

因?yàn)椤螮FP=∠EFD=∠FEP，

NP=3-PF=3-PE=3-(t-BP)

所以四邊形MNPE面積為

此時(shí)，(**)成立.

3.4 自我評(píng)估反思，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

題2的解決過(guò)程是一次充分的、 深刻的建模解應(yīng)用題的過(guò)程，是一次體驗(yàn)豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累過(guò)程．在解完題2后，我們要引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題：通過(guò)本題的解決，你認(rèn)為我們應(yīng)如何合理地利用情境幫助數(shù)學(xué)建模？在本題中，關(guān)鍵的量有哪些，它們有什么關(guān)系？建立函數(shù)模型應(yīng)如何結(jié)合關(guān)鍵的量進(jìn)行設(shè)元？解題過(guò)程中需要考慮哪些限制條件？你還碰到過(guò)類似問(wèn)題嗎，它們有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？經(jīng)常反思以上問(wèn)題，幫助學(xué)生養(yǎng)成自我評(píng)估反思的習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)自我監(jiān)控，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．