例談小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)和運(yùn)用

高峰齡

摘 要：實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法往往不夠深入。教師對(duì)同樣內(nèi)容挖掘、理解的數(shù)學(xué)思想方法不同，會(huì)形成不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用思想方法也就存在差異。數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)與運(yùn)用需要數(shù)學(xué)活動(dòng)作為支撐，學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷操作、比較、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)，能更好地體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；體會(huì)；運(yùn)用；設(shè)計(jì)；操作；比較；抽象

數(shù)學(xué)思想方法很早就受到重視，在以前的大綱中就有“適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想和方法”的表述；現(xiàn)今的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版），“課程基本理念”中明確提出了“體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法”。這說(shuō)明對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，已不再局限于“滲透”，而是把體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)作數(shù)學(xué)課程目標(biāo)與內(nèi)容的一個(gè)有機(jī)組成部分。顯然，將數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程聯(lián)系在一起，可以更有效地揭示教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的基本思路與實(shí)踐路徑，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

從現(xiàn)實(shí)來(lái)看，實(shí)際教學(xué)中讓學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法做得有所不足，本文試從教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂活動(dòng)兩個(gè)方面進(jìn)行表述。

一、數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)思想方法是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的。通常情況下教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容有顯性認(rèn)識(shí)，而對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)常常是隱性的。教師在備課過(guò)程中應(yīng)關(guān)注知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法，并以其指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)。對(duì)于教材的作用，筆者以為，教材為師生的學(xué)習(xí)提供了素材和線索，但并沒(méi)有束縛教師對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的思考，教師可以根據(jù)自己對(duì)教學(xué)內(nèi)容的正確理解以及學(xué)生的實(shí)際需要，創(chuàng)造性地加以調(diào)整和完善。同樣的教學(xué)內(nèi)容，教師挖掘、理解的數(shù)學(xué)思想方法不同，會(huì)帶來(lái)不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，其中滲透給學(xué)生的思想方法也不盡相同，學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用的過(guò)程也就存在差異。

【案例1】 蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“三角形的面積”。

基于轉(zhuǎn)化思想設(shè)計(jì)教學(xué)：（1）通過(guò)把平行四邊形分成兩個(gè)完全相同的三角形，感悟兩種圖形間的關(guān)系；（2）嘗試選擇兩個(gè)三角形拼成平行四邊形；（3）比較三角形和轉(zhuǎn)化后平行四邊形面積的關(guān)系；（4）推理得出三角形面積。這樣的設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生充分體會(huì)和運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，把未知知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)，并建立兩者間的聯(lián)系。

同樣的教學(xué)內(nèi)容，也有教師著眼于模型思想的體會(huì)和運(yùn)用：（1）通過(guò)觀察直角三角形面積的變化，猜想三角形面積可能與什么有關(guān)，形成初步猜想；（2）比較直角三角形和長(zhǎng)方形面積的關(guān)系，進(jìn)一步猜想三角形的面積與底和高的關(guān)系；（3）驗(yàn)證猜想，對(duì)不同類型三角形的面積進(jìn)行研究，可以將平行四邊形剪成三角形，也可以將三角形拼成平行四邊形，對(duì)面積計(jì)算的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，形成面積計(jì)算模型。學(xué)生在“猜想——初步構(gòu)建——再次猜想——多次驗(yàn)證”的環(huán)節(jié)中，逐步建構(gòu)出三角形面積計(jì)算的模型，并可以在建模過(guò)程中體會(huì)和運(yùn)用模型思想。

由此可見(jiàn)，教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有不同理解，通過(guò)課堂教學(xué)，學(xué)生也會(huì)有不同的體會(huì)和運(yùn)用。也因此，針對(duì)外顯的教學(xué)內(nèi)容，挖掘內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想方法，并以之指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)就有著非常重要的意義。

二、數(shù)學(xué)思想方法在活動(dòng)中的體會(huì)和運(yùn)用

數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)與運(yùn)用需要數(shù)學(xué)活動(dòng)的支撐，學(xué)生通過(guò)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，可在其中感悟、內(nèi)化、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。教師可以在數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)下，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)能促進(jìn)學(xué)生體會(huì)思想方法的活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中有所感悟，進(jìn)而能夠靈活運(yùn)用所悟到的思想方法?；顒?dòng)過(guò)程中不一定非得告知學(xué)生需要感悟怎樣的數(shù)學(xué)思想，但一定需要引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中有所悟、有所得。

1. 參與操作活動(dòng)，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

研究表明，學(xué)生在運(yùn)用視覺(jué)、觸覺(jué)及運(yùn)動(dòng)覺(jué)協(xié)同感知事物的同時(shí)，是以內(nèi)部語(yǔ)言悄悄展開(kāi)思維的，在其中學(xué)生會(huì)獲得具體形象，構(gòu)建表象。根據(jù)這一研究，筆者以為教師應(yīng)清晰地知道在一個(gè)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷怎樣的操作活動(dòng)、體會(huì)哪些數(shù)學(xué)思想方法，以促進(jìn)學(xué)生在操作中更好地體會(huì)和運(yùn)用思想方法。

【案例2】 蘇教版一年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)”。（45+30）

對(duì)于這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生實(shí)際上已經(jīng)有了比較豐富的知識(shí)基礎(chǔ)，他們已經(jīng)會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算了，那么本課教師教什么呢？筆者設(shè)計(jì)的目標(biāo)是：帶著學(xué)生參與活動(dòng)，在活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)思想。對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生，如果明確地談數(shù)學(xué)思想方法，顯然不符合學(xué)生的實(shí)際情況。具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

（1）出示情景圖，列式（如圖1）。怎樣計(jì)算呢？我們可以用小棒擺一擺。

（2）先想一想，怎樣擺小棒能一眼看出是45？根據(jù)想法擺一擺（如圖2）。

（3）加30，怎么用小棒表示呢？先想一想，再將30根小棒舉起來(lái)。為什么用3捆表示30根？

（4）45有兩個(gè)部分，4捆和5根，30和哪部分相加呢？用小棒擺一擺。

（5）在擺小棒的過(guò)程中，比一比，哪部分變了，哪部分沒(méi)有變？

（6）如果在計(jì)數(shù)器上撥珠能表示45+30嗎？先想一想，再在計(jì)數(shù)器上撥一撥（如圖3）。

（7）為什么要在十位上再撥3顆珠？

（8）在撥珠過(guò)程中哪部分變了，哪部分沒(méi)有變？

學(xué)生在擺小棒的操作活動(dòng)中，初步體會(huì)到“分與合”“變與不變”的思想方法，并在思想的引領(lǐng)下形成對(duì)算法的初步理解。在體會(huì)思想的基礎(chǔ)上，教師將擺小棒升級(jí)為撥珠活動(dòng)，逐步抽象，并幫助學(xué)生遷移、運(yùn)用已經(jīng)體會(huì)到的數(shù)學(xué)思想方法。

2. 開(kāi)展比較活動(dòng)，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程常常用到觀察、比較活動(dòng)，如“異中求同”“同中尋異”等。通過(guò)比較，可以剝離數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)屬性，有助于概念形成；比較還可以幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)技能掌握。在比較活動(dòng)中，教師如果有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，還可以提升學(xué)生感悟、體會(huì)的水平。

【案例3】 蘇教版四年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題的策略——列表”。

學(xué)生對(duì)于列表的策略既熟悉又陌生，熟悉是因?yàn)榻滩脑诘谝粚W(xué)段多次呈現(xiàn)表格式的問(wèn)題解決，陌生在于學(xué)生不能主動(dòng)想到列表的策略，即為什么要列表，學(xué)生也沒(méi)有掌握列表整理信息的方法。教學(xué)中，如果學(xué)生通過(guò)比較去體會(huì)、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，就可以很好地解決這些問(wèn)題。

（1）出示：小芳家栽了3行桃樹(shù)、8行杏樹(shù)和4行梨樹(shù)。桃樹(shù)每行7棵，杏樹(shù)每行6棵，梨樹(shù)每行5棵。桃樹(shù)和梨樹(shù)一共有多少棵？怎樣整理信息才能看得更清晰，便于我們分析數(shù)量關(guān)系？

（2）展示學(xué)生整理的情況。第一次對(duì)圖1整理的信息和原題進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)信息的順序有了調(diào)整，根據(jù)果樹(shù)的種類分類整理，在比較中體會(huì)分類思想方法；第二次對(duì)圖4和圖5進(jìn)行比較，都運(yùn)用分類思想方法整理信息，為什么圖5更清晰呢？引導(dǎo)學(xué)生橫行觀察，也可以豎列觀察，體會(huì)整理信息時(shí)運(yùn)用到的對(duì)應(yīng)的思想方法，進(jìn)而出示圖6，添上格線形成列表形式。

通過(guò)比較活動(dòng)，學(xué)生不僅體會(huì)到分類思想方法和對(duì)應(yīng)思想方法，還能運(yùn)用思想方法進(jìn)行列表，促進(jìn)解題策略的形成。

第三次比較圖6和圖7，從題目的問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)只需整理兩類果樹(shù)的信息就可以了，滲透優(yōu)化思想方法。

學(xué)生在一次次比較活動(dòng)中，不斷體會(huì)其中的思想方法，并能夠在問(wèn)題解決過(guò)程中運(yùn)用思想方法，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的印象，提高解題效率。

3. 經(jīng)歷抽象活動(dòng)，體會(huì)和運(yùn)用思想方法

抽象是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常、普遍運(yùn)用的思維活動(dòng)，學(xué)生概念的獲得、法則的總結(jié)、規(guī)律的探究、策略的提煉等都離不開(kāi)抽象活動(dòng)。教師可以以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，去幫助學(xué)生經(jīng)歷抽象活動(dòng)，以在活動(dòng)中體會(huì)和運(yùn)用抽象、推理、模型等思想。

【案例4】 蘇教版五年級(jí)上冊(cè)“釘子板上的多邊形”。

探究釘子板上多邊形的面積，學(xué)生需經(jīng)歷“形象——抽象——形象”的活動(dòng)過(guò)程，才能理解其面積與什么有關(guān)，又有怎樣的關(guān)系。在活動(dòng)中有必要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合、模型等數(shù)學(xué)思想方法，也只有在這些思想方法的引領(lǐng)下，學(xué)生才能真正領(lǐng)悟到抽象活動(dòng)的本質(zhì)。

（1）研究釘子板上的多邊形，要借助相關(guān)圖形來(lái)研究，觀察圖形（如圖8），猜想：多邊形面積可能與釘子板上哪些因素有關(guān)？

（2）結(jié)合多邊形內(nèi)部只有1枚釘子的圖形，通過(guò)收集、整理、分析數(shù)據(jù)，逐步抽象出算法模型（如圖9）。

（3）質(zhì)疑抽象出的模型是否普遍適用，提出畫多邊形內(nèi)部有2枚、3枚或更多枚釘子的圖形，運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)和思想進(jìn)行研究（如圖10）。

（4）在分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上抽象數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)算法模型。

教師有意識(shí)在活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生在初步體會(huì)后，能夠積極運(yùn)用，如探究其他多邊形面積時(shí)會(huì)想到先畫出一些圖形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想；在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理時(shí)，會(huì)想到尋找共性的規(guī)律，抽象出模型；學(xué)生在“猜想——驗(yàn)證——檢驗(yàn)——再猜想——再驗(yàn)證——運(yùn)用”這樣不斷提升的活動(dòng)過(guò)程中，體會(huì)到逐步抽象、建模的思想方法。

教學(xué)至此，教師并沒(méi)有停住，探究的過(guò)程還應(yīng)更加豐富，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)還應(yīng)更加深刻。出示圖形變化與面積變化間的關(guān)系，深化數(shù)形結(jié)合、抽象、推理等思想方法。

學(xué)生經(jīng)歷逐步抽象的活動(dòng)過(guò)程，加深了對(duì)思想方法的體會(huì)，其數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷豐富，能為其后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

綜上所述，數(shù)學(xué)思想方法的體會(huì)和運(yùn)用需要經(jīng)歷不斷滲透、不斷提升的過(guò)程。教師以思想方法為指導(dǎo)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生積極參與其中，通過(guò)“滲透、喚醒、運(yùn)用、提升”的長(zhǎng)期熏陶，加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟，逐步達(dá)成體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的目標(biāo)。