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    中小學(xué)數(shù)學(xué)中各類數(shù)的意義

    2016-12-01 09:25安柯墁
    新課程·中學(xué) 2016年9期
    關(guān)鍵詞:抽象計(jì)數(shù)分?jǐn)?shù)

    安柯墁

    摘 要:數(shù)是對(duì)一些事物、現(xiàn)象,或抽象概念的符號(hào)表達(dá)。中小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)。主要闡述實(shí)數(shù)中有理數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展和代表的意義,并簡(jiǎn)單地介紹實(shí)數(shù)中的無(wú)理數(shù)及復(fù)數(shù)。

    關(guān)鍵詞:計(jì)數(shù);抽象;對(duì)應(yīng);自然數(shù);分?jǐn)?shù)

    數(shù)是什么?瀏覽中小學(xué)數(shù)學(xué)教材,對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)不斷深入,數(shù)代表的意義越來(lái)越抽象化,數(shù)域慢慢擴(kuò)大。下面,按照中小學(xué)對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的順序來(lái)談?wù)勚行W(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)了哪些數(shù),這些數(shù)表示的意義是什么?為什么這樣表示?

    一、自然數(shù)

    自然數(shù)是對(duì)自然界中的實(shí)物進(jìn)行抽象對(duì)應(yīng)的符號(hào),而抽象對(duì)應(yīng)的方法又在不斷的改進(jìn)中,所以要深層次理解數(shù)的意義,必須要了解數(shù)產(chǎn)生的歷史和計(jì)數(shù)原理。

    遠(yuǎn)古時(shí)代,為了記錄勞動(dòng)成果,人們發(fā)明了石子計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、刻痕計(jì)數(shù)。以一群羊?yàn)槔活^羊?qū)?yīng)一個(gè)石子,繩結(jié)或刻痕。一頭羊有眾多的屬性,羊角的形狀,羊毛的長(zhǎng)短等,這樣計(jì)數(shù),依據(jù)的是羊的什么屬性呢?(1)羊的獨(dú)立性,每一只羊是獨(dú)立的。(2)羊的整體性,以一整只羊?yàn)橐粋€(gè)單位。(3)計(jì)數(shù)的群體具有相同的屬性。計(jì)數(shù)的方法是一對(duì)一的抽象對(duì)應(yīng)。

    人類在不斷發(fā)展,需要記錄的數(shù)越來(lái)越大,于是增大了計(jì)數(shù)單位,以一個(gè)大的石子代表十只羊或者更多,盡管這樣,原始的計(jì)數(shù)方法還是有很多不足之處,人們就發(fā)明了一些文字符號(hào),如阿拉伯?dāng)?shù)字并且沿用至今。

    對(duì)比古代計(jì)數(shù)方法和阿拉伯?dāng)?shù)字,所依據(jù)的羊的屬性相同,其計(jì)數(shù)的對(duì)應(yīng)方法不同。古代計(jì)數(shù)方法是每一只羊?qū)?yīng)一個(gè)相同的計(jì)數(shù)符號(hào),加大了計(jì)數(shù)單位后,對(duì)于大的數(shù)還是需要繁多的計(jì)數(shù)符號(hào);阿拉伯?dāng)?shù)字中,一只羊?qū)?yīng)數(shù)字“1”,兩只羊?qū)?yīng)數(shù)字“2”,以此類推,阿拉伯?dāng)?shù)字用不同的簡(jiǎn)化符號(hào)來(lái)對(duì)應(yīng)不同的羊。這樣就大大簡(jiǎn)化了計(jì)數(shù)的文字符號(hào),阿拉伯?dāng)?shù)字的位值法,增大了計(jì)數(shù)單位,能表示很大的數(shù),又便于理解和記錄。

    阿拉伯?dāng)?shù)字對(duì)應(yīng)的事物滿足獨(dú)立性、整體性(單個(gè)事物的整體性作為最基本的計(jì)數(shù)符號(hào),多個(gè)事物又可以看做新的整體對(duì)應(yīng)一個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào))和相同屬性。例如,一片果林的蘋(píng)果,一個(gè)學(xué)校的學(xué)生,一個(gè)人體內(nèi)的某細(xì)胞……這些事物,我們都可以用一些抽象符號(hào)來(lái)與之對(duì)應(yīng)。

    數(shù)的發(fā)展初期就是對(duì)這些自然界中實(shí)際存在的事物進(jìn)行抽象對(duì)應(yīng)的符號(hào),所以這些數(shù)被人們稱作自然數(shù)。

    后來(lái)人們用“0”來(lái)對(duì)應(yīng)沒(méi)有任何事物的情況,并把它歸納為自然數(shù)。具體代表沒(méi)有什么事物,要依據(jù)所研究的對(duì)象了,“0”作為一種最特殊的狀況,在實(shí)際研究過(guò)程中,都會(huì)作為一個(gè)特例拿出來(lái)單獨(dú)討論。

    二、分?jǐn)?shù)

    自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的本質(zhì)區(qū)別在于,自然數(shù)與分?jǐn)?shù)分別體現(xiàn)事物的整體與均分的思想。均分也要選擇一定的整體作為基礎(chǔ),以一堆西瓜為例,首先它滿足自然數(shù)計(jì)數(shù)的三點(diǎn):獨(dú)立性、整體性、相同屬性,因此,它可以計(jì)作“0,1,2,3,4…”,那么,被分成塊的西瓜用什么符號(hào)來(lái)表示呢?于是人們發(fā)明了分?jǐn)?shù)。

    把西瓜分成八份,取一份對(duì)應(yīng)符號(hào)“1/8”(此分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位),取兩份對(duì)應(yīng)符號(hào)“2/8”,以此類推,取八份對(duì)應(yīng)符號(hào)“8/8”,以自然數(shù)計(jì)數(shù)也可對(duì)應(yīng)“1”。

    對(duì)于這類均分的事物,就可以用分?jǐn)?shù)來(lái)對(duì)應(yīng),分?jǐn)?shù)就是這些事物對(duì)應(yīng)的抽象符號(hào)。這些事物同樣滿足獨(dú)立性、整體性、相同屬性。

    小數(shù)作為一種特殊的分?jǐn)?shù),其計(jì)數(shù)單位為:“1/10,1/100,1/1000……”為什么有了分?jǐn)?shù),還要發(fā)明小數(shù)呢?在計(jì)算和解決一些實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中,分?jǐn)?shù)有諸多不便的地方:(1)有些事物不能清楚地知道被均分成了多少份而取了幾份。(2)分?jǐn)?shù)單位不統(tǒng)一帶來(lái)的不便。因此發(fā)明了小數(shù),小數(shù)作為分?jǐn)?shù)的近似,不必像分?jǐn)?shù)這樣精確,而小數(shù)又統(tǒng)一了計(jì)數(shù)單位。小數(shù)沿用了整數(shù)的位值法,在任意一個(gè)整數(shù)中,任意選中一個(gè)數(shù)字,左邊一位數(shù)的計(jì)數(shù)單位是當(dāng)前這位數(shù)的10倍,所以個(gè)位的計(jì)數(shù)單位為“1”,第一位小數(shù)上的數(shù)字的計(jì)數(shù)單位為“1/10”,因此稱作“十分位”,以此類推。

    三、負(fù)數(shù)

    生活中會(huì)有這樣一些量,收入和支出,升高的量和降低的量,增加的量和減少的量……以收入和支出為例,收入5元,支出5元,但是這兩個(gè)5代表的意義不同,所以單單一個(gè)數(shù)字“5”是不能表達(dá)他們的不同的,要在前面加上一些描述性語(yǔ)言來(lái)區(qū)分,即收入和支出,這些語(yǔ)言也是一些抽象的符號(hào),不過(guò)沒(méi)有數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔。

    于是人們用“+”和“-”來(lái)表示這種具有相反意義的關(guān)系,這樣數(shù)字前面加上正負(fù)號(hào)表示了更多的抽象意義。

    引入負(fù)數(shù)以后,數(shù)字所抽象對(duì)應(yīng)的事物就從自然界的實(shí)物拓寬到一些事件,以及人類自定義的一些抽象概念。例如:海拔高度,海平面零米是人為規(guī)定的臨界點(diǎn),高出和低于海平面高度的數(shù)字前面分別加上“+”于“-”,正號(hào)可省略。要用負(fù)數(shù)來(lái)抽象對(duì)應(yīng)事物,必須要注意:(1)臨界點(diǎn)是什么?即“0”表示什么。(2)相反意義的量是什么?(3)確定數(shù)值。

    四、有理數(shù)

    把自然數(shù)向負(fù)數(shù)擴(kuò)充,正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù);正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù);整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)都可以顧名思義,而有理數(shù)卻讓我費(fèi)解了,更有道理的數(shù)?

    有理數(shù)是對(duì)“Rational number”的直譯。這詞源自古希臘,詞根為“ratio”,比率的意思。不難理解,有理數(shù)表示的是能化成比率的數(shù)。分?jǐn)?shù)自然能看作一個(gè)比例,整數(shù)又能化成分?jǐn)?shù),因此,所有的有理數(shù)都能化成比例。有理數(shù)的意義在前面已經(jīng)說(shuō)明,就不在此累述。

    五、無(wú)理數(shù)

    在研究一些開(kāi)方數(shù)和圓周率時(shí),人們發(fā)現(xiàn)一些不能表示成比例的數(shù),對(duì)比有理數(shù),就稱這些數(shù)為無(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)可分為正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù),所有的無(wú)理數(shù)可化為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。無(wú)理數(shù)的意義可以類比有理數(shù)得到。

    六、復(fù)數(shù)

    復(fù)數(shù)是指能寫(xiě)成如下形式的數(shù)a+bi,這里a和b是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位(即-1開(kāi)根)。其代表的意義在中小學(xué)階段不作要求,就不作說(shuō)明。

    參考文獻(xiàn):

    [1]塔巴克.數(shù)[M].王獻(xiàn)芬,譯.商務(wù)印書(shū)館,2008-03.

    [2]約翰·塔巴克.數(shù)學(xué)和自然法則:科學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展史[M].商務(wù)印務(wù)館,2007-01.

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