借助直觀模型，促進(jìn)算理理解

楊凱明

摘 要：為了引導(dǎo)學(xué)生更好地理解算理，教師要善于選擇多種方式。常用的算理理解方式有實(shí)物原型、直觀模型、已有知識(shí)等。其中實(shí)物原型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的實(shí)物材料，如元、角、分等人民幣，千米、米等測(cè)量單位；而直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計(jì)數(shù)器、長方形或點(diǎn)子圖等。在教具演示、學(xué)具操作和圖片對(duì)照等直觀模型的刺激下，學(xué)生更容易通過數(shù)形結(jié)合的方式，清晰地理解算理。

關(guān)鍵詞：直觀模型；意義理解；算理；兩位數(shù)乘兩位數(shù)

計(jì)算教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，看似直觀簡(jiǎn)單，但要提高計(jì)算的速度和正確率，必須把直觀簡(jiǎn)單的計(jì)算轉(zhuǎn)化成大腦當(dāng)中的抽象思維。因此，需要讓學(xué)生掌握計(jì)算的算理，這樣才能理清計(jì)算思路，達(dá)到較高的計(jì)算水平。

一、課前思考

（一）教材解讀

兩位數(shù)乘兩位數(shù)（橫式筆算）是北師大版三年級(jí)下冊(cè)第三單元的內(nèi)容，橫式筆算獨(dú)立成頁是北師大版教材的一大特點(diǎn)。教材結(jié)合“隊(duì)列表演”的具體情境，借助點(diǎn)子圖、列表等介質(zhì)，逐步引導(dǎo)學(xué)生探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)橫式筆算的過程與方法，理解算理。

兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘是學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法的意義、表內(nèi)乘法、兩位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在教學(xué)實(shí)踐中，教師大多采取的是鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)系已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來探索如何進(jìn)行計(jì)算，特別是如何運(yùn)用豎式計(jì)算。很多教師都認(rèn)為既然學(xué)生已經(jīng)有了兩位數(shù)乘一位數(shù)豎式計(jì)算的基礎(chǔ)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)就不需要再借助一些直觀模型了。所以很多教師在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，選擇一筆帶過。

（二）課前調(diào)查

1. 我們對(duì)四年級(jí)下冊(cè)已經(jīng)學(xué)過兩位數(shù)乘兩位數(shù)和除數(shù)是兩位數(shù)的除法的45名學(xué)生進(jìn)行了學(xué)后調(diào)查，調(diào)查內(nèi)容如下：根據(jù)豎式，可以直接解決問題嗎？

四年級(jí)學(xué)生用豎式計(jì)算“28×42”已經(jīng)非常熟練，但從調(diào)查的數(shù)據(jù)（表1）來看，只有60%左右的學(xué)生真正掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。

2.我們對(duì)三年級(jí)一個(gè)班的45名學(xué)生進(jìn)行了學(xué)前調(diào)查和訪談。調(diào)查內(nèi)容是：計(jì)算 “14×12=（ ）”。調(diào)查結(jié)果如表2。

對(duì)18名列豎式的學(xué)生進(jìn)行分析，基本掌握方法且計(jì)算結(jié)果正確的有11名學(xué)生。列豎式最典型的兩種錯(cuò)誤情況是：

當(dāng)問某一步驟表示什么意義時(shí)，學(xué)生大都含糊其辭。與年級(jí)組其他教師分析后認(rèn)為，即使計(jì)算正確，也可能是家長提前將列豎式計(jì)算教授給孩子，學(xué)生只得其形卻未知其理，因而出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即使得其形也未必能完全理解算理。

而用分拆辦法的典型錯(cuò)誤是：

10×10=100 2×4=8 100+8=108

看來如何將抽象的算理通過更直觀的操作轉(zhuǎn)化為頭腦中的表象，使學(xué)生真正理解算理，是兩位數(shù)乘兩位數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵所在。

二、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)舊知，做好鋪墊

口算：

20×30= 140×20= 150×3=

50×80= 4×120= 50×40=

【評(píng)析】通過練習(xí)回顧兩位數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法，利用比賽的形式，提高學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性。

（二）新課教學(xué)，理清算理

1. 課件導(dǎo)入，明確問題

題：學(xué)校舉行隊(duì)列表演，一共有12行，每行有14人。

師：根據(jù)信息，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題。

生：一共有多少人？

師：哪位同學(xué)來列一列算式？

生：14×12=？

師：這個(gè)算式表示什么意思？

生：每排14人，一共有12排，求一共有多少人。

師：估計(jì)一下，大約有多少人？

生：100多人。

師：為什么說是100多人呢？

生：因?yàn)槭莾晌粩?shù)，14×12分別看成10×10，兩個(gè)1相乘就等于1，那就是100，不計(jì)算個(gè)位的。

師：這樣的理解大家同意嗎？

生：同意。

師：那具體是多少人呢？

生：算一算！

【評(píng)析】借助學(xué)生熟知的“排隊(duì)問題”，拉近課堂與學(xué)生的距離，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。引導(dǎo)學(xué)生探求“一共有多少人”，進(jìn)而引出將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的特點(diǎn)。在算式列出后，讓學(xué)生進(jìn)行了估算。

2. 動(dòng)手操作，感悟算理

（1）在點(diǎn)子圖上畫一畫，想一想，怎樣求出一共多少人，并且把想法或思考的過程寫在紙上。

學(xué)生思考、操作，寫出自己的想法，教師選擇有代表性的作品貼在黑板上。

（2）學(xué)生匯報(bào)，分析算理。

師：黑板上有同學(xué)們找到的很多種方法，請(qǐng)大家看一看，想一想，能理解這些算法嗎？如有不同的意見，也說一說。

生1：先圈10個(gè)12，再圈4個(gè)12， 120+48=168。

師：哪位同學(xué)再來說一說這種算法的理解。

生2：14×12可以看成14個(gè)12，就是10個(gè)12加上4個(gè)12。

師：你這種算法又是怎么想的？

生2：先圈10個(gè)14，再圈2個(gè)14， 140+28=168。

【評(píng)析】在孩子的眼中，上面兩種算法屬于不同的算法，這就需要教師給他們建立聯(lián)系，幫助學(xué)生理清思路。

師：你發(fā)現(xiàn)這兩種算法有什么共同點(diǎn)？

生3：我發(fā)現(xiàn)乘數(shù)都是按十位和個(gè)位上的數(shù)進(jìn)行分拆的。

師：怎么想到要這樣分拆呢？

生4：拆成整十?dāng)?shù)相乘，就變成我們學(xué)過的知識(shí)了。

師：講得真好，這兩種方法，表面上看不一樣，其實(shí)內(nèi)在是一樣的。計(jì)算的時(shí)候，都是把乘數(shù)分拆成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，轉(zhuǎn)化成了我們學(xué)過的知識(shí)，再進(jìn)行計(jì)算。

師：看看這位同學(xué)的做法，你能看懂嗎？

生5：我把14×12分拆，把12分成4和3，變成兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算。從圖上看，每份都是4個(gè)14，14×4=56，一共3份，56×3=168。

師：這位同學(xué)的思路大家能看懂嗎？

學(xué)生獨(dú)立觀察并分析算法。教師出示列表：

100+20+40+8=168

提問：①表格中的每個(gè)數(shù)據(jù)表示什么？

②結(jié)合點(diǎn)子圖，說說它的計(jì)算過程。

【評(píng)析】教師有效利用點(diǎn)子圖提供給學(xué)生相應(yīng)的直觀模型支撐，讓學(xué)生更好地理解相對(duì)抽象的算理。直觀圖在為學(xué)生呈現(xiàn)多種算法的過程中同樣具有重要的價(jià)值。運(yùn)用點(diǎn)子圖鼓勵(lì)學(xué)生從多種角度思考問題，不同的學(xué)生有不同的思考方式，借助點(diǎn)子圖，乘法計(jì)算就有了趣味性和創(chuàng)造性。有的學(xué)生思考方式是由“數(shù)”到“形”，而有的學(xué)生思考方式是由“形”到“數(shù)”，點(diǎn)子圖就是最好的“形”的支撐。學(xué)生借助點(diǎn)子圖不同的圈畫方法得到不同的計(jì)算方法，也激發(fā)了他們的創(chuàng)造力。

（三）鞏固練習(xí)，課堂總結(jié)（略）

三、全課點(diǎn)評(píng)

學(xué)生的學(xué)習(xí)不是單純地模仿、練習(xí)與記憶。兩位數(shù)乘兩位數(shù)（橫式筆算）把“點(diǎn)子圖”“列表”等作為一種幾何直觀的形式引入教學(xué)，力圖展現(xiàn)“知識(shí)背景——意義理解——感悟算理——揭示聯(lián)系”這一過程，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)過程緊緊抓住數(shù)的拆分，理解“幾個(gè)十加幾個(gè)幾”的運(yùn)算意義，揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生從整體上理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的意義，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握算理。

（一）通過直觀操作和多元表征，促進(jìn)對(duì)算理的理解

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，這是學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。在計(jì)算教學(xué)中，直觀模型是幫助學(xué)生理解算理的一種重要方式。學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，更多的是“操作是操作，計(jì)算是計(jì)算”，這兩者是脫節(jié)的，學(xué)生很難借助“操作”自主實(shí)現(xiàn)用“直觀模型”解決數(shù)學(xué)問題的跨越。從上述課例研究中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，利用點(diǎn)子圖這一直觀模型來領(lǐng)悟運(yùn)算的意義，在理解算理的基礎(chǔ)上讓學(xué)生更好地體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想，以及計(jì)算方法的多樣化。這個(gè)學(xué)習(xí)體驗(yàn)的過程才是教學(xué)的真諦。

這節(jié)課在算理形成的過程中，始終借助點(diǎn)子圖、列表支撐每一步形成的過程，“先圈10個(gè)12，再圈4個(gè)12”“14×12可以看成14個(gè)12，就是10個(gè)12加上4個(gè)12”……把圈的過程和橫式筆算的每一步意義進(jìn)行思維層面的一一對(duì)應(yīng)，相互融合，不但讓學(xué)生理解了算理，還自然地形成了算法。

（二）通過豐富的教學(xué)活動(dòng)來熟“法”悟“理”

理解算理和掌握算法是計(jì)算教學(xué)的兩大任務(wù)，算法是解決問題的操作程序，算理是算法得以成立的數(shù)學(xué)原理。計(jì)算教學(xué)的關(guān)鍵是要正確處理好兩者的關(guān)系。在看待計(jì)算教學(xué)算理和算法的問題上，按照“虛者實(shí)之，實(shí)者虛之”的原則，并將此作為計(jì)算課上算理教學(xué)的基本策略。虛即“算理”，實(shí)即“算法”，兩者“一虛一實(shí)”，處理好“算理直觀和算法抽象”之間的過渡，使學(xué)生不僅知其然，更知其所以然。如果教師在教學(xué)時(shí)忽略引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理的理解，這種急功近利的做法，會(huì)使學(xué)生失去獨(dú)立思考以及對(duì)算理進(jìn)行感悟的機(jī)會(huì)，影響學(xué)生計(jì)算能力的提高。

畫一畫、看一看、想一想、圈一圈、議一議、問一問、說一說、算一算，運(yùn)用多種語言表征的形式，尊重學(xué)生，因勢(shì)利導(dǎo)，為學(xué)生在算法和算理之間搭起一座橋梁，以提高學(xué)生的計(jì)算能力，并且為筆算乘法的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。