將數(shù)學(xué)建模思想落到實(shí)處

沈國(guó)酰

摘 要：數(shù)學(xué)建模思想在替換策略教學(xué)過(guò)程中表現(xiàn)得尤為突出。只有真正明確為什么替換、替換的共性、從特殊到一般的應(yīng)用等，才能將數(shù)學(xué)建模思想落在實(shí)處，讓學(xué)生易于理解與掌握。

關(guān)鍵詞：替換策略；數(shù)學(xué)建模思想；落實(shí)

建模思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要，是小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題教學(xué)的方向。建模是主要針對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的抽象化，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)脫離學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活而提出的。然而，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，部分教師沒(méi)有透徹地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模思想的意義，在平時(shí)的解決問(wèn)題教學(xué)中，往往停留在建模的表層，沒(méi)有深入到建模的本質(zhì)，教學(xué)效果大打折扣。本文主要以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“解決問(wèn)題的策略（替換策略）”為例，通過(guò)比較、分析一位執(zhí)教老師修改前后的教學(xué)設(shè)計(jì)片段（下簡(jiǎn)稱“初備片段”和“再備片段”），說(shuō)明如何將數(shù)學(xué)建模思想落到實(shí)處。

一、數(shù)學(xué)建模的實(shí)質(zhì)：從“怎么換”到“為什么換”

【初備片段一】

師：（課件出示2架天平圖，圖1天平平衡，左盤有1個(gè)蘋果，右盤有2個(gè)梨；圖2天平平衡，左盤有1個(gè)蘋果和2個(gè)梨，右盤是400克的砝碼）（指圖1）仔細(xì)觀察這架平衡的天平，左盤裝有蘋果，右盤裝有梨，請(qǐng)大家思考：從這架平衡的天平上，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘋果與一個(gè)梨的質(zhì)量存在哪種關(guān)系？

生：一個(gè)蘋果的質(zhì)量等于2個(gè)梨的質(zhì)量，或者一個(gè)梨的質(zhì)量是1個(gè)蘋果質(zhì)量的一半。

師：很好，即1個(gè)蘋果質(zhì)量是1個(gè)梨的2倍。你能求出它們各自的質(zhì)量嗎？

學(xué)生回答：1個(gè)蘋果重200克，1個(gè)梨重100克。

師：能說(shuō)一下你是怎樣思考的嗎？

生1：我是這樣想的，可以把圖1左盤中的那個(gè)蘋果換成2個(gè)梨，這樣可以推算出4個(gè)梨的質(zhì)量是400克，一個(gè)梨的質(zhì)量是100克，進(jìn)而推算出一個(gè)蘋果的質(zhì)量是200克。

生2：我與他的想法基本一樣，但我是將圖2左盤中的2個(gè)梨換成1個(gè)蘋果，可以看出，2個(gè)蘋果的質(zhì)量是400克，1個(gè)蘋果的質(zhì)量是200克，很容易地算出1個(gè)梨質(zhì)量是100克。

依據(jù)學(xué)生的回答，教師隨時(shí)用課件動(dòng)態(tài)演示上述兩個(gè)學(xué)生的思考過(guò)程。

師：剛才同學(xué)們用的是“換一換”的方法，這在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中非常重要，這種策略通常被稱為“替換”。同學(xué)們都讀過(guò)“曹沖稱象”的故事，1700多年前，曹沖小朋友就已經(jīng)會(huì)用這個(gè)“替換的策略”了。（課件出示曹沖稱象的圖）

師：曹沖是怎么稱大象的質(zhì)量的？

生：是用石頭替換大象。

【再備片段一】

師：（課件出示3幅天平圖）請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察三幅天平圖，說(shuō)一說(shuō)你分別能求出什么？

生：能求出第一個(gè)天平的每個(gè)蘋果重150克，因?yàn)?個(gè)蘋果重300克；第二個(gè)天平上5個(gè)橘子重600克，所以能求出每個(gè)橘子重120克；第三個(gè)天平上6個(gè)x重1200克，能求出每個(gè)x重200克。

師：觀察得很仔細(xì)，說(shuō)得也很好。同學(xué)們，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這三幅圖有什么相同之處？

生：這三幅圖都是求一個(gè)東西的質(zhì)量是多少？

師：好，在數(shù)學(xué)上，我們把同一種東西又稱為“同一種量”。對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)，像這樣求一種量的每份是多少，十分簡(jiǎn)單。（出示另一幅天平圖）請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，現(xiàn)在的天平與剛才的三幅有什么不同？

生：現(xiàn)在天平左盤裝有1個(gè)梨和1個(gè)蘋果，右盤是240克的砝碼，說(shuō)明1個(gè)梨和1個(gè)蘋果共重240克。

師：有誰(shuí)能推算出1個(gè)梨和1個(gè)蘋果分別重多少克嗎？

生：不能，現(xiàn)在是兩個(gè)不同的東西了。

師：說(shuō)得好。兩個(gè)不同的東西在數(shù)學(xué)上又可稱為兩種不同的量。那你們想想怎么才能求出1個(gè)梨和1個(gè)蘋果分別重多少克呢？

生：如果知道蘋果的質(zhì)量是梨的幾倍就可以把蘋果變成梨了。

師：是呀，這樣又可以變成同一種量了。

師：由于提供的信息不同，替換的方法也不相同，但它們有一個(gè)共同之處，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：就是把不同的量換成同一種量。

【分析】

比較“初備片段一”和“再備片段一”這兩個(gè)教學(xué)片段，可以發(fā)現(xiàn)初備和再備的教學(xué)都是從學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決的過(guò)程。然而，對(duì)于“替換”策略的教學(xué)，初備和再備存在著明顯的不同?！俺鮽淦我弧钡慕虒W(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)在于“怎么換”，直接使用兩架天平圖，讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)存在的數(shù)量間的相等關(guān)系，然后進(jìn)行等量代換，感知數(shù)學(xué)中的“替換”策略，后面附以“曹沖稱象”的故事，再次加深學(xué)生對(duì)運(yùn)用“替換”解決實(shí)際問(wèn)題的印象。

而“再備片段一”的設(shè)計(jì)重點(diǎn)在于不僅強(qiáng)調(diào)替換方法的重要性，更讓學(xué)生知道“為什么替換”。教學(xué)片段中，通過(guò)設(shè)置四幅天平圖，讓學(xué)生充分理解“替換”的本質(zhì)，即由兩種量轉(zhuǎn)化為一種量，強(qiáng)化所建立的數(shù)學(xué)模型與學(xué)生腦中已有的數(shù)學(xué)模型存在的必然聯(lián)系。

二、數(shù)學(xué)建模的理解：從“換的方法”到“換的共性”

【初備片段二】

出示例題：小明將720毫升果汁分別倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，大小杯都被倒?jié)M。已知小杯容量是大杯容量的，大杯和小杯的容量分別是多少？

師：讀題后，你能直接求出大杯和小杯各自的容量是多少毫升嗎？

學(xué)生思考后回答直接求是不行的。

師：思考一下，用剛才的替換策略能解決嗎？請(qǐng)大家在練習(xí)紙上畫出替換簡(jiǎn)圖，然后列式解答，求出小杯和大杯的容量，最后和同桌進(jìn)行交流。（學(xué)生畫圖、列式、計(jì)算、交流）

師：兩種替換方法都能解決這個(gè)問(wèn)題。替換策略真的可以幫助我們解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，如果把例題中的一個(gè)條件改成“大杯的容量比小杯多20毫升”，還能替換嗎？（學(xué)生紛紛猜測(cè)、畫圖、解決、交流）

學(xué)生匯報(bào)：用小杯替換大杯時(shí)，果汁總量增加，增加了720-6×20=840毫升；用大杯替換小杯時(shí)，果汁總量減少，減少了720-20=700毫升。

師：改變條件后的例題與原例題在做法上出現(xiàn)了什么不同？

學(xué)生總結(jié)：從上面的替換過(guò)程中可以看出，假如條件存在著倍數(shù)關(guān)系，那么替換后，杯子的總個(gè)數(shù)出現(xiàn)了變化。但是假如條件存在著相差關(guān)系，替換后，杯子的總個(gè)數(shù)卻沒(méi)有發(fā)生變化。

師：是啊，數(shù)學(xué)奧妙無(wú)窮！在“變”與“不變”中有著千絲萬(wàn)縷的內(nèi)在聯(lián)系。

【再備片段二】

師：（課件出示：小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，結(jié)果全部倒?jié)M）請(qǐng)大家思考：如果想知道小杯的容量和大杯的容量，你認(rèn)為還需要什么信息，怎么來(lái)解決？

生：還需要知道大杯和小杯的容量存在的關(guān)系。

師：能具體說(shuō)一說(shuō)要知道大杯和小杯的容量存在什么關(guān)系嗎？

生：比如大杯的容量是小杯幾倍，或者大杯的容量比小杯多幾毫升等等。

師：老師提供兩個(gè)關(guān)系：“小杯的容量是大杯的”和“小杯的容量比大杯少20毫升”?，F(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考，要用什么方法解答這兩個(gè)問(wèn)題？請(qǐng)比較兩種替換的不同點(diǎn)與相同點(diǎn)。（學(xué)生解答后交流匯報(bào)）

生：相同點(diǎn)是，不論大杯和小杯存在何種關(guān)系，都要把兩種量替換為同一種量，才能解決問(wèn)題。

【分析】

仔細(xì)分析“初備片段二”和“再備片段二”，容易看出兩次的教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)存在著共同點(diǎn)，就是在解決問(wèn)題后，通過(guò)比較替換的方法強(qiáng)化對(duì)“替換”策略的理解。然而深入分析便發(fā)現(xiàn)兩者存在明顯的不同：“初備片段二”的設(shè)計(jì)，主要側(cè)重于讓學(xué)生比較替換方法的不同，即比較條件是倍數(shù)關(guān)系的替換和條件是相差關(guān)系的替換，前者杯子的總個(gè)數(shù)出現(xiàn)變化，后者杯子的總個(gè)數(shù)沒(méi)有變化；而“再備片段二”的設(shè)計(jì)，不但讓學(xué)生比較替換方法的不同，更讓學(xué)生充分理解倍數(shù)關(guān)系的替換和相差關(guān)系的替換存在的共性，即把兩種量轉(zhuǎn)化為同一種量，切實(shí)把握住了用替換策略解決問(wèn)題的本質(zhì)。

三、數(shù)學(xué)模型的價(jià)值：從“特殊→特殊”到“特殊→一般”

【初備片段三】

出示三幅天平圖，學(xué)生讀圖，圖1天平的左盤放1個(gè)蘋果，右盤放2個(gè)梨；圖2天平的左盤放4個(gè)梨，右盤放1個(gè)菠蘿；圖3天平的左盤放1個(gè)蘋果和1個(gè)菠蘿，右邊托盤是問(wèn)號(hào)，不知要放什么。

師：如果讓你在圖3天平右邊托盤中只放一種水果，注意是一種，你將怎樣放？

生：在右邊托盤中可以放3個(gè)蘋果，或者6個(gè)梨，或者1.5個(gè)菠蘿。

師：太好了。假如是放兩種水果呢？

生：放兩種水果，可以是2個(gè)蘋果+2個(gè)梨，或者4個(gè)梨+1個(gè)蘋果，或者是2個(gè)梨+1個(gè)菠蘿。

師：同學(xué)們很聰明，能很快地說(shuō)出答案。假如天平右邊的托盤中是600克的砝碼，這時(shí)天平達(dá)到平衡。你能推算出1個(gè)梨、1個(gè)蘋果和1個(gè)菠蘿各自重多少嗎？（學(xué)生解決、交流匯報(bào)略）

【再備片段三】

師：課前我們討論了船長(zhǎng)的年齡問(wèn)題，大家知道只根據(jù)牛羊的數(shù)量無(wú)法求出船長(zhǎng)的年齡。如果添加一些數(shù)學(xué)信息，你能選用其中的信息算出船長(zhǎng)的年齡嗎？（課件出示：A. 船長(zhǎng)和大副的年齡加起來(lái)105歲；B. 羊的平均年齡是3歲；C. 船上有1名船長(zhǎng)，1名大副，5名船員；D. 最老的牛是5歲；E. 船長(zhǎng)的年齡是大副的1.5倍；F. 大副比船長(zhǎng)小21歲）

學(xué)生分組討論，分別選A和E或者A和F，并用替換的方法解決問(wèn)題、匯報(bào)結(jié)果。

師：數(shù)學(xué)信息不論有多復(fù)雜，只要理清信息之間的關(guān)系，問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單。同學(xué)們很好地用替換的方法解決了一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。說(shuō)一說(shuō)為什么要替換，替換時(shí)要注意什么？

生：替換都是把兩種不同的量轉(zhuǎn)化為同一種量，最終求出每種量分別是多少的方法。

師：如果問(wèn)題中有兩種以上不同的量，比如三種、四種、甚至更多，你又如何去解決呢？

生：理清這些量之間的關(guān)系，替換成同一種量逐個(gè)解決。

【分析】

數(shù)學(xué)建模的重要一環(huán)是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，達(dá)到解釋、應(yīng)用與拓展的目的，即讓學(xué)生應(yīng)用模型解決實(shí)際問(wèn)題，明確數(shù)學(xué)模型能夠解決何種問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，而不是單純地讓學(xué)生對(duì)模型的方法進(jìn)行模仿或簡(jiǎn)單應(yīng)用?！霸賯淦稳钡脑O(shè)計(jì)真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的意圖。求船長(zhǎng)的年齡問(wèn)題設(shè)計(jì)，除了讓學(xué)生知道能用數(shù)學(xué)模型解決一些實(shí)際問(wèn)題，還要讓學(xué)生清晰理解這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，即要求兩種不同的量，必須知道這兩種量之間的關(guān)系，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷了用這個(gè)模型來(lái)解決更一般的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了“從特殊到一般”的拓展。而“初備片段三”的設(shè)計(jì)雖然也是對(duì)替換方法的應(yīng)用，但這種應(yīng)用只是“從特殊到特殊”的過(guò)程，沒(méi)有很好地進(jìn)行模型應(yīng)用的拓展。

四、效果測(cè)評(píng)比較：從“勉強(qiáng)解決”到“得心應(yīng)手”

當(dāng)學(xué)習(xí)完并形成關(guān)于替換問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型后，進(jìn)入鞏固應(yīng)用階段?！俺鮽洹焙汀霸賯洹钡木毩?xí)題是一樣的。練習(xí)題設(shè)計(jì)如下：（1）2輛大客車和5輛小客車，正好載滿100人，每輛大客車比每輛小客車多載8人，每輛大客車和每輛小客車各載多少人？（2）小華購(gòu)買了3個(gè)數(shù)學(xué)本和1個(gè)鉛筆刀共10.8元，一個(gè)鉛筆刀的價(jià)格是一個(gè)數(shù)學(xué)本的6倍，求數(shù)學(xué)本和鉛筆刀的單價(jià)各是多少？

在“初備”的課堂教學(xué)中，當(dāng)練習(xí)題逐個(gè)出示后，只有少數(shù)學(xué)生能夠獨(dú)立解決，絕大部分同學(xué)經(jīng)過(guò)討論后得以解決，說(shuō)明了數(shù)學(xué)模型在同學(xué)們頭腦中建立得并不是太牢固，或者說(shuō)并沒(méi)有真正建立。遇到類似問(wèn)題只是能“勉強(qiáng)解決”。

而在“再備”的課堂教學(xué)中，當(dāng)出示這兩個(gè)練習(xí)題后，絕大多數(shù)學(xué)生幾乎異口同聲地回答道：第一題屬于相差關(guān)系的等量替換，第二題屬于倍數(shù)關(guān)系的等量替換。學(xué)生們能夠正確地將兩題區(qū)分開來(lái)，說(shuō)明在他們的頭腦中已經(jīng)建立起了這兩種替換的數(shù)學(xué)模型。更重要的是，學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決這兩道題時(shí)，還能發(fā)現(xiàn)，“載得多的”和“價(jià)格貴的”可以看作“大的”，而“載得少的” 和“價(jià)格低的”可以看作“小的”。明顯看出，同學(xué)們運(yùn)用剛學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)模型解決此類問(wèn)題時(shí)變得更加“得心應(yīng)手”了。