將數(shù)學(xué)建模案例思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中

周艷麗++++閔建中

摘 要： 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力是一條有效途徑。本文主要討論將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法、作用和意義。

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué)教學(xué) 案例 數(shù)學(xué)建模思想

1.引言

高職高專(zhuān)教育培養(yǎng)學(xué)生要有較強(qiáng)的職業(yè)綜合能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容和方法存在一個(gè)最重要的問(wèn)題就是理論與實(shí)際聯(lián)系不夠緊密，其后果是，學(xué)生學(xué)了不少數(shù)學(xué)知識(shí)，但不會(huì)應(yīng)用。案例教學(xué)法作為一種新型的教學(xué)方法不僅已遍及美國(guó)，而且早已波及美國(guó)以外的國(guó)家，我國(guó)的案例教學(xué)法也有20多年的歷史。據(jù)調(diào)查，在分析能力培養(yǎng)方面，案例教學(xué)法居第一位，在知識(shí)傳授、學(xué)員對(duì)知識(shí)的接受程度、知識(shí)保留的持久性等三個(gè)方面案例教學(xué)法均居第二位，在態(tài)度轉(zhuǎn)變和人際關(guān)系能力培養(yǎng)上居第四位?？梢?jiàn)，適度應(yīng)用案例教學(xué)發(fā)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于提高學(xué)生的實(shí)際解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)。

我校自2009年參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模以來(lái)，一直注重在高等數(shù)學(xué)教學(xué)程中融入數(shù)學(xué)建模思想，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)于1992年創(chuàng)辦，每年一屆，目前已成為全國(guó)高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。2015年，來(lái)自全國(guó)33個(gè)省/市/自治區(qū)（包括香港和澳門(mén)特區(qū)）及新加坡和美國(guó)的1326所院校、28574個(gè)隊(duì)（其中本科組25558隊(duì)、專(zhuān)科組3016隊(duì)）、85000名大學(xué)生報(bào)名參加本項(xiàng)競(jìng)賽。

實(shí)踐表明，將數(shù)學(xué)模型案例融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察能力，抽象思維能力，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，更新數(shù)學(xué)知識(shí)能力，以及分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力能起到重要作用，有利于培養(yǎng)有創(chuàng)新精神的復(fù)合型人才。目前教育界已達(dá)成共識(shí)，應(yīng)實(shí)現(xiàn)從以傳授知識(shí)為主要目標(biāo)的繼承性教育轉(zhuǎn)變到以培養(yǎng)能力為主要目標(biāo)的創(chuàng)新教育。在數(shù)學(xué)教學(xué)中在傳授知識(shí)的基礎(chǔ)上，重視培養(yǎng)學(xué)生的能力，提高學(xué)生的素質(zhì)，特別注重學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。為此，要全面提高大學(xué)生的素質(zhì)，培養(yǎng)有創(chuàng)新精神的復(fù)合型人才，還要在平時(shí)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)學(xué)建模思想，起到“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的作用。

2.通過(guò)案例在概念教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)發(fā)展的根本原動(dòng)力，不是來(lái)自它的內(nèi)部，而是來(lái)自它的外部，來(lái)自客觀(guān)實(shí)際的需要。因此我們?cè)跀?shù)學(xué)建模思想的融入中，主張突出數(shù)學(xué)思想的來(lái)龍去脈，揭示數(shù)學(xué)概念和公式的實(shí)際來(lái)源和其應(yīng)用[1]。例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法——割圓術(shù)，就是數(shù)學(xué)建模思想在極限概念上的應(yīng)用。當(dāng)正多邊形的邊數(shù)越大，則內(nèi)接正多邊形的面積與圓的面積就越接近。學(xué)生隨著正多邊形的邊數(shù)的增加對(duì)極限的概念有了深刻了解，然后從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，引出數(shù)學(xué)概念。從提出問(wèn)題到解決問(wèn)題，讓學(xué)生積極參與教學(xué)中，大大增強(qiáng)了教學(xué)效果。其他概念如導(dǎo)數(shù)、定積分、極值、微分方程等均可以從實(shí)際案例引入，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，使其由被動(dòng)學(xué)習(xí)到主動(dòng)研究。

3.應(yīng)用性案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的應(yīng)用能力

要激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)以致用的意識(shí)和能力，關(guān)鍵是激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)重要性和實(shí)用性的再認(rèn)識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)引入與課堂知識(shí)相關(guān)的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型案例是行之有效的方法。數(shù)學(xué)模型本身就是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的手段和橋梁，直接面向現(xiàn)實(shí)，走進(jìn)生活，使學(xué)生很容易領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)工具在解決實(shí)際問(wèn)題中的強(qiáng)大威力，如通過(guò)對(duì)工程、生物、人口、醫(yī)藥、環(huán)境、市場(chǎng)預(yù)測(cè)、金融、保險(xiǎn)業(yè)務(wù)分析等數(shù)學(xué)模型案例的研究及將工程技術(shù)領(lǐng)域的新知識(shí)、新技術(shù)、新內(nèi)容、新工藝、新案例及時(shí)反映到教學(xué)中，學(xué)生能真切感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在各領(lǐng)域中的應(yīng)用，使學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題的銳利武器，有利于教學(xué)中貫徹理論和實(shí)際相結(jié)合的原則，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情和興趣，可以大大提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。下面通過(guò)具體的案例說(shuō)明在教學(xué)中如何融入數(shù)學(xué)建模思想。

在講授閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值存在定理時(shí)，除了一些常規(guī)的介值定理應(yīng)用例子之后，特選了如下案例[2]：在一塊不平的地面上能否把一張方桌放穩(wěn)？這是個(gè)在日常生活中司空見(jiàn)慣的實(shí)例，學(xué)生首先感到很熟悉，帶有親切感。問(wèn)題雖然看似簡(jiǎn)單，但是怎樣才能將它與今天所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)呢？這個(gè)案例激發(fā)了他們對(duì)問(wèn)題的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣，促使他們思考問(wèn)題和分析問(wèn)題。下面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題。

問(wèn)題分析：（1）憑經(jīng)驗(yàn)桌子腿有“缺陷”是放不穩(wěn)的；（2）在有臺(tái)階的地方或地面“崎嶇”也是方不穩(wěn)的。

問(wèn)題轉(zhuǎn)化：證明桌子放穩(wěn)即四個(gè)腳與地面距離為零。

問(wèn)題解決：（1）用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)：（a）（椅子位置）利用正方形“椅腳連線(xiàn)”的對(duì)稱(chēng)性，用（對(duì)角線(xiàn)與x軸的夾角）表示椅子位置；（b）（四只腳著地）椅腳與地面距離為零，距離是θ的函數(shù)；（c）四個(gè)距離（四只腳）利用利用正方形的對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化為兩個(gè)距離。

（2）設(shè)A、C兩腳與地面距離之和f（θ），B、D兩腳與地面距離之和g（θ），則f（θ）和g（θ）均為連續(xù)函數(shù)，又因?yàn)樵谌魏挝恢?，至少有三條腿著地，即對(duì)任意θ，f（θ），g（θ）至少一個(gè)為0。

（3）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知：f（θ），g（θ）是連續(xù)函數(shù)；即對(duì)任意θ，f（θ）g（θ）=0；且g（θ）=0，f（0）>0。證明：存在θ■，使f（θ■）=g（θ■）=0。

這是個(gè)看似和數(shù)學(xué)問(wèn)題毫無(wú)關(guān)系的生活實(shí)例，通過(guò)數(shù)學(xué)建模的手段轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)又能用當(dāng)堂所學(xué)知識(shí)解決。這樣能加深學(xué)生對(duì)本課程知識(shí)應(yīng)用價(jià)值的理解，有利于學(xué)生能力的訓(xùn)練。同時(shí)體現(xiàn)了學(xué)以致用的價(jià)值，消除學(xué)了而不會(huì)用的尷尬局面。

類(lèi)似的案例很多，如：在講完一元函數(shù)極值后可以引入易拉罐設(shè)計(jì)問(wèn)題。在定積分的應(yīng)用中，讓學(xué)生先了解定義積分的概念意義及“四步曲（即分割、取近似、求和、取極限）”，是利用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。作為積分的實(shí)際應(yīng)用，除了介紹功、引力等物理和體積、面積等幾何應(yīng)用外，還可以介紹社會(huì)、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題，比如存貯問(wèn)題[3]。在微分方程中，結(jié)合一些人們所關(guān)心的一些實(shí)際的問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)的重要性。如對(duì)人口發(fā)展的預(yù)測(cè)（人口模型），新產(chǎn)品的銷(xiāo)售問(wèn)題，放射性廢物的處理問(wèn)題，SARS和HIV等疾病的傳播機(jī)理，等等[4]。通過(guò)這些實(shí)例，讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)在科學(xué)的發(fā)展過(guò)程中的重要作用，更重要的是學(xué)生體會(huì)到在真正的應(yīng)用中還需繼續(xù)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能將學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法應(yīng)用于實(shí)踐。結(jié)合日常生活中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模，讓學(xué)生實(shí)實(shí)在在地體會(huì)到數(shù)學(xué)就在我們身邊，所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活及現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)是密不可分的，使學(xué)生在分析實(shí)際數(shù)學(xué)建模案例過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣與應(yīng)用價(jià)值，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題能力的目的。

4.課后實(shí)踐，加強(qiáng)實(shí)際解決問(wèn)題的能力

由于課時(shí)有限，課堂上沒(méi)有足夠的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，因此只能適當(dāng)延伸到課外，給學(xué)生布置一些較典型的、貼近生活的實(shí)例，如全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的相關(guān)題目：手機(jī)套餐優(yōu)惠問(wèn)題、捕魚(yú)問(wèn)題、洗衣機(jī)節(jié)水問(wèn)題、養(yǎng)老金的問(wèn)題、公交車(chē)調(diào)度、養(yǎng)豬問(wèn)題、DVD租賃問(wèn)題、紅綠燈設(shè)置、眾籌建房問(wèn)題等。要求三個(gè)同學(xué)一組，以團(tuán)隊(duì)的形式共同進(jìn)行研究，小組成員相互協(xié)作各盡其能，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想解決問(wèn)題，寫(xiě)清解題思路和方法，從而提高學(xué)生建模能力，這樣為將來(lái)參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽奠定了基礎(chǔ)[5]。

5.數(shù)學(xué)模型案例選擇的原則

（1）案例要符合生活實(shí)際，使學(xué)生真正感覺(jué)到數(shù)學(xué)來(lái)自生活實(shí)際，又能經(jīng)得起實(shí)踐的檢驗(yàn)。

（2）案例內(nèi)容取材廣泛，而且能反映多個(gè)領(lǐng)域，反映科技進(jìn)步，反映現(xiàn)實(shí)生活。豐富生動(dòng)的內(nèi)容有利于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

（3）明確主旨，模型案例在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)作為插件，故內(nèi)容僅僅集中針對(duì)該門(mén)課程的概念和重要內(nèi)容，不要遍地開(kāi)花。

（4）建模和求解的方法盡可能與本課程的知識(shí)相聯(lián)系。這樣能加深學(xué)生對(duì)本課程知識(shí)應(yīng)用價(jià)值的理解，有利于學(xué)生能力的訓(xùn)練，同時(shí)體現(xiàn)了學(xué)以致用的價(jià)值，消除學(xué)了而不會(huì)用的尷尬局面。

6.數(shù)學(xué)建模案例融入高等數(shù)學(xué)的意義

數(shù)學(xué)模型案例可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力的發(fā)展而不僅僅是獲得固定基本概念、定義、定理。它所解決的是如何用更有效的方式獲得這些知識(shí)。數(shù)學(xué)模型案例教學(xué)是一種動(dòng)態(tài)的、開(kāi)放的教學(xué)方式，改變了數(shù)學(xué)課程那種僅僅依賴(lài)由教師單項(xiàng)傳輸知識(shí)的模式。它提高了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的參與度，學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性在建模過(guò)程中能得到充分發(fā)揮。好的模型案例能引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的濃厚興趣，并激發(fā)他們自己解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題的欲望，因此數(shù)學(xué)模型案例有助于促進(jìn)獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)模型案例讓學(xué)生了解和逐步應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，在解決案例的過(guò)程中還反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)方法、建模方法等多方面內(nèi)容的掌握和應(yīng)用的能力，鍛煉了學(xué)生綜合運(yùn)用各種理論知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)分析和解決問(wèn)題的能力。因此數(shù)學(xué)模心案例有助于促進(jìn)在實(shí)際工作中非常需要的綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)。正如中國(guó)科學(xué)院院士李大潛提出：“一定要將數(shù)學(xué)建模的精神融入到數(shù)學(xué)類(lèi)主干課程中，才能算是真正牢固地占領(lǐng)了陣地?！盵1]

7.結(jié)語(yǔ)

融入數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)教育，能活躍數(shù)學(xué)課堂氣氛，充分鍛煉學(xué)生的思維能力和動(dòng)手能力不斷提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，真正把數(shù)學(xué)從一門(mén)單純的知識(shí)變成一種實(shí)用的技術(shù)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)融入數(shù)學(xué)建模思想，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為我國(guó)培養(yǎng)更多的富于競(jìng)爭(zhēng)力的人才作出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。實(shí)踐證明，在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，注重培養(yǎng)學(xué)生解決世紀(jì)問(wèn)題的能力，是數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展方向“學(xué)數(shù)學(xué)”是為了“用數(shù)學(xué)”，我們應(yīng)該努力創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生自己動(dòng)手解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，并強(qiáng)調(diào)對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行推演或計(jì)算的結(jié)果，能用一般人能領(lǐng)會(huì)的語(yǔ)言“翻譯”出來(lái)，即用非數(shù)學(xué)的、非技術(shù)的語(yǔ)言描述結(jié)果。因此將數(shù)學(xué)建模的思想滲透于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，既符合當(dāng)前素質(zhì)教育對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求，又是切實(shí)可行的方法。

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