利用數(shù)學(xué)建模提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果的研究

黃剛+鄒敏+馬晴霞

摘 要 本文從高等數(shù)學(xué)教育的效果著手，提出一種根據(jù)學(xué)生所學(xué)專業(yè)不同、因材施教的教學(xué)方法，也就是把數(shù)學(xué)建模作為一種重要的教學(xué)手段。通過這種方法進(jìn)行教學(xué)，可以更高效率的進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的教學(xué)。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)建模 分組教學(xué) 數(shù)學(xué)理論應(yīng)用 理論實(shí)際結(jié)合

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.10.042

Abstract This paper starts from the effect of advanced mathematics education， proposed a teaching method according to the students majors， teaching students in accordance with their aptitude， that is， the mathematical modeling as an important means of teaching. Through this method， teaching can be more efficient to carry out the teaching of advanced mathematics.

Keywords advanced mathematics teaching； mathematics modeling； group teaching； application of mathematics theory； combination of theory and practice

0 引言

所謂素質(zhì)教育，就是通過一系列教育手段提高學(xué)生的綜合能力，從而提升其內(nèi)在的價(jià)值也就是整體素質(zhì)，最終目的是增強(qiáng)學(xué)生未來的競(jìng)爭(zhēng)力，為社會(huì)輸送更優(yōu)質(zhì)的人才。如何能高效率的進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，是目前各大高校教育中的一道必答題。這里講的高效率有兩層含義，第一層是指如何讓學(xué)生盡快掌握數(shù)學(xué)概念，理解各種數(shù)學(xué)知識(shí)，指的是學(xué)習(xí)速度；第二層含義指的是學(xué)生學(xué)習(xí)所能達(dá)到的深度，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的領(lǐng)悟程度，最終是否達(dá)到精通。而從目前的傳統(tǒng)的高數(shù)教學(xué)來看，學(xué)生普遍反應(yīng)學(xué)習(xí)緩慢，理解起來困難，幾乎無法入門，更不要說精通了。這個(gè)現(xiàn)象是源于數(shù)學(xué)這門課程的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)是一門理論性極強(qiáng)，對(duì)邏輯思維要求極高的學(xué)科，抽象是這門學(xué)科的最大特點(diǎn)。然而我們?nèi)祟愖陨砀敢饨佑|實(shí)際性的，形象性的東西，這就存在一個(gè)認(rèn)知反差，因此大多數(shù)學(xué)生并不能順利的從形象性思維跳躍到邏輯性思維，因此高數(shù)學(xué)習(xí)就成了一個(gè)老大難問題。所以我們這里給出一個(gè)可行的教學(xué)方法，從應(yīng)用終端入手，將數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，從而提高高數(shù)教學(xué)效果，促進(jìn)素質(zhì)教育。

已經(jīng)有一些初步的研究結(jié)果表明，通過數(shù)學(xué)建模相關(guān)的教學(xué)方法對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)有較好的促進(jìn)作用，我們?cè)诒疚闹袑?duì)數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中應(yīng)用做更進(jìn)一步的探討。

1 從更深入的角度理解數(shù)學(xué)建模

我們要將數(shù)學(xué)建模有機(jī)的融入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，就需要讓學(xué)生對(duì)什么是數(shù)學(xué)建模有個(gè)深刻的理解。

所謂數(shù)學(xué)建模的過程，就是用數(shù)學(xué)的語言對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中某些實(shí)際對(duì)象進(jìn)行描述，以期發(fā)現(xiàn)一些直觀觀察無法得到的規(guī)律。我們把在各行各業(yè)中，我們從事各種專業(yè)的生產(chǎn)生活中準(zhǔn)備作為對(duì)象進(jìn)行模擬的現(xiàn)象或者案例叫做原型（Prototype）。原型可以是看得見的過程，比如電心臟血流過程、建筑過程、金屬加工等。也包括無形的過程，如人口增長、感冒傳播流行過程、動(dòng)物的晝夜節(jié)律等。對(duì)于這些原型的數(shù)學(xué)建模，首先我們要對(duì)原型進(jìn)行特征提煉，將其抽象化。這個(gè)抽象的過程其實(shí)我們不光在數(shù)學(xué)上，在生活上也經(jīng)常用到，比如照片、化石、地圖等，都從一定側(cè)面上反映了它所代表的事物，但是又有所不同，描繪了其一部分特征。在數(shù)學(xué)建模過程中所選用的模型需要有如下特征：（1）模型可以從某個(gè)方面對(duì)客觀事物的某個(gè)或者某些屬性進(jìn)行概括。一個(gè)優(yōu)秀的模型，必須能準(zhǔn)確的描述原型的一定特征。（2）模型在建立的過程中，要充分考慮到原型內(nèi)部和可能改變?cè)蜖顟B(tài)的因素。原型不是孤立存在的一個(gè)奇點(diǎn)，其內(nèi)涵中包含了許多運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)則，并且受到外因的影響，這樣我們建立模型的過程中，要把這些內(nèi)容條理清晰的考慮在內(nèi)，將主干部分抽提出來。（3）模型必須清晰的將原型運(yùn)轉(zhuǎn)過程中各個(gè)要素之間的關(guān)系展現(xiàn)出來。作為一個(gè)完備的模型，僅僅是將因素描述出來是不夠的，要將這些因素之間的相互關(guān)系做數(shù)學(xué)的闡述。這個(gè)過程中就需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，也就是數(shù)學(xué)建模過程中所常見的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。用合理的實(shí)驗(yàn)來獲得模型所需要的一切信息，如公式中的參數(shù)等，才能完成模型的建立。而這個(gè)實(shí)驗(yàn)過程，就是我們準(zhǔn)備在實(shí)際教學(xué)過程中讓學(xué)生著重掌握的內(nèi)容。以往關(guān)于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，經(jīng)常是注重前面兩點(diǎn)，而忽略了實(shí)驗(yàn)過程，所以收效有限。本文所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型相關(guān)教學(xué)過程則把實(shí)際的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與模型建立放在更重要的位置。這樣才能讓學(xué)生在解決具體問題的過程中，更深入的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)學(xué)模型目前從不同的角度，有各種不同的定義。本文中所指的數(shù)學(xué)模型，是通過提煉準(zhǔn)備描述的原型的某些特征，通過刻畫和演繹推理，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式。在這個(gè)表達(dá)式中，我們可以通過檢測(cè)其中的參數(shù)來獲得一些相關(guān)于原型的信息，并且因?yàn)樾畔⒌暮喕梢愿菀讓⒎彪s的過程簡化成一個(gè)易于觀察的對(duì)象，可以成為我們更深入的認(rèn)識(shí)這一原型的工具，具有抽象化、準(zhǔn)確性、演繹性、預(yù)測(cè)性的特點(diǎn)。

2 明確數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的定位

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)發(fā)展多年，隨著環(huán)境的變化，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求越來越高，這就給廣大的高等數(shù)學(xué)教育人員提出了新的挑戰(zhàn)。高等數(shù)學(xué)教學(xué)以前只傳授書本上的知識(shí)，通過大量習(xí)題讓學(xué)生一步一步的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。但是現(xiàn)在由于各種因素的影響，學(xué)生越來越難通過這樣的方式來掌握數(shù)學(xué)原理，學(xué)習(xí)困難的同時(shí)會(huì)帶來一定的惰性，很容易陷入“學(xué)不會(huì)，不想學(xué)”的怪圈；學(xué)生學(xué)得吃力，教師也教得吃力，很多教學(xué)人員會(huì)感慨，“學(xué)生大不如前了”。于是一再降低教學(xué)難度，以期讓學(xué)生可以理解，但是這樣依然是一個(gè)惡性循環(huán)，學(xué)習(xí)的內(nèi)容和深度降低，會(huì)對(duì)學(xué)生將來在實(shí)際工作中應(yīng)用數(shù)學(xué)能力產(chǎn)生很大的影響，沒有一個(gè)良好的數(shù)學(xué)背景對(duì)于學(xué)生來講無疑是一個(gè)重大短板。因此，我們教育工作者需要思考一種更能被學(xué)生接受的教學(xué)方法，使得學(xué)生在未來的工作中可以將數(shù)學(xué)知識(shí)活學(xué)活用，真正讓這門工具學(xué)科成為自己手里的武器，而不是橫亙?cè)谘矍暗慕O腳石。

多年來，很多教育工作者在為了數(shù)學(xué)進(jìn)行不同的嘗試，數(shù)學(xué)建模的強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法就是其中之一。這是一種很優(yōu)秀的教學(xué)體系，具有很多傳統(tǒng)教學(xué)方法所不具備的優(yōu)點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)方法可以更貼近于學(xué)生所學(xué)專業(yè)的實(shí)際，學(xué)生會(huì)有更大的興趣參與其中。高等數(shù)學(xué)是一門必修課程，絕大多數(shù)的學(xué)生非數(shù)學(xué)系本專業(yè)，沒有特別強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。因此，如果只是簡單地進(jìn)行課堂教學(xué)，通過習(xí)題來掌握數(shù)學(xué)原理，學(xué)生會(huì)很不理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的，甚至?xí)a(chǎn)生“這個(gè)課程跟我有什么關(guān)系”這樣的想法。而通過數(shù)學(xué)建模與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相結(jié)合，根據(jù)學(xué)生所處的專業(yè)選擇合適的原型，讓學(xué)生在解決問題的過程中鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，可以讓學(xué)生更深刻的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在自己學(xué)科實(shí)際中所起的作用。同時(shí)，根據(jù)聯(lián)合記憶的原理，學(xué)生可以通過實(shí)際的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程更牢固的掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)原理。換句話說，利用數(shù)學(xué)建模方式的教學(xué)，理應(yīng)處在一個(gè)更高的優(yōu)先級(jí)中，起碼是應(yīng)該和傳統(tǒng)的教學(xué)方法平起平坐，做到從理論到實(shí)踐，再從實(shí)踐更深入的理解理論這個(gè)良性循環(huán)，從而促進(jìn)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效率，不但提高知識(shí)的理解速度，還可以加強(qiáng)知識(shí)的理解深度。

3 數(shù)學(xué)建模方式教學(xué)的實(shí)施方法

通過數(shù)學(xué)建模的方法進(jìn)行教學(xué)，這是一種創(chuàng)新性的嘗試，對(duì)教師提出了更高的要求，需要對(duì)這一教學(xué)方法進(jìn)行仔細(xì)的思索，尋找到真正合適的實(shí)施手段。我們可以按照如下方案實(shí)施：（1）分組進(jìn)行學(xué)生協(xié)助教學(xué)。在數(shù)學(xué)建模這種方式中，我們需要壓縮傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容時(shí)間，這樣，是否能在有限的時(shí)間內(nèi)對(duì)知識(shí)進(jìn)行有效吸收就成為一個(gè)新的難題。如果片面的強(qiáng)調(diào)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，基本原理都無法理解的話，極有可能得不償失。所以我們可以將學(xué)生分成若干小組，小組不宜過大，以10人左右為宜。在從初期一些較為簡單的課程中盡早進(jìn)行適量的課堂測(cè)試，根據(jù)測(cè)試結(jié)果將每個(gè)小組中理解能力較強(qiáng)的學(xué)生設(shè)置為小組長。這樣在今后的課程中，布置一些小組自幫活動(dòng)，可以讓沒有十分透徹理解課上所學(xué)知識(shí)的同學(xué)首先通過詢問更優(yōu)秀的同學(xué)來獲得解答。同時(shí)將來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)時(shí)候，整體發(fā)布指令之后，可以將各個(gè)小組長集中起來以小班教學(xué)的方式額外進(jìn)行一些點(diǎn)播，再由他們來傳遞思想。通過這樣讓學(xué)生分組成為小老師的過程中，已經(jīng)極大的提高了學(xué)生在高等數(shù)學(xué)教育中的參與度，參與度越高，學(xué)生就越有興趣進(jìn)行學(xué)習(xí)。（2）根據(jù)不同專業(yè)的學(xué)生提供不同的數(shù)學(xué)建模題目。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程，自然是很大一部分時(shí)間是要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)，而實(shí)驗(yàn)題目需要根據(jù)學(xué)生所處專業(yè)進(jìn)行特殊設(shè)計(jì)，這就要有足夠的時(shí)間進(jìn)行準(zhǔn)備。所以，在進(jìn)行教學(xué)之前應(yīng)該盡早排出課程表，提前至少2個(gè)月時(shí)間讓教師知曉下一學(xué)期所教授的學(xué)生隸屬于什么專業(yè)，教師可以提前進(jìn)行調(diào)研，明確應(yīng)該選擇什么樣的數(shù)學(xué)建模課題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。同時(shí)，安排課程根據(jù)教師團(tuán)隊(duì)的自身情況進(jìn)行統(tǒng)籌，原則應(yīng)該是任課教師更容易針對(duì)該專業(yè)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)方案的選擇。（3）數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)分組進(jìn)行。教師在公布數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方案之后，由各個(gè)小組長組織組員一起對(duì)題目進(jìn)行分析調(diào)研。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生來說是較為陌生的，教師可以先選擇一兩個(gè)案例作為樣本，向?qū)W生闡述數(shù)學(xué)建模的過程，以及可以達(dá)到的程度。在這個(gè)基礎(chǔ)上分組進(jìn)行問題解決，組織討論過程，逐步進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的完善。并且所出的問題可以由簡單到復(fù)雜逐步進(jìn)行，切合所學(xué)知識(shí)。最初的課題可以是簡單并且有正確唯一答案的，隨著學(xué)生能力的提升，可以給定一些無唯一最優(yōu)模型的，由學(xué)生自行摸索和探究，各個(gè)小組可以通過組內(nèi)討論獲得自己小組的最優(yōu)模型，再和其他小組相比較，教師在其中可以參與分析和指導(dǎo)。這類沒有唯一解的課題，可以讓每組學(xué)生整理成文章的形式，詳盡的闡明本組建立的模型的特點(diǎn)，以及可以解決或者預(yù)測(cè)怎樣的情況，再由教師對(duì)他們的成果進(jìn)行分析。

4 評(píng)價(jià)體系

由于采用了將數(shù)學(xué)建模融入傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的教學(xué)方法，相應(yīng)的評(píng)價(jià)體系也應(yīng)該有所更新。學(xué)生的課外活動(dòng)與實(shí)驗(yàn)增加的情況下，可以將考試分?jǐn)?shù)所占的比重降低至50%以下或者更低，而將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的完成程度作為考核標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)生在建模過程中的表現(xiàn)以及論文撰寫所體現(xiàn)出的參與度也應(yīng)該有相應(yīng)的體現(xiàn)，從而讓學(xué)生有更高的興趣參與到數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中。

5 總結(jié)

綜上所述，我們一線高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作者可以通過數(shù)學(xué)建模的方式進(jìn)行教學(xué)，提高學(xué)習(xí)效率，讓學(xué)生更深刻理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。在這種以實(shí)踐為基礎(chǔ)的教學(xué)過程中，不但學(xué)生會(huì)更好的將數(shù)學(xué)融入到自身專業(yè)課程中，教師也通過事先的調(diào)研對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用有新的認(rèn)識(shí)，真正實(shí)行教學(xué)相長，是一種行之有效的教學(xué)方法，值得我們廣大教師嘗試。

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