基本圖形：讓輔助線的添加更自然
——從“銳角三角函數(shù)”的單元復(fù)習(xí)課談起

☉江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué) 李新紅

基本圖形：讓輔助線的添加更自然
——從“銳角三角函數(shù)”的單元復(fù)習(xí)課談起

☉江蘇省鹽城市明達(dá)中學(xué) 李新紅

“銳角三角函數(shù)”屬于初中幾何學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，相關(guān)題目具有一定的綜合性.于是，筆者在進(jìn)行完本章的新授課教學(xué)以后，選取了三個典型的例題，既復(fù)習(xí)了本章的核心內(nèi)容，又重點(diǎn)關(guān)注了輔助線的添加方式，在教學(xué)過程中收到了良好的教學(xué)效果.現(xiàn)進(jìn)行簡單說明，不當(dāng)之處，敬請指正.

一、例題呈現(xiàn)

例1如圖1，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，且∠BCD=30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值.

例2如圖2，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD=2，AB=4，點(diǎn)E在AB上，將△CBE沿CE翻折，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)D重合，求∠BCE的余弦值.

圖1

圖2

例3如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，CD∥AB，點(diǎn)E為射線CD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE，交BC于點(diǎn)F，∠BAE的平分線交BC于點(diǎn)G.

圖3

當(dāng)AC=5時，連接EG，若△AEG為直角三角形，求BG的長.

二、分析和解

例1：

分析：求∠CDA的三個三角函數(shù)值←直角三角形存在，需要求出直角三角形三條邊的長度←①題干中沒有出現(xiàn)長度，設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵；②D為AB的中點(diǎn)是解決問題的突破口.

解：如圖4，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，設(shè)DE=k.

因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，所以DE∥AC且∠CDE=90°.

圖4

所以AC=2k.

在Rt△ACD中：

基本圖形：在分析中提到條件“D為AB的中點(diǎn)”是解決問題的突破口，所以在解決過程中構(gòu)造了“三角形中位線”的基本圖形，使得問題順利解決.

例2：

分析1：求∠BCE的余弦值←具備直角三角形←根據(jù)條件直接求（略）.

分析2：求∠BCE的余弦值←雖然具備直角三角形，但已知條件中的長度不在此直角三角形中←需要將∠BCE進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”，即等角代換←題干中的“翻折”是解決問題的突破口.

解：連接BD，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得：BD⊥CE（如圖5）.

因?yàn)椤螧CE+∠CEB=90°，∠ABD+∠CEB=90°，所以∠BCE=∠ABD.

圖5

基本圖形：分析1中的直接求，計(jì)算量較大，分析2中的方法則較簡單，關(guān)鍵是抓住了“翻折”的性質(zhì)：對稱點(diǎn)的連線和對稱軸垂直，進(jìn)而將所求角順利轉(zhuǎn)移，在問題解決過程中主要構(gòu)造了“中垂線”的基本圖形.

例3：

分析：此題中，由于直角頂點(diǎn)不確定，所以需要分類討論.

解：延長AG交CD于點(diǎn)K.

第一種情況：當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)（如圖6），即EG⊥AK時：

圖6

由于CD∥AB，AG平分∠BAE，所以∠FAG=∠GAB=∠EKG，所以△AEK為等腰三角形.

由于EG⊥AK，所以點(diǎn)G為AK的中點(diǎn).

由于CD∥AB，所以G也為BC的中點(diǎn).

第二種情況：當(dāng)點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)（如圖7），即EG⊥AE時：

圖7

過點(diǎn)G作GN⊥AB，此時可以得到△AGB也為等腰三角形，所以BN=AB=

在Rt△ACB和Rt△BNG中：

基本圖形：“延長AG交CD于點(diǎn)K”是為了構(gòu)造相似的基本圖形（A型圖或X型圖），第一種情況中很自然就產(chǎn)生了“等腰三角形三線合一”的基本圖形，第二種情況中添加的輔助線主要是為了構(gòu)造“角平分線”的基本圖形.

三、對應(yīng)練習(xí)

練習(xí)1：如圖8，點(diǎn)D是Rt△ABC的斜邊AC的中點(diǎn)，CE垂直BD的延長線于點(diǎn)E，其中AB=15，cosA=，則∠DCE的正弦值為_______.

圖8

圖9

練習(xí)2：如圖9，在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∠A=30°.請你添加喜歡的輔助線，求出tan15°的值.

說明：練習(xí)1和練習(xí)2主要是為了考查銳角的三個三角函數(shù)的求法，同時練習(xí)2具有一定的開放性，不同的添加輔助線的方式會有不同的解題效果.

四、兩點(diǎn)思考

1.單元復(fù)習(xí)課：以夯實(shí)基礎(chǔ)知識為首要目的

新授課完成后的單元復(fù)習(xí)課的定位是什么？顯然，不同于中考復(fù)習(xí)中的章節(jié)復(fù)習(xí)課或?qū)ｎ}復(fù)習(xí)課，應(yīng)該以夯實(shí)基礎(chǔ)知識為首要目的.于是，筆者在本節(jié)課的教學(xué)中精選三個典型例題，圍繞計(jì)算銳角的三個三角函數(shù)值展開，以核心概念為中心，取得了良好的教學(xué)效果.其中例1、例2以簡單計(jì)算為主，例3具有一定的綜合性，而且方法也比較多，在課堂教學(xué)中主要突出應(yīng)用銳角三角函數(shù)解決這個問題的方法.

2.基本圖形：讓輔助線的添加更自然

輔助線被大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為是解決問題的攔路虎，更有學(xué)生說：“如果告訴我輔助線如何添加，這些題目我都會做.”如何使學(xué)生感到輔助線不是“神來之筆”或“帽子里跑出來的兔子”呢？筆者感覺加強(qiáng)學(xué)生對基本圖形的積累是一種有效的手段，比如在本節(jié)課的問題解決中主要用到了相似的基本圖形、等腰三角形三線合一的基本圖形、角平分線的基本圖形、軸對稱的基本圖形、中位線的基本圖形等.可以看出，上述基本圖形來源于課本中基本的判定定理或性質(zhì)定理的“圖形語言”，是學(xué)生必須掌握的，沒有進(jìn)行絲毫的變式，不會加深學(xué)生的負(fù)擔(dān)，因此筆者認(rèn)為這是一種有效的嘗試，歡迎更多的一線教師參與進(jìn)來，不當(dāng)之處，敬請指正.Z