回析運算過程，詳解錯誤成因
——以一道整式除法教學(xué)為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 杭超峰

回析運算過程，詳解錯誤成因
——以一道整式除法教學(xué)為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 杭超峰

運算法則是學(xué)生進行數(shù)學(xué)運算的重要依據(jù).由于負數(shù)與代數(shù)式的加入，使得初中階段的運算法則顯得較為繁雜.當(dāng)運算法則集中出現(xiàn)時，學(xué)生進行運算時極易混淆法則，出現(xiàn)共性錯誤.為了規(guī)避這些錯誤，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回過頭分析自己的運算過程，在對法則應(yīng)用歷程的梳理中找出錯因，形成個體化的避錯策略，推動其運算能力的提升和運算素養(yǎng)的積累.

一、一道計算題的教學(xué)歷程

1.例題及其簡析

例題計算：

簡析：本題是筆者執(zhí)教人教版“14.1.4整式的乘法”第4課時的一道例題，這節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的是同底數(shù)冪的除法、單項式除以單項式、多項式除以單項式等知識，涉及的知識較多，雖然這些知識之間有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，但由于法則眾多，學(xué)生容易混淆，這道題將會綜合應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)的所有知識，是一道較好的鞏固訓(xùn)練題.

2.教學(xué)過程

在本節(jié)課的新知全部學(xué)習(xí)結(jié)束后，教師投影上面的例題，讓學(xué)生自主解答.在學(xué)生解答過程中，教師在室內(nèi)巡視，不時停下來觀察學(xué)生的解題情況.3分鐘后，教師請幾位同學(xué)展示了自己的解題過程，并結(jié)合這些過程展開了追問.

師：你是怎么得到這個結(jié)果的？

師：具體說說你是怎么除的.

教師讓生1在投影的過程中將這一步補上.

師：做得不是蠻好的嘛！怎么就和他們結(jié)果不一樣呢？你接下來怎么除的？

生1：將各個單項式相除，系數(shù)先相除，所得結(jié)果的系數(shù)依次為-6，+2，-1.然后再進行同底數(shù)冪的除法.

師：你確定你是按照同底數(shù)冪的除法法則進行的運算？

生1（抓了抓頭，恍然大悟）：哦！我知道哪兒錯了！

師：哪兒錯了？

生1：除以系數(shù)后，其他的我都是將同底數(shù)冪相乘了！

師：哦！原來是這樣??！看來你是運算法則用錯了，今后可要注意哦！

師：這個結(jié)果又是怎么得到的呢？

師：你也是這么做的？（教師手指著“過程1”）

生2：是的啊！

師：說說-6x是怎么得到的？

師：你是根據(jù)什么得到的？

生2：單項式除以單項式的法則.

生2：是的！

教師：結(jié)果是多少？

生2：（先是一愣，然后理解反應(yīng)過來）哦！我錯了，結(jié)果應(yīng)該是-1.我以為一除就沒了，所以，給出了兩項的結(jié)果.

師：那結(jié)果應(yīng)該是幾項呢？

學(xué)生（齊答）：三項！

師：這給了你們什么啟示？

生2：多項式除以單項式一般所得結(jié)果的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

師：好的！這就可以成為我們今后檢查多項式除以單項式是否正確的重要依據(jù).

教師投影過程3，同時將規(guī)范的過程（即過程4）一并投影.

師：這兒的兩個結(jié)果有什么差別？

生3：每項都只差一個符號！

師：怎么會這樣呢？

師：看來你審題還是不細心??！通過這道題的解答與交流，對你們今后進行類似運算有什么啟示？

生3：要理清運算類別，用準(zhǔn)運算法則.

生4：關(guān)注運算過程中的項數(shù)變化.

生5：審題要細心，要和數(shù)的計算一樣，注意符號的變化.

生6：要按照規(guī)定的運算順序進行運算，不能跨步.

生7：對于有多種運算法則參與的混合運算，每一種法則的應(yīng)用都要按照既定順序進行.

3.教學(xué)過程簡析

究錯教學(xué)一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.在這則片斷中，教師在學(xué)生獲得本節(jié)課新知后，讓學(xué)生帶著尚未網(wǎng)絡(luò)化的知識走上了“犯錯的道路”.由于這一節(jié)課學(xué)生獲取了同底數(shù)冪的除法、單項式除以單項式和多項式除以單項式等多種運算法則，加之先期獲得的多種運算法則，此時應(yīng)用“打架”是難免的.接下來，針對三個錯誤解題過程的教學(xué)，從學(xué)生解題歷程的自主回顧開始，依托于教師的深入追問，讓學(xué)生犯錯的原因無處藏身.幾乎每一名出錯學(xué)生的恍然大悟，都帶給所有學(xué)生很大的啟示，一個個基于避錯需求的策略在此過程中自然生成，無論是顯性的文本闡述，還是隱性的內(nèi)在感悟，都將成為學(xué)生今后問題解決的有效抓手.

二、幾點思考

1.過程回析要細致入微

對解題教學(xué)來說，解題過程的“回放”是分析出錯原因的重要途徑.隨著解題過程的逐步“回放”，學(xué)生法則應(yīng)用和過程書寫中的漏洞便會顯山漏水，呈現(xiàn)在學(xué)生的“眼前”.所以，對學(xué)生解題過程的回析一定要細致，要有足夠的耐心讓學(xué)生逐步展示自己的錯誤歷程.這樣的過程陳述絕不能輕描淡寫，更不可簡明扼要，一定要詳實到位，只有這樣才有可能找出學(xué)生真正的錯因.顯然，上面案例中的老師對過程的回析是到位，針對每一名學(xué)生“犯下的錯”，教師總能引導(dǎo)他們從自己思考與解答的起點出發(fā)，一步步找到自己的“出錯點”，并想出規(guī)避再度出錯的策略.這樣的過程回析，小步慢走，基于教師的等待，成就學(xué)生的成長.

2.錯因詳解要以生為本

學(xué)生是數(shù)學(xué)運算出錯的主體，在運算究錯中，他們也理應(yīng)成為活動的主體.要知道，個體數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升，外在的力量所起的作用是有限的，我們應(yīng)更多地去挖掘?qū)W生內(nèi)在的力量，并以此推動學(xué)生個體進行自我反省和自我總結(jié).錯因詳解，是學(xué)生在教師引導(dǎo)下進行的解題再探，所做的不是對正確的思路或過程再思考，而是找尋獲得正確過程途中留下的錯誤“印記”.在上面的案例中，老師的生本理念得到了很好的體現(xiàn)，三名學(xué)生都在教師的追問下找出了自己的“出錯點”，在此過程中，教師沒有替代學(xué)生思維，優(yōu)秀的學(xué)生也沒有替代他們陳述，整個過程中只有“犯錯者”與教師一直進行著對話，他們在教師的步步“緊逼”下幡然“悔悟”，并決心“痛改前非”，這是何等幸事.

3.歸納總結(jié)應(yīng)立足當(dāng)下

錯因分析，是錯例教學(xué)的起點和關(guān)鍵，但不是終點.僅有錯與對的辨析，沒有錯與對的理性思考，再多的錯例教學(xué)也是沒有價值的.所以，錯例教學(xué)應(yīng)立足于錯解過程的回析，找出錯因，并形成對今后類似問題解決的避錯策略.為此，我們應(yīng)高度重視錯例教學(xué)中的歸納總結(jié)，要讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)識錯、糾錯后，想辦法避錯，想出自己能用的避錯“高招”.只有這樣，我們的究錯才能發(fā)揮其真正的效用.看看上面在每一則錯例講評之后的小結(jié)，以及講評結(jié)束后的整體歸納，學(xué)生都是有所思并有所獲的.這樣的思考與收獲，完全來自于即時交流點評后的反應(yīng)，是對典型錯因的本能反應(yīng)，有知識、技能的參與，更有數(shù)學(xué)思想與解題經(jīng)驗的作用，對后面的問題解決將會起到極其重要的影響.

三、寫在最后

數(shù)學(xué)運算出錯是正常的.如何處理這些錯誤一直被一線教師所關(guān)注.分析錯因是錯例教學(xué)不可缺失的環(huán)節(jié)，如何分析？各位老師都有自己獨到的方法.本文中展示的是基于錯誤解題過程回放之上的錯因分析，整個過程中師生互動，共促成長，提升的不只是學(xué)生應(yīng)用運算知識解決問題的能力，更有對學(xué)科教學(xué)影響巨大的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升.當(dāng)然，這樣的做法僅是筆者在教學(xué)中總結(jié)出的一套行之有效的操作路徑，不具有很強的普適性.個中不足，期待廣大同行專家批評指正.H