多法歸宗：一題多解教學(xué)的價(jià)值所在

☉江蘇省如皋市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 陳小紅

多法歸宗：一題多解教學(xué)的價(jià)值所在

☉江蘇省如皋市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初中 陳小紅

一、引言

一題多解教學(xué)是數(shù)學(xué)例題教學(xué)的重要內(nèi)容.在初中階段，對(duì)同一道例題解法的探究是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)關(guān)注點(diǎn)之一.很多教師在呈現(xiàn)出一種解法后，都會(huì)追問一句：還有其他解法嗎？學(xué)生由此展開不同方法的探究與交流.教師的這種基于解法多樣性需求的追問，能在短暫的時(shí)間內(nèi)激活學(xué)生的求異思維，生成與已有解法異樣的思路或方法，對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練和能力提升是有利的.然而，在核心素養(yǎng)培養(yǎng)成為熱門話題的今天，我們?nèi)绾巫屢活}多解發(fā)揮出更大的教學(xué)效應(yīng)呢？下面，就結(jié)合一道例題的教學(xué)，來談?wù)劰P者的做法和感悟，希望能給您帶來啟示.

二、一道例題的教學(xué)分析

1.例題及分析

例題在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，點(diǎn)E為直線AC上一點(diǎn)，D為直線BC上一點(diǎn)，且DA=DE.

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，求證：BD+AB=AE；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，如圖2，猜想：線段BD、AB和AE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明.

圖1

圖2

簡析：本題由2016年黑龍江省某地區(qū)的中考模擬卷第26題（全卷共28題）改編而來，被編排在人教版第十三章“軸對(duì)稱”的單元復(fù)習(xí)課上.題目主要涉及全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)等核心知識(shí)和化歸、類比等數(shù)學(xué)核心思想.從這道題在原卷上所處的位置和涉及的知識(shí)來看，其難度不低.知識(shí)的提取與應(yīng)用較為困難是一方面，最讓學(xué)生為難的還是如何添加輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形的問題.本節(jié)課前，解題所需要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能學(xué)生都已經(jīng)具備，缺失的是作平行線構(gòu)造全等三角形的經(jīng)驗(yàn).所以，本題的教學(xué)定位應(yīng)確定為“培養(yǎng)學(xué)生的圖形重構(gòu)意識(shí)”，在這種重構(gòu)中提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

2.教學(xué)過程及簡析

活動(dòng)1：自主探究，獲取解法.

學(xué)生活動(dòng)：認(rèn)真閱讀例題，找尋解題思路，并給出詳細(xì)的推理過程.

學(xué)生自主解答8分鐘，教師巡視，觀察學(xué)生給出的推理過程，并進(jìn)行簡單的點(diǎn)撥.

活動(dòng)2：小組交流，分享解法.

在學(xué)生完成解法探究后，教師立即安排學(xué)生進(jìn)行小組交流.具體交流內(nèi)容包括三個(gè)方面：（1）推理過程；（2）獲得解題思路的過程；（3）是否還有其他解法.

在接下來的10分鐘時(shí)間內(nèi)，學(xué)生在各自小組中分享自己的思路與解法，而教師則在小組間不?！按┧蟆保龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)異樣的思路和解法，激發(fā)他們對(duì)例題解法的進(jìn)一步思考.同組內(nèi)學(xué)生間產(chǎn)生激烈的思維碰撞，小組交流的氣氛十分熱烈，對(duì)不同解法的矯正與完善反復(fù)進(jìn)行著.

活動(dòng)3：全班交流，展示解法.

全班交流環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生將他們在解答中出現(xiàn)的多種解法進(jìn)行集中展示，要求學(xué)生說清解題的思路及解題中用到的知識(shí).具體解法如下：

解法1：（1）如圖3，作DM∥AC交AB于M，易得△ABC和△BDM都是等邊三角形.據(jù)此，我們可以證得∠AMD=∠DCE=120°，∠ADM=∠CAD=∠E，加之AD=DE，所以△AMD≌△DCE.所以，DM=CE=BD.所以，BD+AB=CE+ AC=AE.

圖3

圖4

（2）BD=AB+AE.如圖4，作DM∥AC交AB的延長線于M，同樣的，△ABC和△BMD都是等邊三角形.所以∠AMD=∠DCE=60°，∠ADM=∠EAD=∠E，加之AD= DE，所以△AMD≌△DCE.所以，DM=CE=BD.所以，BD= AC+AE=AB+AE.

解法2：（1）如圖5，作DM∥AB交AC于M，易得△ABC和△MDC都是等邊三角形.易證∠AMD=∠DCE=120°，∠DAM=∠E，加之AD=DE，所以△DAM≌△DEC.所以，AM=CE=BD.所以，BD+AB=CE+AC=AE.

圖5

圖6

（2）BD=AB+AE.如圖6，作DM∥AB交CA的延長線于M，同樣的，△ABC和△CMD都是等邊三角形.所以∠M=∠C=60°，加之AD=DE及由這一條件推出的∠DEA=∠EAD，所以△AMD≌△ECD.所以，AM=CE=BD.所以，BD=AC+AE=AB+AE.

（在學(xué)生給出上述方法后，教師提出：能否過點(diǎn)E分別作出AB、AC的平行線構(gòu)造全等三角形和等邊三角形來解決這個(gè)問題？學(xué)生據(jù)此進(jìn)行了更進(jìn)一步的探究，形成了新的解法，因成文需求，這里不再贅述）

活動(dòng)4：小結(jié)歸納，多法歸宗.

歷經(jīng)20分鐘的全班交流，學(xué)生給出了四種解法.接下來，教師結(jié)合學(xué)生在黑板上展示的解法進(jìn)行了追問：這些方法有什么共性之處？（都是截長或補(bǔ)短）通過什么途徑實(shí)現(xiàn)的？（作平行線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形）例題原型在何處？（教材第80頁例4）這給你什么啟示？（重視教材例題學(xué)習(xí)，關(guān)注數(shù)學(xué)核心知識(shí)）今后遇到類似問題我們該如何思考？（關(guān)注問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)思想的解題應(yīng)用）

在此過程中，形成板書，如圖7.

三、三點(diǎn)感悟

1.立足自主探究，夯實(shí)“多法歸宗”之基

在上面的案例中，教師首先讓學(xué)生“認(rèn)真閱讀例題，找尋解題思路，并給出詳細(xì)的推理過程”，就是讓學(xué)生在自主解答中經(jīng)歷思維的“陣痛”，積累問題解決的經(jīng)驗(yàn)和摸索過程中豐富的情感體驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)對(duì)學(xué)生本節(jié)課的交流和后續(xù)的學(xué)習(xí)是非常寶貴的.一方面，它們是學(xué)生得以與學(xué)生對(duì)話的根本保證，是學(xué)生之間對(duì)話最主要的資源；此外，更多的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)已經(jīng)融入學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中去，實(shí)現(xiàn)了同化、順應(yīng)，在今后遇到相同的問題時(shí)，這些經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)便會(huì)不自覺地涌現(xiàn)出來，成為進(jìn)一步探索的基礎(chǔ).顯然，自主探究過程的經(jīng)歷是一舉多得的好事，我們應(yīng)該借助一題多解教學(xué)加以落實(shí)，使之發(fā)揮應(yīng)有的價(jià)值.

2.關(guān)注核心“四基”，指向“多法歸宗”之本

以上面的這道例題為例，其所涉及的“全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)”等都是第三學(xué)段的核心知識(shí)，在這道例題教學(xué)過程中，教師對(duì)它們進(jìn)行重點(diǎn)梳理和強(qiáng)化鞏固是理所當(dāng)然的事.學(xué)生的自主解答與小組交流，重在核心“四基”的應(yīng)用，全班交流則將這些核心“四基”繼續(xù)推向前臺(tái)，使之進(jìn)一步明晰，讓學(xué)生真真切切地感受這些核心“四基”的應(yīng)用價(jià)值.

3.注重經(jīng)驗(yàn)再用，凸顯“多法歸宗”之神

在教學(xué)中，我們應(yīng)多多關(guān)注有內(nèi)在聯(lián)系的解法的集中呈現(xiàn)，對(duì)于那些與常用解法關(guān)聯(lián)不大的方法，我們應(yīng)有選擇性地加以呈現(xiàn)，絕不能為追求多樣性而沖淡“歸宗”這一主題.關(guān)聯(lián)解法之間在解題經(jīng)驗(yàn)上都有著某種內(nèi)在的延續(xù)性，我們在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)“從有到有”，用一種解法的經(jīng)驗(yàn)引發(fā)新的解法，使得既得經(jīng)驗(yàn)自然延續(xù)到新解法中，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的鞏固應(yīng)用與強(qiáng)化提升.在上面的例題教學(xué)中，給出兩種的只有少數(shù)學(xué)生.教師在引導(dǎo)學(xué)生給出兩種解法后，提出“過點(diǎn)E分別作出AB、BC的平行線構(gòu)造全等三角形和等邊三角形來解決問題”的思路就是讓學(xué)生將解法1、2中所積累的分析問題和解決問題的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步沿用，使得剛剛“歸宗”的核心四基得以再展身手，發(fā)揮其在問題解決中的價(jià)值.Z