合情轉(zhuǎn)化合理提煉適度變式
——一道等腰三角形底角平分線的習(xí)題解答及思考

☉湖北省秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 葉先玖

合情轉(zhuǎn)化合理提煉適度變式
——一道等腰三角形底角平分線的習(xí)題解答及思考

☉湖北省秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 葉先玖

以等腰三角形這一基本圖形為載體，與角平分線相融合，可以借題發(fā)揮，生長(zhǎng)出很多具有訓(xùn)練思維的題.本文以“等腰三角形底邊、底角平分線及它分腰所成的線段”的數(shù)量關(guān)系為例，掌握“截長(zhǎng)補(bǔ)短”證明線段和差數(shù)量關(guān)系的操作，并探討習(xí)慣方法受阻時(shí)，怎么突破障礙，思考解題教學(xué)時(shí)，如何引導(dǎo)學(xué)生合情轉(zhuǎn)化、合理提煉、適度變式，豐富解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題效率，希望得同仁的斧正.

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，△ABC中，AC=BC，∠C=100°，AD平分∠CAB交BC于D，求證：AD+CD=AB.

圖1

解答本題時(shí)，最常見的是從所證結(jié)論AD+CD=AB出發(fā)，執(zhí)果索因，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短這一常見的基本套路解決.那么，如何充分利用“AC=BC，∠C=100°，AD平分∠CAB”這些條件，執(zhí)因索果，構(gòu)圖轉(zhuǎn)化而獲思路？由AC=BC，想到過C作AB邊上的垂線，利用三線合一；由AD平分∠CAB想到向角的兩邊作垂線或作角的一邊的平行線；由∠C=100°，能想到構(gòu)建一些圖等.學(xué)生解答時(shí)，卻處處受阻而最終放棄.那么，這些常用方法和思路，是不是不能解決這道題？帶著這些疑問，我與學(xué)生一道展開研討，并收獲了以下證法.

二、解法探討

證法1：截長(zhǎng)法構(gòu)等腰三角形：考慮到所證結(jié)論AD+ CD=AB中，AB最長(zhǎng)，所以在AB上取一段AF=AD得一個(gè)等腰三角形，再證BF=CD.

證明：如圖2，取AF=AD，所以∠ADF=∠AFD.由AC= AB，∠C=100°.可得∠B=∠CAB=40°.又因?yàn)锳D平分∠CAB，則∠DAB=20°.在△DAF中，由三角形內(nèi)角和可得∠DAB+∠ADF+∠AFD=180°，從而得∠AFD=80°.因?yàn)椤螦FD是△BDF的一個(gè)外角，所以∠AFD=∠B+∠BDF，從而可得∠B=∠FDB=40°，所以DF=BF.

再取AE=AC，連接DE.在△ACD和△AED中，由AC= AE，∠CAD=∠DAB，AD=AD，可證得△ACD≌△AED，則CD=DE，∠C=∠DEA=100°，從而有∠DEF=∠DFE= 80°，所以DE=DF，進(jìn)而有CD=DE=DF=FB，所以AB=AF+ FB=AD+CD.

證法1是從結(jié)論中較長(zhǎng)線段上截取一段和結(jié)論中某一段相等，然后想辦法證明另一段和剩下的一段相等，這是一種解決類似線段和差問題常用的方法.然而為什么要這么做？換而言之，可不可以截取AF=CD或BF=CD，再證明余下的一段與AD相等？通過分析，證法1中其實(shí)是利用了∠CAD=∠DAB，且這兩個(gè)等角共用一條邊AD，即“等角共邊可翻折”，從而順利完成各線段之間的等量轉(zhuǎn)化.

圖2

圖3

證法2：補(bǔ)短構(gòu)含30°角的直角三角形：既然證法1可行，那么，我們從較短的線段中選擇一條，把另一條短線段，移到這條線段的延長(zhǎng)線上，從而把兩條短線段合成一段，只要證明它和結(jié)論中那條較長(zhǎng)線段相等即可.

證明：如圖3，延長(zhǎng)AD到F，使得FD=CD，連接FC，作AG⊥FC于G，CE⊥AB于E.

由AC=BC，∠C=100°，得∠CAB=∠B=40°.又AD平分∠CAB，則∠DAB=20°，則∠ADB=120°，所以∠CDF= 120°.

因?yàn)镃D=FD，從而∠F=30°.易得∠GAF=60°，從而∠GAC=∠CAE=40°.由∠G=∠AEC，∠GAC=∠EAC，AC=AC，得△ACG≌ACE，則AG=AE.AF.又 AE=

在△AGF中，由∠F=30°，∠G=90°，得AG= AB，從而AF=AB=AD+FD=AD+CD.

不難發(fā)現(xiàn)，AC正好是∠GAB的平分線，因此，證法2與證法1在思路上應(yīng)都是基于“等角共邊可翻折”構(gòu)造，于是在上述截長(zhǎng)補(bǔ)短法啟示下，思構(gòu)兩次翻折，如圖4，很自然得到證法3.

簡(jiǎn)證：如圖4，沿AD翻折△ACD，即在AB上截取AE= AC；再將△BED沿BD翻折得△BFD，即延長(zhǎng)AD到F，使AF=AB.易證得CD=DE=DF，AB=AF=AD+DF=AD+DE= AD+DC.

但是，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，受等腰三角形三線合一的慣性思維影響，過頂點(diǎn)向底邊作垂線，構(gòu)成三線合一基本圖形，如果沒有發(fā)現(xiàn)AC可作為某個(gè)角平分線而進(jìn)一步翻折的意識(shí)，是很難完成證明的.由于本題頂角的特殊性，在AD的延長(zhǎng)線上補(bǔ)上DF=CD后，正好可以進(jìn)一步補(bǔ)成含30°的直角三角形，從而利用角平分線AD的對(duì)稱性翻折構(gòu)造，與三線合一對(duì)接，實(shí)現(xiàn)各線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化，從而突破思維僵局.正是基于“等角共邊可翻折”的構(gòu)圖補(bǔ)形經(jīng)驗(yàn)，所以不會(huì)考慮把AD移到CD的延長(zhǎng)線或其反向延長(zhǎng)線上去補(bǔ)短.

圖4

圖5

證法4：平行線+角平分線構(gòu)等腰：通過證法2利用三線合一的通法可行性的探討，當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)，可構(gòu)等腰三角形，即在角平分線上取一點(diǎn)，過這點(diǎn)向該角的一邊作平行線，構(gòu)建等腰三角形，這也是一種常規(guī)思路，對(duì)于本題是否可行？

證明：如圖5，取AE=AD，過D作DF∥AB交AC于F.由∠C=100°，BC=AC，易得∠CAB=∠B=40°.由DF∥AB，得∠FDA=∠DAB.因?yàn)锳D平分∠CAB，所以∠CAD=∠DAB，從而∠CAD=∠FDA，于是FD=FA.

由DF∥AB，得∠B=∠CDF=40°，∠CAB=∠CFD= 40°.由AC=BC，得∠CAB=∠B，所以∠CFD=∠CDF，從而有CF=CD，所以AC-CF=BC-CD，于是AF=BD，從而FD= BD.由AD=AE，得∠ADE=∠AED.由AD平分∠CAE且∠CAE=40°，得∠DEA=80°，所以∠DEB=100°.在△CFD和△EBD中，∠CFD=∠BDE，F(xiàn)D=BD，∠CDF=∠B，則△CFD≌△EDB，所以CD=BE，從而AB=AE+EB=AD+CD.

證法4顯然簡(jiǎn)潔，而且再次驗(yàn)證了平時(shí)積累的證法經(jīng)驗(yàn)是可借鑒的，課堂中有意識(shí)提煉這種類似的基本模型圖也是有必要的，于是有學(xué)生有了新的思考.能否利用角平分線向角的兩邊作垂線，用這種基本模型去獲得解題思路呢？

證法5：“角平分線+雙垂線”構(gòu)全等轉(zhuǎn)化：由于角平分線所在直線是角的對(duì)稱軸，向角的兩邊作垂線可視作圖形翻折，其實(shí)就是角平分線定理，再進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，連接兩個(gè)垂足也容易得到等腰三角形，因此，課堂教學(xué)中理應(yīng)把這個(gè)圖形提煉成一個(gè)基本的幾何圖形.

證明：如圖6，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，取FG=CE.

圖6

由角平分線定理易得DE=DF.

在Rt△CED和Rt△GFD中，DE= DF，CE=FG，可證Rt△CED≌Rt△GFD，則CD=DG，∠DGF=∠ECD.

由∠C=100°，得∠ECD=∠DGF=80°.由AC=BC，得∠CAD=∠B=40°.又∠DGF=∠B+∠BDG，所以∠BDG=∠B=40°，從而DG=GB，于是DC=DG=BG.

由AD平分∠CAD，得∠DAB=20°.又∠DGB=80°，由三角形內(nèi)角和定理得∠ADG=80°，從而∠ADG=∠AGD，所以AD=AG.從而AB=AG+GB=AD+CD.

三、變式分析

解后，有學(xué)生提問，如果在不改變條件的情況下，改變頂角的度數(shù)，又有哪些線段之間有數(shù)量關(guān)系？或者，弱化或強(qiáng)化條件，原題中角平分線改為腰上的中線，又會(huì)得出哪些結(jié)論？帶著這些思考，筆者查閱資料，通過遞進(jìn)式變式設(shè)問，改變問題背景，與學(xué)生一起進(jìn)行進(jìn)一步探索.

變式1：如圖1，三角形ABC中，CA=CB，若∠C=108°，AD平分∠A交AC于D，探究：AB等于哪兩條線段長(zhǎng)的和呢？試證明.

變式1中只改變頂角度數(shù)，由角平分線AD，可模仿翻折去截長(zhǎng)，即在AB上取AE=AC，易得CD=DE，從而有AB=AC+BD.在鞏固截長(zhǎng)補(bǔ)短探求線段和差的方法時(shí)，發(fā)現(xiàn)成等量關(guān)系的線段發(fā)生了變化，那么，這些線段之間的關(guān)系是不是與頂角的度數(shù)有著某種聯(lián)系？是不是只有當(dāng)頂角為某一特定值時(shí)，才存在這種線段的數(shù)量關(guān)系？

在圖2中，我們借助設(shè)元，利用方程思想進(jìn)行探究.設(shè)∠C=β，則∠B=90°-，∠DEA=β，當(dāng)β=60°時(shí)，翻折時(shí)發(fā)現(xiàn)C與B重合，當(dāng)β＜60°時(shí)，翻折后E落在AB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)∠DBE=90°+β，此時(shí)線段之間的等量關(guān)系，只有當(dāng)∠BDE=∠E=β時(shí)才可能存在，從而90°-=β+β，求得β=36°，即當(dāng)∠C=36°時(shí)，有AC=AB+BD.用同樣方法可發(fā)現(xiàn)：

通過探討，發(fā)現(xiàn)等腰三角形中只有頂角為某一特殊角度值時(shí)，底角平分線及分一條腰所得的線段、底邊、腰等之間才可能存在一種數(shù)量關(guān)系，從而可以抓住圖形本質(zhì)，特別是頂角為100°時(shí)是最為典型的習(xí)題，在多樣化的解答中可以提升能力.那么，如果變等腰為非等腰，保留角平分線，在頂角為100°時(shí)，增補(bǔ)什么樣的條件，可作類似的探討？

變式2：如圖7，已知△ABC中，∠A=100°，∠ABC= 30°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：AB+AD=BC.

圖7

變式2繼續(xù)沿角平分線翻折而截長(zhǎng)，可在BC上取一點(diǎn)E，使BE=AB，證△ABD≌△EBD，再利用三角形內(nèi)角和定理，導(dǎo)出∠EDC=∠ECD=50°，得出DE=EC，所以BC= BE+EC=AB+DE=AB+AD.

通過研究，這類線段和差問題，圖形必定要滿足特殊條件，因而，解答時(shí)，抓住特殊條件分析，定會(huì)獲得思路.

如果特殊到是等腰直角三角形，再增補(bǔ)或弱化條件，例如過底邊另一端點(diǎn)作一條底角平分線的垂線（變式3），或者過直角頂點(diǎn)作一條腰上的中線的垂線（變式4），一定會(huì)存在某些數(shù)量關(guān)系，而在解決時(shí)，截長(zhǎng)補(bǔ)短的轉(zhuǎn)化策略再次得到提升，而且在解答中，會(huì)收獲更多的方法和經(jīng)驗(yàn)，各種不同方法可以運(yùn)用不同的知識(shí)源.讀者若有興趣，不妨試一試.

變式3：如圖8，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E，求證BD=2CE.

圖8

圖9

變式4：如圖9，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，過A作AD垂直BF，垂足為D，延長(zhǎng)AD交BC于E，連接EF，求證：AE+EF=BF.

四、三點(diǎn)思考

解題有道，解題之道源于自然，解題之法源于幾何圖形的位置和性質(zhì).準(zhǔn)確利用條件，調(diào)取大腦中存儲(chǔ)的圖形、知識(shí)、方法等模塊，從而獲得自然的解法.尊重自然、敬畏自然，適度改造自然、美化自然，這是人類生存的不舍追求.解題理應(yīng)如此，尋找通性通法，然而，解題思路受阻也正常存在.因此，想方設(shè)法引導(dǎo)幫助學(xué)生主動(dòng)切換思維視角，化隱為顯、化難為易，實(shí)現(xiàn)解題從自然到完美的蛻變和升華，理應(yīng)是教師解題教學(xué)堅(jiān)守的目標(biāo).利用幾何圖形的位置與性質(zhì)，適度提煉，合情轉(zhuǎn)化，適度變式，可以幫助學(xué)生積累解答經(jīng)驗(yàn)，大膽構(gòu)圖，展開聯(lián)想，開啟解答思路.

1.聯(lián)想基本方法，合情轉(zhuǎn)化，可以擺脫解題困境

從上述解法中不難看出，解法多樣化源于思維視角多層次切換，把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決問題的能力.解決本題的思考方向，就是截長(zhǎng)補(bǔ)短，由此調(diào)取與之相關(guān)的知識(shí)源，回顧線段和差，角平分線定義與性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三線合一，三角形內(nèi)角和定理及三角形全等相關(guān)的幾何概念與性質(zhì)，結(jié)合題目條件，合情轉(zhuǎn)化，啟迪思路，擺脫解題困境.

如證法2中，在三線合一的慣性思路下，作底邊上的高后，如果沒有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)（30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），不主動(dòng)捕捉題中∠ADB=120°，主動(dòng)切換思路，將直接影響解答.研究解法，并不是炫解題技巧，而是立足常規(guī)思路，思考如何借助知識(shí)源，合情轉(zhuǎn)化，打開思維，聯(lián)想思構(gòu)，回聯(lián)基本圖形.

2.積累基本圖形，合理提煉，可以助推解題智慧

初中階段主要涉及的全等變換有平移，軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn).而本題中的各種解法，正是基于角平分線是角的對(duì)稱軸，借助軸對(duì)稱變換.教學(xué)時(shí)，有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生，將角平分線與平行線和垂線進(jìn)行組合，提煉出角平分線+平行線，角平分線+垂線兩種基本圖形，花一點(diǎn)時(shí)間，研討這類基本圖形的位置與性質(zhì)，從而增強(qiáng)解題智慧.這種提煉是合理的，是“模式識(shí)別”策略具體落實(shí)在解題教學(xué)中.但是，模式化解答不等同于模型思想，絕不能把簡(jiǎn)單的幾何基本圖形，與模型思想混為一體.所提煉的基本圖型，只是豐富學(xué)生視野，開闊學(xué)生思維，為解答提供可遷移和合理聯(lián)想的參考方向，因而，提煉基本圖形并不是加重學(xué)生負(fù)擔(dān)，它僅僅是豐富了學(xué)生對(duì)圖形的直觀認(rèn)識(shí)，或者只是一個(gè)圖形模式，這種圖形模式化解答絕對(duì)不是模型化思想，最多只是一種基本套路（如等角共邊可翻折等）.如證法1中截長(zhǎng)法是比較自然的思路，抓住了角平分線是角的對(duì)稱軸這一圖形的結(jié)構(gòu)特征.

3.提升基本能力，適度變式，可以豐富解題經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)中，適度的變式是必要的，可以幫助學(xué)生掌握一類題的共性解法，在變式中豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，在變式中形成能力，在變式中可以生長(zhǎng).由于原題中圖形的特殊性，可以有文中列舉的多種解法，研究解法，是讓學(xué)生掌握其中最適用的通性解法，加以變式練習(xí)，弱化模式，強(qiáng)化方法，洞察圖形深層結(jié)構(gòu)，矯正模式化偽解題能力的偏差，優(yōu)化思維水平.如原題中，回溯基本知識(shí)，展開聯(lián)想，或作雙角平分線，或輔助圖，或補(bǔ)正三角形等角度思考，突破思路障礙.

精致的變式不等同于題海，模式化解答無(wú)法與模型思想相提并論.然而，過度的變式會(huì)形成一種可套用的基本模式，讓學(xué)生形成一種解題能力的條件反射.變式教學(xué)要適度，堅(jiān)持以知識(shí)轉(zhuǎn)化為思路引領(lǐng)，堅(jiān)持以怎樣做，怎么想到這樣做，同一類型還可怎么做的三步曲，并且有意識(shí)融合教學(xué)邏輯與學(xué)生認(rèn)知邏輯，以學(xué)生為中心，以能力為本，將數(shù)學(xué)建模作為教學(xué)的過程與手段而構(gòu)建與運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，避免出現(xiàn)無(wú)模式可套就束手無(wú)策的困境.

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