把握試題精髓感悟教學(xué)價(jià)值

☉浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔡衛(wèi)兵

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)鐘公廟中學(xué) 朱賢軍

把握試題精髓感悟教學(xué)價(jià)值

☉浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔡衛(wèi)兵

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)鐘公廟中學(xué) 朱賢軍

縱觀寧波市近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷，不難發(fā)現(xiàn)，圖形的分割與拼組猶如一棵“常青樹”，成為一道靚麗風(fēng)景，究竟是怎樣的情結(jié)能讓它在試卷中堅(jiān)守多年呢？我們又怎樣看待命題者的這份執(zhí)著呢？它對(duì)我們今后的教學(xué)又有什么重要啟迪呢？帶著這些問題，讓我們一起來回眸中考，品味試題.

一、試題呈現(xiàn)

例1（2011年寧波卷第12題）如圖1，把四張形狀、大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個(gè)底面為長方形（長為mcm，寬為ncm）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分周長和是（）.

圖1

A.4mcm B.4ncmC.2（m+n）cm D.4（m-n）cm

評(píng)析：此題圖文結(jié)合，簡潔明了，以矩形紙片為素材，以生成的圖形周長為問題核心，具有PISA試題的三個(gè)明顯特征：情景、運(yùn)用、思維.將整式的加減、矩形的性質(zhì)、圖形的平移問題融會(huì)在基本圖形中，主要是將線段進(jìn)行適當(dāng)平移，組成新的線段，將未知轉(zhuǎn)化成已知來解決.例2（2013年寧波卷第12題）如圖2，7張如圖①所示的長為a、寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖②的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示，設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S.當(dāng)BC的長度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a、b滿足（）.

圖2

評(píng)析：此題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)圖形和題意，找出各邊的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.本題在把握“滿足條件時(shí)，線段AB恰好被該直線平分”這個(gè)本質(zhì)基礎(chǔ)上考查學(xué)生對(duì)數(shù)與式的掌握，理解變量與不變量的辯證關(guān)系.它蘊(yùn)含了初中數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想——整體思想，更多地關(guān)注學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神、洞察力，是融PISA理念和初中數(shù)學(xué)思想于一體的典型范例.

例3（2015年寧波卷第12題）如圖3，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個(gè)正方形和2個(gè)長方形后仍是中心對(duì)稱圖形.若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割后不用測量就能知道周長的圖形的標(biāo)號(hào)為（）.

圖3

A.①②B.②③C.①③D.①②③

評(píng)析：此題考查的內(nèi)容有數(shù)與式、矩形、正方形、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)和應(yīng)用，將方程思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、平移方法、幾何定值融會(huì)在基本圖形中，在問題解決的過程中考查學(xué)生對(duì)代數(shù)式的變形能力，以及運(yùn)用圖形的變換分析問題的能力，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力與數(shù)學(xué)基本素養(yǎng).解答此題的關(guān)鍵是要明確中心對(duì)稱的性質(zhì)：（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.

例4（2016年寧波卷第12題）圖4是一個(gè)由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張正方形紙片的面積為S3，則這個(gè)平行四邊形的面積一定可以表示為（）.

圖4

A.4S1B.4S2C.4S2+S3D.3S1+4S3

評(píng)析：此題從熟悉的趙爽弦圖和平方差公式的幾何解釋圖形的教材背景出發(fā)，抓住核心條件進(jìn)行適當(dāng)變式，一是將趙爽弦圖中的大正方形一般化，將四個(gè)全等的直角三角形特殊化，將平方差公式的幾何解釋圖形中的正方形、長方形分割，二是將直角三角形三邊關(guān)系探究生成整體圖形與局部圖形面積關(guān)系探究，將乘法公式的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證生成運(yùn)用乘法公式探究面積關(guān)系，通過對(duì)面積關(guān)系的猜想、結(jié)論的判斷、推理與證明，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生幾何直覺、幾何推理能力的有效考查.在問題解決的過程中突出考查學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、圖形變換的方法和歸納探索、邏輯推理、空間想象等各種能力，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的無窮魅力.

二、解法探究

例1解法分析1（凸顯符號(hào)意識(shí)）

設(shè)小長方形卡片的長為a，寬為b，再結(jié)合圖形得出上面的陰影周長為2（n-a+m-a），下面的陰影周長為2（m-2b+n-2b），所以總的陰影周長為2（n-a+m-a）+2（m-2b+ n-2b）=4m+4n-4（a+2b）.因?yàn)閍+2b=m，所以4m+4n-4（a+ 2b）=4n，故選B.例1解法分析2（運(yùn)用幾何直觀）如圖5，若將線段AE向上平移至DF，CG向左平移，結(jié)果不能完全拼成一個(gè)大長方形的長和寬，進(jìn)而無法求解.但若換位思考，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將AE轉(zhuǎn)化為BG，CF轉(zhuǎn)化為DH，不難發(fā)現(xiàn)AE+AH+ CG+CF=BG+AH+CG+DH=BG+CG+AH+DH=2n，從而可得總的陰影周長和為4n，故選B.

圖5

例2解法分析1（凸顯符號(hào)意識(shí)）

設(shè)BC=x，則左上角陰影部分的長為AE=x-a，寬為AF=3b，右下角陰影部分的長為PC=x-4b，寬為CG=a.

所以陰影部分面積之差S=AE·AF-PC·CG=3b（x-a）-a（x-4b）=3bx-3ab-ax+4ab=（3b-a）x+ab，則3b-a=0，即a=3b，故選B.

例2解法分析2（運(yùn)用幾何直觀）

方法1：如圖6，當(dāng)BC的長度變化時(shí)，左上角與右下角的陰影部分的面積的差S始終保持不變，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和整體思想可得矩形AFGD與矩形BFGC的面積的差不變，由此發(fā)現(xiàn)線段AB恰好被FG垂直平分，所以AF=DG=BF，即3b=a，故選B.

圖6

方法2：因?yàn)锽C是變化的，所以從點(diǎn)P與點(diǎn)C重合開始，然后BC向右伸展，在此過程中左上角與右下角的陰影部分的另一邊始終分別為3b和a，另一條邊增加的長度相等，增加的面積相等，所以3b=a，故選B.

例3解法分析1（凸顯符號(hào)意識(shí)）

設(shè)住房平面圖長方形的長為a，寬為b，正方形②的邊長為x，正方形③的邊長為y.從橫向考慮，大長方形的長等于2個(gè)正方形②的邊長與1個(gè)正方形③的邊長的和，從縱向考慮，大長方形的寬等于2個(gè)正方形②的邊長與1個(gè)正方形③的邊長的差.由這兩個(gè)等量關(guān)系可得關(guān)于x、y的方程組解得所以長方形①的周長為2［（x+y）+（x-y）］=4x=a+b，正方形②的周長為4x=a+b，正方形③的周長為4y=2（a-b）.所以當(dāng)給定大長方形的周長時(shí)，標(biāo)號(hào)為①②的圖形周長為定值，故選A.

例3解法分析2（運(yùn)用幾何直觀）

方法1：如圖7，將線段GN平移到DP處，線段PE平移到NB處，即GN=DP，PE=NB.又因?yàn)镻E=EH+PH=GH+ PH，所以長方形①的周長=CP+NG+GH+PH+CN=CP+ DP+PE+CN=CD+NB+CN=CD+CB.

將線段PH平移到AQ處，線段QF平移到PC處，即PH=AQ，QF=PC.又因?yàn)镼F=QE+EF=QE+EH，所以正方形②的周長=DP+QE+EH+PH+DQ=DP+PC+DA=DC+DA.所以標(biāo)號(hào)為①②的圖形周長均為大長方形的周長的一半，即若只知道原住房平面圖長方形的周長，分割后圖形①②不用測量就能知道其周長，故選A.

圖7

圖8

方法2：如圖8，過對(duì)稱中心O沿虛線進(jìn)行分割，則OX=OY=XH=YH，OI=YN=CD，XP=AD.

所以長方形①的周長=2（HN+HP）=2（HY+YN+HP）=2（HX+HP+YN）=2（XP+YN）=AD+CD；

所以正方形②的周長=2（QE+EP）=2（IX+EX+XP）= 2（IX+OX+XP）=2（OI+XP）=AD+CD.所以標(biāo)號(hào)為①②的圖形的周長均為大長方形的周長的一半，即若只知道原住房平面圖長方形的周長，分割后①②圖形不用測量就能知道其周長.

例4解法分析1（凸顯符號(hào)意識(shí)）

設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為a，正方形邊長為b，則S1=a2，S2=（a+b）（a-b）=（a2-b2），S3=b2.

所以平行四邊形面積=2S1+2S2+S3=a2+（a2-b2）+b2= 2a2=4S1，故選A.

例4解法分析2（運(yùn)用幾何直觀）

方法1：如圖9，連接AC、BD、EF，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O.

圖9

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，則OA=OC，OB=OD，平行四邊形ABCD的面積=4S△AOD.

易證四邊形BFDE為平行四邊形，則EF過BD的中點(diǎn)O.

易證EF∥AD，所以S△AOD=S△AED=S1.

所以平行四邊形ABCD的面積=4S1，故選A.

方法2：如圖10，將兩張等腰直角三角形紙片拼成面積為2S1的正方形，另兩張直角三角形紙片拼成面積為2S2的矩形.再由圖11可知2S2+S3=2S1或由圖12可知2S1-S3=2S2，由此平行四邊形面積=2S1+2S2+S3=2S1+2S1=4S1，故選A.

圖10

圖11

圖12

方法3：如圖13，將一張等腰直角三角形紙片分割成標(biāo)號(hào)分別為①和②的兩部分，將標(biāo)號(hào)為③的直角三角形放置到標(biāo)號(hào)為⑥的位置，將標(biāo)號(hào)為②的直角梯形放置到標(biāo)號(hào)為⑦的位置，將標(biāo)號(hào)為④的正方形放置到標(biāo)號(hào)為⑧的位置，將標(biāo)號(hào)為⑤的等腰直角三角形放置到標(biāo)號(hào)為⑨的位置，由此可知平行四邊形ABCD的面積等于等腰直角三角形AFG的面積.因?yàn)锳F=2AE，所以S△AFG=4S△AED=4S1，所以平行四邊形ABCD的面積=4S1，故選A.

圖13

三、試題感悟

1.發(fā)展符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)代數(shù)思維

數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)是形式化、符號(hào)化，每一個(gè)概念或關(guān)系都有確定的符號(hào)表示.用字母和符號(hào)表示數(shù)及其運(yùn)算或關(guān)系是代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特征.數(shù)學(xué)符號(hào)既是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法，它具有抽象性、明確性、可操作性的特點(diǎn)，還具有簡略性和通用性等特點(diǎn)，它反映了表達(dá)意義的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和邏輯關(guān)系，成為表達(dá)特定思想的載體和誘導(dǎo)思維的刺激物.例1中小長方形卡片的長和寬的符號(hào)化a、b方便表示上面的陰影周長為2（n-a+m-a）、下面的陰影周長為2（m-2b+n-2b）、總的陰影周長為4m+4n-4（a+2b）和清楚說明相關(guān)線段之間的內(nèi)在關(guān)系a+2b=m；例2中線段BC長度的符號(hào)化x方便表示上面的陰影面積為3b（x-a）、下面的陰影面積為a（x-4b）、面積之差為（3b-a）x+ab和清楚說明常數(shù)函數(shù)S與自變量x的無關(guān)性；例3中住房平面圖長方形的長和寬、正方形②③的邊長的符號(hào)化a、b、x、y清楚說明橫縱向各線段之間的主要關(guān)系2x+y=a、2x-y=b和方便表示長方形①②③的周長分別為a+b、a+b、2（a-b）；例4中等腰直角三角形的直角邊長、正方形邊長的符號(hào)化a、b方便表示平行四邊形面積2a2和清楚說明面積之間的內(nèi)在關(guān)系2S1-2S2=S3.實(shí)施符號(hào)化，即用字母表示相關(guān)線段的長，再用符號(hào)進(jìn)行相關(guān)線段的數(shù)學(xué)表達(dá)、運(yùn)算和推理.主動(dòng)選擇相關(guān)線段“用字母表示線段長”是培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)的可操作途徑，使用符號(hào)去構(gòu)建代數(shù)式、方程、函數(shù)模型后進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和問題解決，感知符號(hào)的意義，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)，深化符號(hào)的運(yùn)用，將解決具體問題的思維操作轉(zhuǎn)化為對(duì)符號(hào)的操作，有利于增強(qiáng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，提高解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，進(jìn)一步深化符號(hào)感.

2.運(yùn)用幾何直觀，展示數(shù)學(xué)魅力

幾何直觀就是依托利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考與想象，可以理解為借助見到的或想到的圖形的形象關(guān)系形成對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，從而利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.上述四例突出了“數(shù)”與“形”的有機(jī)聯(lián)系，彰顯了美和真的和諧統(tǒng)一.例1中運(yùn)用線段的平移和等量代換將兩條不在同一直線上的未知線段AE、CG（CF、AH）轉(zhuǎn)移到同一直線上的首尾相接的兩條線段BG、CG（DH、AH），由此利用整體思想進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為長度為n的已知線段BC（AD）；例2中運(yùn)用圖形的運(yùn)動(dòng)和圖形的組合將左上角與右下角的陰影部分的面積差的不變性轉(zhuǎn)化為面積變化量相等問題，由此借助圖形進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為圖形的邊長AF、BF相等（即3b=a）；例3中運(yùn)用圖形的分割和線段平移實(shí)現(xiàn)線段和CP+NG+GH+PH+CN的有效組合CD+CB；例4中運(yùn)用圖形的位置關(guān)系實(shí)現(xiàn)等積轉(zhuǎn)化（S△AOD=S△AED），利用圖形的拼組割補(bǔ)實(shí)現(xiàn)圖形的重組（圖10或圖13）.以圖形為核心，以問題為支撐，以思考為導(dǎo)向，形成一種認(rèn)識(shí)事物的能力——幾何直觀，使抽象的問題直觀化，讓學(xué)生更容易地了解其內(nèi)在的性質(zhì)和規(guī)律.善于發(fā)現(xiàn)圖形中的結(jié)構(gòu)特征，從中抽取出數(shù)量、形狀、位置、變換等關(guān)系，使之呈現(xiàn)“標(biāo)準(zhǔn)”或“熟悉”的狀態(tài)，順利實(shí)現(xiàn)模型化歸，釋放問題內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用圖形解決問題，挖掘新思路，尋求新方法，使數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀相互交織，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀.

3.滲透數(shù)學(xué)思想，提升核心素養(yǎng)

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修定稿）》強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)具備的基本素養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和重要策略，是體現(xiàn)學(xué)生素養(yǎng)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂.重視加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，不但有利于提高課堂教學(xué)效率，而且有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和思維能力.上述四例將整體思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想和平移方法融會(huì)在基本圖形中，更多地關(guān)注學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新精神、洞察力.比如，在例3解析時(shí)先讓學(xué)生有自己的切身體驗(yàn)，逐步領(lǐng)悟大長方形的任意性、滿足要求的分割的存在性和唯一性及可操作性，體驗(yàn)特殊的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系溝通與關(guān)聯(lián)的轉(zhuǎn)化思想和整體思想，體驗(yàn)用字母表示圖中有關(guān)線段的長度體現(xiàn)的符號(hào)意識(shí)和數(shù)形結(jié)合思想，通過方程思想進(jìn)行數(shù)式的運(yùn)算是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)的重要形式，相互“釋譯”——讓解題信息在文本與圖形中獲取，廣泛聯(lián)系——讓解題方法在關(guān)聯(lián)與融合中形成，合理滲透——讓思想方法在啟發(fā)與探究中升華，一題多解——讓創(chuàng)新意識(shí)在求解與比較中發(fā)展.數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更抽象，思想方法的教學(xué)是一種數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，重在領(lǐng)會(huì)應(yīng)用，學(xué)生的參與顯得尤其重要，需要讓學(xué)習(xí)者在長期的學(xué)習(xí)過程中盡可能多地領(lǐng)悟其中的真諦，用自己的思維方式構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法的體系，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)悟積累到一定程度時(shí)，數(shù)學(xué)方法就會(huì)凸顯出來.在教學(xué)中有意識(shí)、有效地加以滲透，讓學(xué)生在潛移默化中領(lǐng)悟、運(yùn)用，并逐步內(nèi)化為數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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