探索圖形性質(zhì)培養(yǎng)推理意識(shí)——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)第九章“平行線”教學(xué)研究

☉山東沂南教育局李樹臣

探索圖形性質(zhì)培養(yǎng)推理意識(shí)——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)第九章“平行線”教學(xué)研究

☉山東沂南教育局李樹臣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》安排了“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分的課程內(nèi)容，七年級(jí)下冊(cè)第9章“平行線”是“圖形與幾何”的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)三角形、全等三角形、平行四邊形、圖形的平移、圖形與坐標(biāo)、相似形、圓、視圖與投影等后繼知識(shí)和利用推理證明不可缺少的基礎(chǔ).

本章主要內(nèi)容是平面內(nèi)兩條直線平行的性質(zhì)和判定，共安排了四個(gè)小節(jié)，教學(xué)時(shí)間約需6個(gè)課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（1個(gè)課時(shí)）；平行線和它的畫法（1個(gè)課時(shí)）；平行線的性質(zhì)（1個(gè)課時(shí)）；平行線的判定（2個(gè)課時(shí)）；回顧與總結(jié)（1個(gè)課時(shí)）.

一、本章內(nèi)容概述及學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.知識(shí)結(jié)構(gòu)（圖1）

圖1

2.內(nèi)容概述

教科書首先以某旅游景點(diǎn)的照片為實(shí)例，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在著平行線的形象；然后，結(jié)合“道路交叉相交”的實(shí)例研究了兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個(gè)角的位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上引入了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念；最后，探究了平行線的性質(zhì)和判定.

第1節(jié)“同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角”，教科書首先立足于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，從觀察某學(xué)校周邊的道路示意圖出發(fā)，引出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，概括出各種角的特征.然后通過兩個(gè)例題，結(jié)合圖形，深化對(duì)三種角的認(rèn)識(shí)，總結(jié)出三種角的識(shí)別方法.

第2節(jié)“平行線和它的畫法”，首先，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片、實(shí)物，讓學(xué)生感受日常生活中平行線的形象，通過這些豐富的實(shí)例，引出平行線的定義.然后，利用“實(shí)驗(yàn)與探究”展現(xiàn)了用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線平行線的過程，學(xué)生在動(dòng)手畫的過程中，感受到過直線外一點(diǎn)能畫并且只能畫一條直線與已知直線平行.從而概括出平行線的基本性質(zhì)“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”，以及“平行于同一條直線的兩條直線平行”.

圖2

第3節(jié)“平行線的性質(zhì)”中所給出的性質(zhì)，是指兩條平行直線被第三條直線所截得的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角之間所具有的數(shù)量關(guān)系.教科書設(shè)計(jì)了操作、實(shí)驗(yàn)、猜想、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生先通過畫圖、疊合等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一對(duì)同位角相等，如圖2中的∠1=∠5，再把這一結(jié)論推廣，即由∠1=∠5出發(fā)，根據(jù)∠2與∠1互補(bǔ)，∠6與∠5互補(bǔ)，可推得∠2=∠6，再根據(jù)∠3和∠7分別與∠1、∠5是對(duì)頂角，推出∠3=∠7.類似地，可得到∠4=∠8.通過歸納得出“兩條平行直線被第三條所截，同位角相等”的性質(zhì).最后安排了一個(gè)交流與發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生按照畫平行線及經(jīng)過直線外一點(diǎn)畫直線的垂線的方法畫圖，再讓學(xué)生通過觀察、分析、思考、交流等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)兩條平行線間的垂線段相等，從而給出兩條平行線之間的距離的概念.

第4節(jié)“平行線的判定”，教科書利用“實(shí)驗(yàn)與探究”欄目，引導(dǎo)學(xué)生通過已經(jīng)學(xué)過的平行線的畫法，體驗(yàn)當(dāng)同位角相等（都等于60°）時(shí)畫出的兩直線平行這一數(shù)學(xué)事實(shí)，再由特殊到一般得出“同位角相等，兩直線平行”的判定方法.作為平行線判定的應(yīng)用，教科書由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，設(shè)計(jì)了三個(gè)例題，目的在于通過不同的問題情境，讓學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握平行線的判定方法的基礎(chǔ)知識(shí)和從圖形中識(shí)別“三線八角”的基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，以及分析問題和解決問題的能力.

3.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）識(shí)別兩條直線被第三條直線所截得的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.

（2）理解平行線的概念，掌握平行線的基本性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，能用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線.

（3）探索平行線的性質(zhì)：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ).

（4）探索平行線的判定方法：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等（或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），那么這兩條直線平行.

（5）了解兩條平行線之間距離的意義，能度量?jī)蓷l平行線之間的距離.

（6）了解平行于同一條直線的兩條直線平行.

（7）經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、交流等過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念、推理意識(shí)，以及有條理的思考和表達(dá)能力.

二、編寫時(shí)注意的幾個(gè)問題

1.注意貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)

本章的內(nèi)容具有豐富的實(shí)際背景，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用.因此，我們?cè)谶x擇課程內(nèi)容時(shí)，根據(jù)《課標(biāo)（2011年版）》在“課程基本理念”中提出“課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索”的要求，結(jié)合具體的內(nèi)容，在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下，盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，使他們經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過程，以及將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中去的過程.

教科書選用了浙江省的一處旅游景點(diǎn)——飛龍大橋的照片作為章頭圖，照片中有豐富的平行線、相交線及同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的形象.第1節(jié)用到的學(xué)校周邊的道路示意圖中含有兩條直線被第三條所截的形象，在學(xué)生觀察圖形中八個(gè)角位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，引出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念.第2節(jié)，通過讓學(xué)生觀察六棱鉛筆中同一個(gè)面上的兩條相對(duì)的棱所在直線的關(guān)系以及黑板的上、下邊緣、左、右邊緣所在的直線的位置關(guān)系，引出平行線的概念.

2.突出整體性

《課標(biāo)（2011年版）》指出“教材編寫應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性.”在本章的編寫過程中，我們對(duì)教材的整體性給予高度重視，并努力在教材中加以體現(xiàn).

平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系有平行與相交兩種，學(xué)生在第二學(xué)段已經(jīng)了解直線的平行和相交關(guān)系，積累了初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，前一章又學(xué)習(xí)了角的表示、角的比較和度量、余角、補(bǔ)角、兩條直線相交所生成的對(duì)頂角、兩條直線相交的特殊情況——垂直等內(nèi)容.這些都與本章的內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，編寫時(shí)對(duì)此予以重視.

第2節(jié)“平行線和它的畫法”是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一.主要包括平行線概念的建立，用直尺和三角尺畫平行線，基本事實(shí)：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，以及它的推論：平行于同一條直線的兩條直線平行.本節(jié)內(nèi)容利用學(xué)生熟悉的生活實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)中存在兩條直線不相交的位置關(guān)系，然后給這種位置關(guān)系加以命名，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示；再通過讓學(xué)生經(jīng)歷用三角尺和直尺畫平行線的過程，感受上述基本事實(shí)（本節(jié)中暫不出現(xiàn)這一名詞，只說這是一條基本性質(zhì)）.由于命題“如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行”是基本事實(shí)的推論，所以按照知識(shí)的邏輯順序放入本節(jié).為了得到這個(gè)推論，教科書又設(shè)計(jì)了用三角尺和直尺畫圖的活動(dòng).目的在于讓學(xué)生通過畫圖探索得到這一結(jié)論，并將敘述方式改為“平行于第三條直線的兩條直線平行”.為了讓學(xué)生感受這個(gè)命題與基本性質(zhì)的邏輯關(guān)聯(lián)并滲透邏輯推理的思想，在“挑戰(zhàn)自我”欄目中，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用平行線的基本性質(zhì)說明平行于同一條直線的兩條直線平行的道理.教科書先借助卡通人物說出利用平行線的基本性質(zhì)推證這一結(jié)論的初步設(shè)想（設(shè)它們相交，那么……），啟發(fā)學(xué)有余力的學(xué)生通過進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)矛盾，從中接受反證法思想的啟蒙，并感受基本事實(shí)的作用；然后又利用閱讀材料“傳遞性”拓寬了學(xué)生對(duì)平行線的認(rèn)識(shí).這樣設(shè)計(jì)使得本課時(shí)層次清楚、活動(dòng)內(nèi)容充實(shí)，并能反映數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容有整體性的認(rèn)識(shí).

3.重視推理能力的訓(xùn)練

《課標(biāo)（2011年版）》把“推理能力”作為核心詞之一.并強(qiáng)調(diào)說，推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理.我們力求把培養(yǎng)合情推理與演繹推理作為貫穿本套教材的主線之一.本章特別注重實(shí)驗(yàn)幾何的教學(xué)，對(duì)于平行線的基本事實(shí)、性質(zhì)及判定方法等知識(shí)，都是利用“觀察與思考”、“實(shí)驗(yàn)與探究”、“交流與發(fā)現(xiàn)”等欄目提出有關(guān)的問題，以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)、交流、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，在“親身”體驗(yàn)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展進(jìn)程中發(fā)現(xiàn)新知，這樣就為學(xué)生的自主發(fā)展創(chuàng)造了廣闊的空間，使他們能自主探索圖形的性質(zhì)，不斷提高合情推理能力，以及有條理地進(jìn)行思考與符合邏輯地進(jìn)行表達(dá)的能力，從而逐步養(yǎng)成推理的意識(shí).

例如，為了引出兩條平行線之間的距離，教科書通過“交流與發(fā)現(xiàn)”欄目提出四個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生首先畫兩條平行線，然后在其中一條直線上從兩個(gè)不同的點(diǎn)向另一條直線作垂線，并度量這兩條垂線段的長(zhǎng)度.學(xué)生通過操作、觀察、分析、思考、交流等活動(dòng)，將會(huì)發(fā)現(xiàn)兩條平行線間的垂線段相等，在此基礎(chǔ)上，給出了平行線之間的距離的概念.這種處理方式，將實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何有機(jī)地整合在一起，使學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)實(shí)驗(yàn)、探究、歸納、推理的全過程.并且還能感悟“平行線間的距離”與“點(diǎn)到直線的距離”、“兩點(diǎn)之間的距離”等相鄰概念的聯(lián)系.

三、教學(xué)建議

1.注重問題情境設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的模式，為此，教師要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際精心創(chuàng)設(shè)問題情境，以此引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)等活動(dòng).數(shù)學(xué)教學(xué)所要解決的并不是那些尚未解決的數(shù)學(xué)問題，而是前人已有數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn).為此，教學(xué)中應(yīng)立足于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，引起學(xué)生有目的的思考與探索.

例如，在給出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角及平行線等概念時(shí)，都要根據(jù)具體內(nèi)容結(jié)合生活實(shí)際創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出幾何圖形的過程.

2.加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)操作，發(fā)展直觀感知能力

《課標(biāo)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的過程.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.”在學(xué)習(xí)某些幾何圖形的有關(guān)知識(shí)時(shí)，可通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、觀察、操作等活動(dòng)，在活動(dòng)的同時(shí)領(lǐng)悟到這些知識(shí)的形成過程，這樣既發(fā)展了學(xué)生的思維能力、理解能力、創(chuàng)造能力及直觀能力，又能將新知識(shí)與已有知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來，還能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，可謂“一舉多得”.

例如，在引導(dǎo)學(xué)生探索“兩直線平行，同位角相等”時(shí)，可設(shè)計(jì)以下四個(gè)活動(dòng)：

（1）如圖3，教師用三根硬木條制成“三線八角”活動(dòng)教具.把木條a，c固定不動(dòng)，讓木條b繞著A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，顯然∠1的大小也在變化.

師：b轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)，有b∥a？

生：b轉(zhuǎn)到圖3所示的虛線位置時(shí)，有b∥a.

圖3

圖4

（2）如圖4，教師演示過直線AB外一點(diǎn)P畫AB平行線的方法，讓學(xué)生觀察畫平行線的過程.

師：在上述演示過程中，三角板的一邊為什么要緊貼著直尺進(jìn)行移動(dòng)？

生：為了保證∠BGF=∠DHF.

設(shè)計(jì)說明：“三線八角”是同學(xué)們熟悉的幾何圖形，通過上述的演示變化，使學(xué)生感受到同位角相等，兩直線平行的判定方法實(shí)際上是“三線八角”圖形的一種特殊位置.在這里，滲透了運(yùn)動(dòng)變化、特殊與一般可以相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.讓學(xué)生觀察用直尺和三角板畫平行線的過程，目的是讓學(xué)生通過觀察、思考、發(fā)現(xiàn)“移動(dòng)過程中的不變量——角”.由以上兩個(gè)演示實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，可以用“數(shù)量關(guān)系——角相等”來判斷圖形的“位置關(guān)系——兩直線平行”.

（3）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

師：從前面的論述中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：判斷兩直線平行的問題，可以轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)角相等的問題.

師：你能用自己的語言把你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律敘述出來嗎？

生：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成：同位角相等，兩直線平行.

（4）指導(dǎo)學(xué)生用圖形語言、文字語言和符號(hào)語言分別表示“平行線的這一判定方法”.然后再輔以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，學(xué)生就可以完成對(duì)這個(gè)判定方法的學(xué)習(xí).

3.充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)

《課標(biāo)（2011年版）》指出：“信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響.數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，……有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去.”幾何中的有關(guān)內(nèi)容可以借助于計(jì)算器（機(jī)）形象地展示給學(xué)生，并且得到較好的解決.本章中可利用現(xiàn)代信息技術(shù)，動(dòng)態(tài)地展示兩條直線被第三條直線所截，兩條直線的位置關(guān)系與相關(guān)各角大小關(guān)系的變化過程，感受二者之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.H