一道考題的思路、難點(diǎn)與教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇省江陰英橋國(guó)際學(xué)校吳忠妙

一道考題的思路、難點(diǎn)與教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇省江陰英橋國(guó)際學(xué)校吳忠妙

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），不少文章不滿足于單純的解題研究，而是從思路突破到解后反思，再圍繞考題給出教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了很好的解題研究服務(wù)于解題教學(xué)的宗旨，筆者深受啟發(fā)，在研究一道中考試題之后，感覺(jué)問(wèn)題的變式距離偏大，也需要設(shè)計(jì)系列鋪墊來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解題，本文就是系列思考之后的梳理，提供研討.

一、考題思路簡(jiǎn)述與解后反思

考題（2016年陜西中考卷第25題）（1）如圖1，已知△ABC，請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱的三角形.

圖1

圖2

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從板材中裁出一個(gè)面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°.經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，才可能裁出符合要求的部件，試問(wèn)：能否裁出符合要求且面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

1.思路簡(jiǎn)述

（1）簡(jiǎn)單的送分題，只要取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，即可畫出符合要求的軸對(duì)稱三角形.

（2）如圖4，分別取點(diǎn)E、F關(guān)于CD、BC的對(duì)稱點(diǎn)E′、F′，連接E′F′交BC、CD于G、H兩點(diǎn)，則四邊形EFGH滿足題意.接下來(lái)的關(guān)于該四邊形周長(zhǎng)的計(jì)算也比較簡(jiǎn)單，在Rt△AE′F′中思考，求出斜邊的長(zhǎng)為（2+10）即可.

圖4

圖5

（3）題目條件呈現(xiàn)有些繁雜，需要慢慢梳理、各個(gè)擊破.比如“EF=FG=，點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC x2+（3-x）2=（）2，解得x=1或2，結(jié)合“AF＜BF”知，x=1，即AF=1，BF=2，AF=2，BG=1，即點(diǎn)E、F、G的位置都被唯一確定.

接下來(lái)就是分析點(diǎn)H的可能位置了！在分析之前，還有一個(gè)準(zhǔn)備工作需要明確，這就是當(dāng)點(diǎn)E、F、G確定之后，如圖5，連接CF，則CF垂直平分GE！這可以通過(guò)計(jì)算CG=CE來(lái)證明.這個(gè)特殊的位置關(guān)系對(duì)于進(jìn)一步分析點(diǎn)H的位置關(guān)系十分重要.

圖6

現(xiàn)在我們只要結(jié)合第（1）問(wèn)作圖的經(jīng)驗(yàn)，如圖6，將△EFG沿GE翻折，得到對(duì)稱的△F′GE，再以F′為圓心，EF′為半徑作圓，設(shè)該圓與CF交于點(diǎn)H.如果點(diǎn)H在線段CF上，則該點(diǎn)就是符合要求的一個(gè)待求點(diǎn)H.接下來(lái)只要設(shè)法比較FH與FC的大小，在Rt△BCF中容易求出FC=2，而FF′=，易知F′H上，且AF＜BF”，我們就可確定點(diǎn)E、F、G的位置.如圖3，容易根據(jù)所謂的“一線三直角”基本圖形，證明△AEF≌△BFG，設(shè)AF=x，則BF=3-x，則AE=3-x，在Rt△AEF中，是⊙F′的半徑，故F′H=，顯然FH=+＜ 2，即點(diǎn)H在線段FC上，是符合題意的.此時(shí)四邊形EFGH的面積也很好求，該四邊形的對(duì)角線互相垂直，可以用EG·FH求得四邊形EFGH的面積為5+m2.

2.解后反思

前面兩問(wèn)都是初中階段十分常見(jiàn)的教材習(xí)題原型考查，第（3）問(wèn)與前面雖有關(guān)聯(lián)，但是距離較大，要想成功突破，難點(diǎn)有如下幾處：

難點(diǎn)之一：E、F、G的位置是否唯一確定？

這是問(wèn)題突破的起點(diǎn)，如果不能確定E、F、G三點(diǎn)的位置，則后續(xù)問(wèn)題就無(wú)從探究.

難點(diǎn)之二：在圖5中，F(xiàn)C與EG的特殊位置關(guān)系是什么？

如果沒(méi)有想到FC垂直平分EG，則難有后續(xù)構(gòu)造圓F′與FC的交點(diǎn)生成，而且會(huì)陷入“多點(diǎn)共線”的疑問(wèn).

難點(diǎn)之三：⊙F′與FC的交點(diǎn)H為什么滿足面積最大？

在圖6中，根據(jù)圓周角定理，矩形內(nèi)部⊙F′上很多點(diǎn)都滿足45°，但為什么⊙F′與FC的交點(diǎn)H是滿足要求的，也是由EG與FC的垂直關(guān)系帶來(lái)的.

難點(diǎn)之四：點(diǎn)H是在線段CF上還是在矩形ABCD的外部？

這里的比較涉及計(jì)算CF、FH′的長(zhǎng)，并比較.關(guān)鍵還是對(duì)于正方形的EFGF′的識(shí)別和靈活運(yùn)用.

二、解題教學(xué)的微設(shè)計(jì)

考慮到前兩問(wèn)對(duì)第（3）問(wèn)的啟示與關(guān)聯(lián)不大，我們的設(shè)計(jì)就主要基于第（3）問(wèn)的幾何問(wèn)題漸次展開(kāi).

題目：如圖3，矩形ABCD中，AB=3，AD=6，點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，∠EFG=90°，且EF=FG=

教學(xué)活動(dòng)1：復(fù)習(xí)“一線三直角”基本圖形

問(wèn)題1：求EG的長(zhǎng)；

問(wèn)題2：△AEF與△BFG是否全等？對(duì)應(yīng)關(guān)系確定嗎？

問(wèn)題3：求AF的長(zhǎng)；

問(wèn)題4：若AF＜BF，求FC的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這組系列問(wèn)題，讓學(xué)生熟悉在圖3中一些全等的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并為后續(xù)問(wèn)題的探究做些必要的準(zhǔn)備工作.

教學(xué)活動(dòng)2：復(fù)習(xí)三角形外接圓

在“題目”條件下，增加條件AF＜BF，連接CF.

問(wèn)題5：請(qǐng)指出CF與EG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

問(wèn)題6：作出△EFG關(guān)于直線EG對(duì)稱的△EGM，并指出四邊形EFGM的形狀；

問(wèn)題7：以M點(diǎn)為圓心，ME的長(zhǎng)為半徑作圓，交直線FC于H點(diǎn)，試判斷點(diǎn)H是否在矩形ABCD內(nèi)部？為什么？

問(wèn)題8：矩形ABCD邊上是否存在點(diǎn)N，使∠EMG= 45°.如果存在，作出符合要求的所有點(diǎn)N；如果不存在，說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這一組系列問(wèn)題，讓學(xué)生逐個(gè)突破上文中提及的幾個(gè)“障礙點(diǎn)”.

教學(xué)活動(dòng)3：呈現(xiàn)“考題”第（3）問(wèn)

教學(xué)安排：由學(xué)生獨(dú)立思考后，小組內(nèi)交流討論，然后大組展示解法思路，教師做好必要的追問(wèn)，暴露學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考.

教學(xué)活動(dòng)4：小結(jié)與檢測(cè)環(huán)節(jié)

針對(duì)學(xué)生練習(xí)和展示中的解題錯(cuò)漏做必要的小結(jié)，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一些常見(jiàn)圖形及性質(zhì)，為快速解題多積累經(jīng)驗(yàn).最后安排變式檢測(cè)題如下：

變式再練：如圖7，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形MNG的頂點(diǎn)M、G、N分別在邊AD、AB、BC上.

（1）直接寫出MN的長(zhǎng)；

（2）求BG的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)AG＞BG時(shí)，連接DG，求DG的長(zhǎng)；

（4）在（3）的條件下，求證GD垂直平分MN；

（5）當(dāng)AG＜BG時(shí)，矩形內(nèi)部（不含邊）是否存在點(diǎn)H，滿足∠MHN為45°，如果存在，請(qǐng)作圖指出點(diǎn)H的位置；如果不存在，說(shuō)明理由.

圖7

三、有感而發(fā)

從近期讀刊發(fā)現(xiàn)，不論是解題研究、教學(xué)研究中的例題設(shè)計(jì)再到命題研究，都需要教師修煉命題基本功，而這又需要深刻理解初中學(xué)段的特征，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而不是歪解、曲解課標(biāo)、數(shù)學(xué)教材上所倡導(dǎo)的教學(xué)理念.比如，有些中考題披著重視應(yīng)用的外衣，設(shè)計(jì)出晦澀難懂的問(wèn)題背景，使得問(wèn)題呈現(xiàn)冗長(zhǎng)、題意難懂，不符合“好的數(shù)學(xué)試題”追求簡(jiǎn)潔、好懂，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的高要求，卻被不少命題研究教師貼出諸如“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、服務(wù)于生活”“引導(dǎo)重視數(shù)學(xué)建?！钡葮?biāo)簽，使得初任教師、廣大備考師生無(wú)所適從，混淆了對(duì)數(shù)學(xué)的印象.這方面的有益啟示，建議同行們多關(guān)注北京、上海等地近年來(lái)的中考把關(guān)題，問(wèn)題的簡(jiǎn)約呈現(xiàn)，入口淺寬，深入下去，濃濃的數(shù)學(xué)味道回味無(wú)窮，愿與更多的命題研究者共勉，為命題研究的深入發(fā)展而共同努力.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.H