重視閱讀材料挖掘數(shù)學(xué)文化——從2016年涼山州中考第24題談起

☉甘肅禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校楊虎

重視閱讀材料挖掘數(shù)學(xué)文化——從2016年涼山州中考第24題談起

☉甘肅禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校楊虎

一、試題呈現(xiàn)

試題：（2016年涼山州高中階段教育學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題第24題）閱讀下列材料并回答問題：

古希臘幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年），在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名.他在《度量》一書中，給出了公式①和它的證明，這一公式稱為海倫公式.

我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：

下面我們對公式②進行變形：

這說明海倫公式與秦九韶公式實質(zhì)上是同一公式，所以我們也稱①為海倫—秦九韶公式.

問題：如圖1，在△ABC中，AB= 13，BC=12，AC=7，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點分別是D、E、F.

（1）求△ABC的面積；

（2）求⊙O的半徑.

圖1

本題是一道材料閱讀、分析探究題，取材于人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級（下冊）二次根式一章中的閱讀與思考，材料題目是海倫—秦九韶公式，與原材料相比試題多了一問，即求三角形內(nèi)切圓的半徑.筆者認(rèn)為本題選題背景深邃而雋永，文化價值豐富而濃郁，問題解決簡約易推廣，是一道飽含豐富數(shù)學(xué)文化的試題.

二、試題解讀

1.選題背景深邃而雋永

（1）海倫公式來由.

海倫公式（Heron’s formula或Hero’s formula），又譯希羅公式、希倫公式、海龍公式，亦稱“海倫-秦九韶公式”.傳說是古代的敘拉古（希臘城邦）國王希倫（Heron，也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求三角形面積.亦有認(rèn)為阿基米德已經(jīng)懂得這個公式，而由于《Metrica》是一部古代數(shù)學(xué)知識的結(jié)集，該公式的發(fā)現(xiàn)時期很有可能先于希羅的著作.其基本原理如下所示.

假設(shè)在平面內(nèi)，有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

注：“Metrica”（《度量論》）手抄本中用s作為半周長，所以兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長.

（2）海倫—秦九韶公式來由.

中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣.

在我國《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形面積公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事.所以他們想到了三角形的三條邊.如果這樣做求三角形的面積也就方便多了.但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”.

秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.“術(shù)”即方法.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個.相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積.

由于任何邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式.比如說測量土地面積時，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案.

所謂“實”“隅”，指的是在一個方程p×2=q中，p為“隅”，q為“實”.于是S、a、b、c分別表示三角形面積、大斜、中斜、小斜（具體推導(dǎo)過程略），所以這一公式也被稱為“海倫-秦九韶公式”.

（3）幾個優(yōu)美變式.

以下是這個公式的幾個優(yōu)美變式，其中變式（4）就是秦九韶公式.

（4）關(guān)于公式的證明.

海倫公式的證明方法很多，最基本的思路是在給定的三角形中作內(nèi)切圓，利用三角形相似來證明.中國古代的數(shù)學(xué)家梅文鼎在《平三角舉要》中，李善蘭在《天問或算》中，都給出了證法，其中利用勾股定理進行代數(shù)證明比較簡單，另外還有向量證法，三角函數(shù)證法，利用三角形的面積公式結(jié)合余弦定理證明等.限于篇幅，這里不做探究.

由此可以看出，這道試題以課本中的閱讀材料為平臺，以海倫公式為背景進行命題，不僅因海倫公式結(jié)構(gòu)工整，形式漂亮，讓試題充滿了視角美，而且也因這個公式吸引好多人探索，讓試題具有了背景深邃、內(nèi)涵雋永的無限韻味.

2.文化價值豐富而濃郁

（1）呼應(yīng)課標(biāo)數(shù)學(xué)文化要求.

數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分，一直受到數(shù)學(xué)教育家的普遍關(guān)注.這一點在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有重要的體現(xiàn).2001年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》提出：“教材中要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，在對數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，教材可以在適當(dāng)?shù)牡胤讲迦虢榻B有關(guān)數(shù)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)史的知識，豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展的整體認(rèn)識……”.時隔不久，2011年的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》又重申：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中.為此，教材可以適時地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美……”.所以這道試題以海倫公式這一數(shù)學(xué)文化為背景命題是與《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念相呼應(yīng)的.

（2）滲透國內(nèi)外數(shù)學(xué)文化.

按照課程標(biāo)準(zhǔn)的建議，人民教育出版社出版的九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材在閱讀與思考或?qū)嶒炁c探究欄目設(shè)置了一些與“數(shù)學(xué)文化”有關(guān)的內(nèi)容，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中了解數(shù)學(xué)與自然及人類社會的聯(lián)系，進一步了解數(shù)學(xué)的價值.而本著這一理念，近年來的中考中蘊含豐富數(shù)學(xué)文化價值的試題頗受各地命題者的青睞，僅2016年這樣的試題就有不少，而本題更是以名人（古希臘幾何學(xué)家海倫）為引子，結(jié)合我國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶，給學(xué)生展現(xiàn)了優(yōu)美的海倫-秦九韶公式.從數(shù)學(xué)史的角度看，世界上的每一個民族都有自己的數(shù)學(xué)史，而通過自己本國的語言、名人介紹同一個數(shù)學(xué)問題更能夠拉近學(xué)生心理上的距離，激發(fā)民族自豪感，增強學(xué)生對本國數(shù)學(xué)文化的理解與認(rèn)同.所以在閱讀這道題時就能夠帶給學(xué)生心理上的親近感和視角上的震撼感，豐富而濃郁的數(shù)學(xué)文化價值體驗也油然而生，因而問題的求解也就自然而清新.

3.問題解決簡約易推廣

（1）解法.

①第（1）問的解法.

解法1：因a=BC=12，b=AC=7，c=AB=13，則p=16，于是由海倫公式S=

解法2：因為a=BC=12，b=AC=7，c=AB=13，于是由秦九韶公式：得S=

單從運算的角度看，利用海倫公式涉及a、b、c、p四個量，但是計算數(shù)值較小，運算量小不易出錯；利用秦九韶公式涉及a、b、c三個量，但是運算數(shù)字較大，運算量大.

②第（2）問的解法.

解：如圖2，連接AO、BO、CO、OD、OE、OF.由于⊙O內(nèi)切于△ABC，于是OE⊥BC，OD⊥AB，OF⊥AC.設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OE=OF=r，不難看出S△ABC=S△AOB++S=（r13+12+7）=16r.△AOC

圖2

圖3

由第（1）問知S△ABC=24，于是16r=24，解得r=，即⊙O的半徑為.

（2）推廣.

根據(jù)試題第（1）問進行如下推廣.

推廣1：在任意內(nèi)接于圓的四邊形ABCD中，設(shè)四條邊長分別為a、b、c、d，且則=

由試題第（2）問的求解易得如下推廣2.

三、反思與啟示

1.反思

從教師的角度分析，閱讀材料在教材中沒有教學(xué)要求，這部分看似“可有可無”的內(nèi)容在教學(xué)中可能被教師一筆帶過甚至忽略.因此，在教學(xué)中認(rèn)為只要學(xué)生在課余看一看、學(xué)一學(xué)就可以，抑或持一個無所謂的態(tài)度，任由學(xué)生“自生自滅”，沒有必要引導(dǎo)學(xué)生進行探究.這樣必然影響到學(xué)生對閱讀材料學(xué)習(xí)的態(tài)度，認(rèn)為教師不作要求的內(nèi)容沒有必要學(xué)習(xí)，因而影響了對閱讀材料的學(xué)習(xí)，忽視了閱讀材料中蘊含的重要的數(shù)學(xué)文化價值.

從學(xué)生的角度看，素質(zhì)教育雖然進行了好多年，數(shù)學(xué)課程改革也進行得如火如荼，減負(fù)的口號也很響亮，然而學(xué)生的書包似乎并沒有輕多少.大都忙于教師布置的課堂作業(yè)、正式作業(yè)、課外作業(yè)，而很少意識到閱讀材料的存在.當(dāng)然閱讀材料有一定的深度與難度，比較抽象，也會讓部分學(xué)生望而興嘆，失去學(xué)習(xí)與探索的興趣.

2.啟示

（1）重視閱讀材料，提升情感教育.

首先，閱讀材料是教學(xué)內(nèi)容的補充和延伸，又是引導(dǎo)學(xué)生進行自主探究學(xué)習(xí)的好素材，充分體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中新的教學(xué)理念，可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化，開拓學(xué)習(xí)視野，提升發(fā)散思維，是教材的重要組成部分.其次，閱讀材料豐富了數(shù)學(xué)課程資源，對教學(xué)的彈性預(yù)設(shè)提供了可能，結(jié)合學(xué)生的特長個性，有利于教學(xué)中因材施教和分層教學(xué)的實施.所以對于這部分內(nèi)容，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵、要求并引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)，教師重視了，學(xué)生的態(tài)度也會隨之改變；同時也應(yīng)當(dāng)借助中考試題的導(dǎo)向作用，將閱讀材料滲入課堂，逐步融入教學(xué)，汲取閱讀材料中的營養(yǎng)，從古今數(shù)學(xué)發(fā)展史，名人故事與名題，數(shù)學(xué)游戲與趣聞，特別是與我國數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家有關(guān)的題材等入手，讓數(shù)學(xué)教學(xué)因為閱讀材料而生動有趣，賦予內(nèi)涵，進一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使其理解數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、愛國熱情，真正做到情感教育與考試功能的有機結(jié)合.

（2）整合閱讀材料，挖掘數(shù)學(xué)文化.

閱讀材料中蘊含的數(shù)學(xué)文化不僅對揭示數(shù)學(xué)知識的來源與應(yīng)用有著重要作用，而且對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與創(chuàng)造性有引導(dǎo)作用.但是閱讀材料往往是在章末作為教材的補充以較小的篇幅呈現(xiàn)，缺乏知識的完整性與連續(xù)性，這就要求教師廣泛閱讀各種材料，整合閱讀材料，濃縮知識，領(lǐng)會編寫意圖，創(chuàng)造性地教學(xué)，將閱讀材料滲透到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)；更要挖掘材料背后的數(shù)學(xué)文化價值，對材料中的定義與概念、公式和與定理、思想及方法進行認(rèn)真思考和深度融合，并進一步探索如何在教學(xué)中將其展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生插上探索的翅膀，盡情翱翔在閱讀材料教學(xué)的廣袤天空中，體驗數(shù)學(xué)文化的博大精深，實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的育人功能.

1.張安軍.數(shù)學(xué)文化視角下的中考試題賞析及思考［J］.教育實踐與研究，2016（6）.

2.張寧.數(shù)學(xué)文化：情感教育與考試功能有效結(jié)合的載體——以“數(shù)學(xué)文化”為背景的中考試題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.

3.盧多秀.義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)課本中閱讀材料的教學(xué)體會［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1995（4）.

4.人民教育出版社課程教材研究所.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級（下）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

5.梁紅京.充分發(fā)揮教材中閱讀材料的作用［J］.基礎(chǔ)教育課程，2008（9）.

6.搜狗百科.海倫公式［E］.http：//baike.sogou.com/ v89877.htm.Z