回歸·堅(jiān)守·創(chuàng)新

☉山東濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部邢成云

回歸·堅(jiān)守·創(chuàng)新

☉山東濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部邢成云

新的課程改革的理念需要落地，需要教學(xué)的踐行，但若沒有中考試題之引領(lǐng)與助推作用，即缺乏最有說服力的評(píng)價(jià)，行動(dòng)的落實(shí)往往會(huì)打折扣.課改理念的召喚及中考試題風(fēng)向標(biāo)的合力將有效引領(lǐng)教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，追求更高層級(jí)的教學(xué)效益.筆者通過對(duì)中考試題的研究發(fā)現(xiàn)：江西省中考試題（課標(biāo)卷）較好地落實(shí)了課改理念，并不時(shí)有創(chuàng)新之舉，除了客觀評(píng)價(jià)學(xué)生，還關(guān)注了學(xué)生的可發(fā)展性，對(duì)思維的深度頗有要求，同時(shí)給我們中考研究提供了優(yōu)質(zhì)的素材.本文擷取僅用“直尺作圖”的一角，探研這類題的立意與價(jià)值，期盼更多類似的題目出現(xiàn)，在這類創(chuàng)意作圖中彰顯數(shù)學(xué)本味，在限制工具中增大智能挑戰(zhàn)性，以發(fā)展學(xué)力、助力思維、提升數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng).

筆者發(fā)現(xiàn)，從2004年始（課標(biāo)卷），江西省開始出現(xiàn)僅用“直尺作圖”的題目，一開始是立足網(wǎng)格，由明確工具到隱形考查（2005年、2006年），立意清新，到2007年擺脫網(wǎng)格，獨(dú)出機(jī)杼，給人別有洞天之感.2008年-2011年這4年這類題目忽然遁去，但到了2012年回歸僅用“直尺作圖”，至今連續(xù)4年都在此精心策劃題目，命制出很有品味的考題.另外，在省命題取向的感召下，省轄大市也紛紛命出此類問題，成為江西省的一道“景觀”.以下通過評(píng)析的形式與眾位同仁共享，以期引起共鳴.

一、借力網(wǎng)格

例1（2004）如圖1，已知方格紙中的每個(gè)小方格都是相同的正方形.∠AOB畫在方格紙上，請(qǐng)?jiān)谛》礁竦捻旤c(diǎn)上標(biāo)出一個(gè)點(diǎn)P，使點(diǎn)P落在∠AOB的平分線上.

分析：很顯然，要找到∠AOB的平分線上的一個(gè)格點(diǎn)，顯然需要這一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，但由于這個(gè)點(diǎn)P處于格點(diǎn)位置，靠尺規(guī)作圖未必能隨人愿乖乖地就范于格點(diǎn).基于此，立足網(wǎng)格、圖形及所找點(diǎn)P應(yīng)滿足的條件，直接在圖中把它挖出來才是應(yīng)然之舉，需要的作圖工具直尺足矣！對(duì)∠AOB居于網(wǎng)格的位置進(jìn)行觀察、分析、判斷，并用角平分線的概念、判定方法等審視、比對(duì)，發(fā)現(xiàn)很難直接找到一個(gè)格點(diǎn)到角兩邊的距離相等，這樣就督促我們擴(kuò)大視野、廣泛搜索，依托網(wǎng)格線直接（縱橫線）或間接（正方形對(duì)角線）畫出.在此有一個(gè)既得經(jīng)驗(yàn)——角平分線的尺規(guī)作圖，由于點(diǎn)B、點(diǎn)O處在格點(diǎn)上，根據(jù)勾股定理算得BO=5，又OA=5，則有AO=BO=5，此時(shí)若再能找到一個(gè)格點(diǎn)使它到B、A兩點(diǎn)的距離相等（突破了原有到角兩邊的距離相等這一定勢(shì)）即可，依托勾股定理及三角形全等等知識(shí)，憑借直觀與計(jì)算發(fā)現(xiàn)P1A=P1B=P2A=P2B=、P3A=P3B=5，故圖2中的三個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3均符合題意.（附點(diǎn)P3其他的尋找思路：過點(diǎn)B的橫線一定平行于OA，借助“角平分線+平行線=等腰三角形”模型可想到只要將點(diǎn)B沿水平線平移5個(gè)單位即可）

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題把角分線的軸對(duì)稱性鑲嵌于網(wǎng)格內(nèi)，凸顯出只用直尺作圖的智能性，在淡化了尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)上，深度展現(xiàn)了幾何圖形的內(nèi)在屬性，以角平分線為核心，聯(lián)通了勾股定理、三角形全等及等腰三角形等重點(diǎn)知識(shí).

例2（2005）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上.

（1）在圖3中清晰標(biāo)出點(diǎn)P的位置；

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是_________.

圖3

圖4

分析：看似沒有只用直尺的要求，但隱形考查的就是利用直尺找到交叉點(diǎn)，確立點(diǎn)P的位置，而后寫出其坐標(biāo).這是因需而用的.答案如圖4，即點(diǎn)P（6，6）.

點(diǎn)評(píng)：這類題目沒有明確讓我們作圖，但解答的過程中又必須有作圖的支持才能化解問題，這種因需而生是活用“四基”的一種折射，它借助網(wǎng)格考查學(xué)生的動(dòng)手操作及思維實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?

例3（2006）請(qǐng)?jiān)谟蛇呴L(zhǎng)為1的小正三角形組成的虛線網(wǎng)格（圖5）中畫出一個(gè)所有頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且至少有一條邊長(zhǎng)為無理數(shù)的等腰三角形.

分析：本題看似一個(gè)隨意性較大的畫圖，其實(shí)關(guān)涉兩個(gè)重要的概念：一是無理數(shù)，二是等腰三角形，另外還有格點(diǎn)的限制，是對(duì)幾何直觀的考查.其視角可定位為一邊為無理數(shù)的、兩邊為無理數(shù)的、三邊均為無理數(shù)的，如圖5中的虛線三角形即為其一（等邊三角形）.

點(diǎn)評(píng)：本題是一道開放性畫圖題，它無非是將網(wǎng)格中得天獨(dú)厚的垂直關(guān)系、平行關(guān)系挖掘出來，或許就是一個(gè)簡(jiǎn)單的連線，往往給人豁然開朗的感覺，因此這類題備受命題者與考生的青睞.

圖5

二、無格而作

例4（2007）如圖6，已知∠AOB，OA=OB，點(diǎn)E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形.請(qǐng)你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（請(qǐng)保留畫圖痕跡）.

圖6

圖7

分析：由于已知OA=OB，說明△OAB是等腰三角形.根據(jù)“矩形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)，連接矩形的兩條對(duì)角線，即可找到AB的中點(diǎn)G.射線OG即是所要作的∠AOB的平分線（如圖7）.

點(diǎn)評(píng)：本題巧妙地把等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的基本圖形與矩形的基本圖形進(jìn)行了有機(jī)結(jié)合，其妙在于矩形對(duì)角線的交點(diǎn)恰為等腰三角形底邊的中點(diǎn)，正是這種內(nèi)在關(guān)聯(lián)，才形成一道別有韻致的好題！

三、梅開二度

例5（2012）如圖8，已知正五邊形ABCDE，請(qǐng)用無刻度的直尺，準(zhǔn)確畫出它的一條對(duì)稱軸（保留畫圖痕跡）.

分析：本題充分利用了正五邊形的性質(zhì)：5條邊相等、5個(gè)角相等，是軸對(duì)稱圖形，且有5條對(duì)稱軸，每一條對(duì)稱軸都通過頂點(diǎn)，基于這些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的支持，我們只要再找到對(duì)稱軸上另外一點(diǎn)即可，根據(jù)平時(shí)研究這個(gè)圖形積累的經(jīng)驗(yàn)：若連對(duì)角線，等腰梯形、等腰三角形立即顯現(xiàn)，依據(jù)等腰三角形的對(duì)稱性，不難想到連接兩條對(duì)角線即可尋到要找的“點(diǎn)”.即連接BD、CE交于點(diǎn)K，直線AK即為所求（如圖9）.這僅是其一，其他4條同法可得.另法：可以固定一個(gè)頂點(diǎn)，比如A點(diǎn)，然后分別延長(zhǎng)ED、BC交于點(diǎn)O，直線AO即為所求.可見，本題作法不唯一.

圖8

圖9

點(diǎn)評(píng)：相隔4年，此類題目再次亮相，二度發(fā)展，這種回歸是對(duì)這類題目的進(jìn)一步創(chuàng)新與堅(jiān)守.通過本題，我們獲得一個(gè)發(fā)現(xiàn)：正多邊形中除了正三角形，其他均可以只用直尺完成對(duì)稱軸的作圖.

例6（2013）如圖，AB是半圓的直徑，圖10中，點(diǎn)C在半圓外；圖11中，點(diǎn)C在半圓內(nèi)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求畫圖.

圖10

圖11

（1）在圖10中，畫出△ABC的三條高的交點(diǎn)；

（2）在圖11中，畫出△ABC中AB邊上的高.

分析：圖10中點(diǎn)C在圓外，要畫三角形的高，就是要過點(diǎn)B作AC的垂線，過點(diǎn)A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工具——無刻度的直尺（只能作直線或連接線段），說明必須用所給圖形本身的性質(zhì)來畫圖（這就是創(chuàng)新作圖的魅力所在），作高就是要構(gòu)造90°角，顯然由圓的直徑就應(yīng)聯(lián)想到“直徑所對(duì)的圓周角為90度”.設(shè)AC與圓的交點(diǎn)為E，連接BE，就得到AC邊上的高BE；同理設(shè)BC與圓的交點(diǎn)為D，連接AD，就得到BC邊上的高AD，則BE與AD的交點(diǎn)就是△ABC的三條高的交點(diǎn)（如圖12）；題（2）是題（1）的拓展、升華，三角形的三條高相交于一點(diǎn)，受題（1）的啟發(fā)，我們能夠作出△ABC的三條高的交點(diǎn)P，再作射線PC與AB交于點(diǎn)D，則CD即為所求（如圖13）.

圖12

圖13

點(diǎn)評(píng)：本題是基于一道競(jìng)賽題的改造題，歸屬考查對(duì)象的作圖創(chuàng)新，它考查考生對(duì)圓的性質(zhì)的理解、讀圖能力.題（1）要作點(diǎn)，題（2）要作高，都是要解決直角問題，其實(shí)用到的知識(shí)就是“直徑所對(duì)的圓周角為直角”.如何靈活調(diào)度這一知識(shí)實(shí)現(xiàn)作圖轉(zhuǎn)化是問題的命脈.

例7（2014）已知梯形ABCD，請(qǐng)使用無刻度直尺畫圖.

（1）在圖14中畫一個(gè)與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；

圖14

圖15

（2）在圖15中畫一個(gè)與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形.分析：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則S梯形ABCD=（AD+ BC）×4=×10×4=20.這是問題的出發(fā)點(diǎn)，剩下的工作就是如何找到面積值為20的符合條件的圖形.

（1）以CD為邊，以梯形上下底之和為三角形的底，梯形的高為三角形的高作出△CDE（如圖16），或以CD（4）為邊作出高為20×2÷4=5的圖形（如圖17），△CDE就是所作的三角形.

圖16

圖17

（2）以梯形的高為平行四邊形的高，梯形的腰AB為平行四邊形的一邊，梯形上下底之和的一半為平行四邊形的另一邊作圖.如圖18，BE=5，BE邊上的高為4，則平行四邊形ABEF的面積是5× 4=20，則平行四邊形ABEF就是所作的平行四邊形.

點(diǎn)評(píng)：本題以等積變換為載體，綜合考查勾股定理、平行四邊形的判定及全等變換等核心知識(shí)，同時(shí)也揭示了一種圖形化歸為其他圖形常用的方法，是一種化非常規(guī)為常規(guī)、化不規(guī)則為規(guī)則的基本思路的展示.

例8（2015）⊙O為△ABC的外接圓，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖19、圖20中畫出一條弦，使這條弦將△ABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（1）如圖19，AC=BC；

圖18

圖19

圖20

（2）如圖20，直線l與⊙O相切于點(diǎn)P，且l∥BC.

圖21

圖22

如圖22，由l切⊙O于點(diǎn)P，作射線PO，交BC于點(diǎn)E，則PO⊥l.又l∥BC，則PO⊥BC.由垂徑定理知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE交⊙O于F，則AF為所求作的弦.

點(diǎn)評(píng)：本題把等分面積與垂徑定理接軌，以“中點(diǎn)”為載體形成交匯，考查的角度比較新穎，第二問增大挑戰(zhàn)性，借力切線的性質(zhì)顯現(xiàn)出垂徑定理的使用條件，把問題化解，兩個(gè)問題層級(jí)遞進(jìn)，關(guān)聯(lián)密切，形成了一道智趣橫生的作圖題.

【寫在最后】

只用直尺作圖，失去了圓規(guī)的助力，更多地傾向于考查幾何圖形的核心本質(zhì)，其智能性強(qiáng)，其指向具備了常規(guī)作圖的幾何直觀和幾何性質(zhì)的思辨等雙重功能，原來一般是一些數(shù)學(xué)愛好者視域內(nèi)的東西，或者出現(xiàn)在競(jìng)賽題中，也就是說這類題型已有先例、并非原創(chuàng)，但在中考中展開考查，并且堅(jiān)持考查既是一種膽識(shí)，也是一種創(chuàng)新，此類淡化尺規(guī)作圖的題目具有較高的思維價(jià)值，是典型的能力立意的好題目，通過作圖承載“四基”的考查，新穎別致，活潑靈動(dòng)，同時(shí)為幾何教學(xué)開辟了一個(gè)新路徑，我們期待江西省來年的中考仍有“直尺作圖”的一席之位.

1.邢成云.只用直尺，所以精彩［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2015（9）.

2.錢云祥，錢德春.與初一孩子一起“玩”中考題——一道中考網(wǎng)格題在初一課堂上的嘗試與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（7）.Z