摭談“類比推理”在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

☉江蘇省泰州市高港區(qū)許莊初級(jí)中學(xué)王書霞

摭談“類比推理”在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

☉江蘇省泰州市高港區(qū)許莊初級(jí)中學(xué)王書霞

類比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間的形同和相似進(jìn)行推理計(jì)算的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的重要方法之一，通過(guò)類比推理能夠?qū)で蠼鉀Q問(wèn)題的思路，可以使模糊的問(wèn)題清晰化、復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.初中數(shù)學(xué)內(nèi)容廣泛，很多內(nèi)容如代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題、方程問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題等都需要用到類比推理.本文結(jié)合具體案例簡(jiǎn)要分析了類比推理的實(shí)際應(yīng)用，以達(dá)到激活學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)效率的目的.

一、在代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)方程和函數(shù)的基礎(chǔ)，在中考數(shù)學(xué)中占有較大比重.在解決代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生巧妙運(yùn)用類比推理的方法，以幫助學(xué)生撥開迷霧，看到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而快速而有效地解決問(wèn)題.比如，因式分解是初中代數(shù)的難點(diǎn)之一，學(xué)生對(duì)于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的問(wèn)題往往會(huì)束手無(wú)策，如果教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比推理方法，那么就可以達(dá)到事半功倍的效果.

案例1因式分解（x+y-m-n）2-4（x-m）（y-n）.

分析：學(xué)生看到題目的第一感覺(jué)是難，主要原因是題目比較復(fù)雜，學(xué)生對(duì)于復(fù)雜因式分解的題目接觸少，以致有一種無(wú)從下手的感覺(jué).此時(shí)，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，幫助學(xué)生分析題目，通過(guò)觀察變形，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)題目前后兩部分之間聯(lián)系密切，與以前做過(guò)的一道題（a+ b）2-4ab很相似，可以把x-m看成a，把y-n看成b，然后，可以類比這道題的解題過(guò)程（a+b）2-4ab=a2+2ab+b2-4ab= a2-2ab+b2=（a-b）2就很容易解決了.

解：（x+y-m-n）2-4（x-m）（y-n）=［（x-m）+（y-n）］2-4（x-m）（y-n）=（x-m）2+2（x-m）（y-n）+（y-n）2-4（xm）（y-n）=（x-m）2-2（x-m）（y-n）+（y-n）2=［（x-m）-（yn）］2=（x-y-m+n）2.

由此可見，在代數(shù)解題中，應(yīng)用類比推理方法可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，大大縮短做題的時(shí)間，提高學(xué)生做題的效率.

二、在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

三角形和四邊形是初中數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，有很多幾何問(wèn)題可通過(guò)類比推理的方法去解決，以達(dá)到高效快捷的效果.比如，特殊的四邊形是中考必考內(nèi)容之一，也是綜合性很強(qiáng)的題目，往往有一定的難度，在解決此類問(wèn)題時(shí)，可以選擇類比的方法，往往會(huì)取得意想不到的效果.

案例2如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點(diǎn)．∠AEF=90°，且EF交正方形的外角平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．

經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．

（1）如圖2，如果把“E是邊BC的中點(diǎn)”改為“E是邊BC上（除點(diǎn)B，C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”還成立嗎？

（2）如圖3，E是BC的延長(zhǎng)線上（除點(diǎn)C外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”還成立嗎？

圖1

圖2

圖3

分析：這是一道綜合性的中考題，學(xué)生對(duì)于這種類型的題目往往一看就感覺(jué)很難，因此，有的學(xué)生甚至連題目沒(méi)有讀完就不看了，實(shí)際上如果學(xué)生仔細(xì)閱讀與分析，這道題非常簡(jiǎn)單，學(xué)生只要類比小明的做法就很容易能證明出結(jié)論.（2）中可以在AB上取一點(diǎn)M，使AM= EC，即可證明△AME≌△ECF，然后得出結(jié)論.（3）中可以在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N，使AN=CE，也易證△ANE≌△ECF，從而得到AE=EF.

解：（1）成立.

證明：在AB上取一點(diǎn)M，使AM=BC，連接ME，如圖4.

所以BM=BE.所以∠BME=45°，所以∠AME=135°.

因?yàn)镃F是外角平分線，所以∠DCF=45°，所以∠ECF=135°.

所以∠AME=∠ECF.

因?yàn)椤螦EB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，所以∠BAE=∠CEF.

所以△AME≌△ECF.所以AE=EF.

圖4

圖5

（2）成立.

證明如下：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N.使AN=CE，連接NE，如圖5.所以BN=BE.所以∠N=∠FCE=45°.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AD∥BE，所以∠DAE=∠BEA.所以∠NAE=∠CEF.所以△ANE≌△ECF，所以AE=EF.

三、在方程問(wèn)題中的應(yīng)用

解方程雖然在初中數(shù)學(xué)中的難度不是特別大，但由于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本遵循由特殊到一般的過(guò)程，因此，對(duì)于一些帶有字母系數(shù)的方程，學(xué)生解決起來(lái)感覺(jué)不是很順利，往往漏洞百出，如果運(yùn)用類比推理的方法可大大降低出錯(cuò)率，提高做題的速度.

案例3解關(guān)于x的方程：ax+b=cx+d（a≠c）.

分析：學(xué)生對(duì)于含有多個(gè)字母的方程往往有一種恐懼感，感覺(jué)無(wú)從下手，很多情況下直接選擇放棄，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比推理的方法去解決此類問(wèn)題.可以把這個(gè)題目類比方程7x+5=2x-3的解題方法去解決就簡(jiǎn)單多了.

解：ax+b=cx+d，ax-cx=d-b，（a-c）x=d-b.因?yàn)閍≠c，所以a-c≠0，所以x=

此題的解題過(guò)程主要類比“7x+5=2x-3，7x-2x=-3-5，5x=-8，x=”這一解題過(guò)程得到，由此可見，運(yùn)用類比推理具有較強(qiáng)的優(yōu)越性.

四、在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

函數(shù)是整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，函數(shù)內(nèi)容在中考數(shù)學(xué)中占有很大的比重，也是學(xué)生失分最嚴(yán)重的題目，究其原因不僅是因?yàn)楹瘮?shù)抽象性強(qiáng)，難度大，而且與學(xué)生不能正確運(yùn)用合適的解題方法有直接關(guān)系.綜合性較強(qiáng)的函數(shù)題并不孤立存在，往往與其他的知識(shí)點(diǎn)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，學(xué)生要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析，運(yùn)用類比的方法往往會(huì)大大降低題目的難度，取得正確的解題思路和方法，迅速地得出結(jié)果.二次函數(shù)是中考的壓軸題，難度高、綜合性強(qiáng)，在解決此類題目時(shí)，可以運(yùn)用類比推理去解決.

案例4在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn).

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值.

分析：第一問(wèn)非常簡(jiǎn)單，把A、O、B三個(gè)點(diǎn)代入去解方程組即可得出結(jié)果.第二問(wèn)很多學(xué)生感覺(jué)很難，主要是不會(huì)求最小值的方法，此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比以前學(xué)習(xí)求最短距離的問(wèn)題，通過(guò)作對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短的道理，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，AB即為最短距離，然后利用勾股定理很容易就求得AM+OM的最小值.

解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三點(diǎn)代入y= ax2+bx+c中，得y=-x2+x.

總之，類比推理是一種有效的數(shù)學(xué)解題方法，在初中數(shù)學(xué)中大膽運(yùn)用類比推理不但可以達(dá)到溫故而知新的目的，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，大大提高解題的效率.

1.陸欣蕓.類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用探討［J］.學(xué)周刊，2016（1）.

2.林桂蓮.淺談?lì)惐确ㄔ诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.教育教學(xué)論壇，2013（19）.H