由“方程組”談?wù)剶?shù)學(xué)思維

☉山東淄博市臨淄區(qū)皇城一中張達(dá)

由“方程組”談?wù)剶?shù)學(xué)思維

☉山東淄博市臨淄區(qū)皇城一中張達(dá)

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維的提升是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo).方程組思維又是初中學(xué)生區(qū)別于算術(shù)思維需要首先培養(yǎng)的一類思維，如何看待方程組思維及如何培養(yǎng)呢？請看下面的論述.

【案例一】已知x1、x2是方程x2-2x+a=0的兩個實數(shù)根，且x1+2x2=3-，求x1、x2及a的值.

不怕大家笑話，看著條件x1+2x2=3-，筆者很長時間沒有思路，不知怎么處理這個x1加上兩個x2.在想了很長時間以后，我才憋出這么個想法來：用上兩根之和x1+x2=2，這樣不就可以求出x2了嗎？！在這樣先求出x2，又把x2代回x1+x2=2中求出x1的那一剎那，一種新的想法頓時給我剛剛的欣喜潑了一盆冷水，因為我意識到了一種更為高層次的思維方法——方程組.原來x1+2x2=3-就是關(guān)于未知數(shù)x1、x2的一個方程、一個條件，它需要連同兩根之和這另外一個條件來發(fā)揮作用，不可厚此薄彼.

這也解釋了為什么盯著x1+2x2=3-沒有任何思路的原因，一看到什么條件就想著非從它身上弄出點兒什么結(jié)果來，這種直白的、順序性的思維是不奏效的.

當(dāng)我有點兒慚愧時，我還要為自己辯護(hù)幾句：對任何事物的認(rèn)識都不是一蹴而就的，都得有些原始的、樸素的積累，然后比較、反思，最終形成更高層次的見解.我們切不可踩著這些積累走過來了再回頭去說它們基礎(chǔ)，說它們“低等”，那樣恰恰是不對的，沒有這個真實的學(xué)習(xí)過程，那些所謂的高等認(rèn)識也是空中樓閣，不接地氣，是無根之木、無源之水.

圖1

【案例二】“求交點就是聯(lián)立方程組”這句話說著容易，理解起來不簡單.

如圖1，求直線y=-2x-1與直線y=-x的交點A的坐標(biāo).

同學(xué)們多數(shù)還是這樣做的：列方程-2x-1=-x，其潛在的理解是：題目讓求交點的坐標(biāo)，就是求自變量是多少時兩個函數(shù)值相等.結(jié)果自變量的地位被自然地突出出來了！所以對于用這種一元一次方程的方法解決問題的同學(xué)來講，“方程組”就是不習(xí)慣和難以接受的.老師就要去做更細(xì)致的點撥：交點的橫、縱坐標(biāo)就是兩個未知數(shù)，它們的地位是平等的.既然是兩個未知數(shù)，就需要找兩個條件，列兩個方程，統(tǒng)籌地解決它們.這兩個條件就是交點A同時所在的兩條直線，兩個方程就是兩個解析式.

【案例三】如圖2，正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°且EF交正方形外角的平分線CF于點F，在如圖3所示的坐標(biāo)系中，當(dāng)點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線y= -x2+x+1上，求此時點F的坐標(biāo).

我是這樣做的：點F在拋物線y=-x2+x+1上，就設(shè)點F為（a，-a2+a+1），為了把a求出來，需要再找一個條件.在作了FH⊥x軸之后，再找的條件為FH=CH，這樣-a2+a+1= a-1，解得a=，點F為（，-1）.

圖2

參考答案是這樣做的：作FH⊥x軸，設(shè)點F的橫坐標(biāo)即BH的長為a，則點F的縱坐標(biāo)即FH=CH=BH-1=a-1，再把（a，a-1）代入拋物線的解析式得-a2+a+1=a-1，解得a=，點F為（，-1）.

以上兩種方法都是有側(cè)重的.

方法1是先利用“在拋物線上”這一條件去設(shè)未知數(shù)，實際上是想先得到一個結(jié)果，即縱坐標(biāo)可用含橫坐標(biāo)的表達(dá)式-a2+a+1表示出來，然后利用“FH=CH”這一條件列方程.

方法2是先利用“FH=CH”這一條件去設(shè)未知數(shù)，實際上也是想先得到一個結(jié)果，即縱坐標(biāo)可用含橫坐標(biāo)的表達(dá)式a-1表示出來，然后利用“在拋物線上”這一條件去列方程.這還是說條件的選擇、使用有順序性，用完一個，再用一個，而不是同時考慮.

要是不分先后，統(tǒng)籌、平等地看待這兩個條件（“在拋物線上”“FH=CH”）就會得到方程組：

剛才那兩種解法就是把①代入②，或把②代入①的問題了.而FH=CH這個條件翻譯出來的式子y=x-1就是直線CF的解析式，這個題就是去求拋物線與射線CF的交點.

小結(jié)

“方程組”的思維在于整體地、統(tǒng)籌地、平等地對待一個個條件.在翻譯出某一個條件時并不指望它能得出一個什么直接的結(jié)果，而是耐心地寫出另一個后，再綜合處理這些方程.學(xué)生形成方程（組）思維可以從以下幾步去引導(dǎo).

一是讓他們學(xué)會代數(shù)設(shè)想.具體地說，讓學(xué)生逐步學(xué)會在思考問題時，假設(shè)問題已經(jīng)解出，并用某個字母表示，然后去尋求未知量應(yīng)滿足哪些條件，亦即尋求未知量與已知量之間的關(guān)系.

二是引導(dǎo)他們學(xué)會代數(shù)翻譯.牛頓這樣說過：“要想解一個有關(guān)數(shù)目的問題或有關(guān)量的抽象關(guān)系的問題，只要把問題日常語言翻譯成代數(shù)的語言就成了.”所謂代數(shù)語言，基本“詞匯”就是代數(shù)式，把自然語言翻譯成代數(shù)語言，就是構(gòu)造代數(shù)式列出方程（組）.

三是引導(dǎo)他們理解解方程（組）的實質(zhì).解方程（組）的過程實質(zhì)上就是通過已知量和未知量的重新組合把未知量轉(zhuǎn)化為已知量的過程.

方程組思維只是眾多數(shù)學(xué)思維中的一種，推而廣之，每種思維的培養(yǎng)都可像培養(yǎng)方程組思維這樣，深入分析，充分對比，逐步提升，優(yōu)化認(rèn)識.這就要求教師在教學(xué)中一方面要無條件地相信學(xué)生，給予充足的時間和空間，發(fā)揮他們的思維潛能，一題多解，集思廣益；另一方面要提高點撥的能力，即從一種思維到另一種更高層次的思維的引導(dǎo)、轉(zhuǎn)化、提煉的過程如何更自然和順理成章.我認(rèn)為：若我們做好這些，數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的這一最終目標(biāo)一定可以實現(xiàn).Z