若干數(shù)學競賽試題的統(tǒng)一解法之注記

劉春平

(揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇揚州225002)

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若干數(shù)學競賽試題的統(tǒng)一解法之注記

劉春平

(揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇揚州225002)

[摘要]利用一個關于定積分的等式，給出了文獻[1]中若干數(shù)學競賽題的一種直接計算方法.

[關鍵詞]數(shù)學競賽； 定積分； 換元法

在文獻[1]中，作者給出了一個關于積分的命題：

設f(x),g(x)為[a,b](b>a)上的連續(xù)函數(shù).若

f(x)=f(a+b-x),g(x)+g(a+b-x)=m(常數(shù))，

則有

(1)

然后用此命題對若干國內外數(shù)學競賽試題進行了統(tǒng)一解答.這種將不同試題歸類并提升到理論高度的文章[1,2]無論對教師的教學還是對學生的解題均有極好的啟發(fā)作用.

在教學過程中，部分學生反映：命題中函數(shù)f(x),g(x)的選取并非一目了然，這在某種程度上影響了解題速度. 重新考察文獻[1]中列舉的競賽題，我們發(fā)現(xiàn)這類定積分中被積函數(shù)具有某種“特殊性”，利用一個關于定積分的等式可直接計算. 下面，本文對此進行詳細說明.

首先證明一個關于定積分的等式，它也是教科書上[3]的一道習題:

設f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則

(2)

證令u=a+b-x,則

(3)

利用(2)式，對幾道競賽題重新解答如下.

試題(A)的解答.

由

試題(B)的解答.

由

知IB=1.

試題(C)的解答.

試題(D)的解答.

由

試題(E)的解答.

由

知n為偶數(shù)時,IE=0;n為奇數(shù)時，IE=π.

試題(F)的解答.

注意到

有

再由

得

解題思路便非常清晰了.

綜上所述，當f(x)+f(a+b-x)為易積函數(shù)時，利用

[參考文獻]

[1]潘杰，蘇化明. 若干數(shù)學競賽試題的統(tǒng)一解法[J]. 大學數(shù)學，2014，30(6)：111—114.

[2]蘇化明，潘杰. 高等數(shù)學問題推廣的幾種方式[J]. 大學數(shù)學，2004，20(5)：64—69.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學上冊[M]. 6版.北京: 高等教育出版社，2007: 253-254.

A Note on a Unified Solution to Several Mathematical Emulation Problems

LIUChun-ping

(Institute of Mathematics, Yangzhou University, Yangzhou Jiangsu 225002, China)

Abstract:By means of an equation on definite integral, one direct calculation method of several Mathematical Emulation problems recorded in literature [1] has been proposed.

Key words:mathematical emulation; definite integral； integration by substitution

[收稿日期]2016-01-17

[基金項目]江蘇高校品牌專業(yè)建設工程資助項目(PPZY2015B109)

[作者簡介]劉春平(1964-),女，博士，教授，從事微分方程研究.Email：liucp@yzu.edu.cn

[中圖分類號]O172

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2016)02-0097-03