球缺體積公式的多種證明

戴習(xí)民，　朱曉臨，　張仁瓊

(1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009；　2.合肥工業(yè)大學(xué)圖書館,合肥230009)

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球缺體積公式的多種證明

戴習(xí)民1，朱曉臨1，張仁瓊2

(1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009；2.合肥工業(yè)大學(xué)圖書館,合肥230009)

[摘要]僅介紹球缺體積公式的七種證明方法，供大家在微積分的教與學(xué)中參考.

[關(guān)鍵詞]球缺體積公式； 積分； 極坐標(biāo)； 柱面積分； 球面積分； 極限

本文僅給出球缺的體積公式的多種證法，供大家在教學(xué)中參考.

證法一利用三重積分，采用“先二后一”法，本法是命題組給出的參考答案.

設(shè)球缺所在的球體表面的方程為x2+y2+z2=R2，球缺的中軸線為z軸，記球缺所在的區(qū)域?yàn)棣?，根?jù)球缺的定義，0

證法二利用柱面坐標(biāo)的三重積分，其球面方程同證法一，其體積為

本證法本質(zhì)上與證法一是一致的.

證法六球面方程同上，其球面圓錐形區(qū)域?yàn)?/p>

利用球面坐標(biāo)的三重積分得，球缺體積=球面底圓錐的體積-平底圓錐的體積，于是

證法七利用微元法求其體積，設(shè)球缺的高0

從而所求球缺體積

[參考文獻(xiàn)]

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上、下冊)[M]. 6版.北京：高等教育出版社，2012.

A Variety of Proving Methods for the Hemispherical Segment Volume Formula

DAIXi-min1,ZHUXiao-lin1,ZHANGRen-qiong2

(1. Department of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009,China;2. Library of HeFei University of Technology, Hefei 230009,China)

Abstract:Seven methods of proving the hemispherical segment volume formula are introduced in the paper,which offer reference in the teaching and learning of calculus.

Key words:hemispherical segment volume formula; integral;polar coordinates; column integral; spherical surface integral; limit

[收稿日期]2015-12-18

[基金項(xiàng)目]安徽省重點(diǎn)教研項(xiàng)目(2014jyxm),名師工作室(2015msgzs126),安徽省圖工委重點(diǎn)項(xiàng)目(TGW14A02)

[作者簡介]戴習(xí)民(1964-)，男，碩士，副教授，從事最優(yōu)化理論和方法的應(yīng)用研究.Email: daiximin@126.com

[中圖分類號(hào)]O172

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0100-02