取值于Banach空間上的向量值函數(shù)的柯西型積分的一些性質(zhì)

王瑞東，　劉玉波，　李旗挺，　張　舜，　王　喆

(1.天津理工大學(xué)理學(xué)院, 天津300384； 2.天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院，天津300384)

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取值于Banach空間上的向量值函數(shù)的柯西型積分的一些性質(zhì)

王瑞東1，劉玉波1，李旗挺1，張舜2，王喆1

(1.天津理工大學(xué)理學(xué)院, 天津300384； 2.天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院，天津300384)

[摘要]應(yīng)用初等的方法討論了取值于Banach空間上的向量值函數(shù)的柯西型積分的連續(xù)性、可導(dǎo)性、解析性和高階導(dǎo)數(shù)公式，以及柯西型積分在具有可數(shù)基的Banach空間中的性質(zhì).

[關(guān)鍵詞]向量值函數(shù)； Banach空間； 柯西型積分； 可數(shù)基

1基本概念和引理

定義1[1]用C表示復(fù)數(shù)域，E表示賦范線性空間.設(shè)D為C的一個(gè)子集，若對(duì)D中任一元素z，在E中有唯一確定的向量x與之對(duì)應(yīng)，則稱在D上確定了一個(gè)到賦范線性空間E上的向量值函數(shù)，記為x=f(z)，其中z∈D.

引理1.1[2]設(shè)E為任一無窮維的Banach空間，那么其必含有具有可數(shù)基的無窮維閉線性子空間.

2向量值函數(shù)的柯西型積分

定義2.1設(shè)Γ為C上的簡(jiǎn)單曲線(Γ不必是閉的)，向量值函數(shù)f(z)是定義在Γ上，取值于賦范線性空間的可積函數(shù).則具有如下形式的積分

稱為向量值函數(shù)的柯西型積分.

定理2.1設(shè)Γ為C上的簡(jiǎn)單曲線(Γ不必是閉的)，f(ζ)是定義在Γ上取值于賦范線性空間上的向量值函數(shù)，且‖f(ζ)‖沿?？煞e.則由柯西型積分定義的函數(shù)

在C上(除曲線Γ外)連續(xù).

又因?yàn)椤琭(ζ)‖沿Γ可積，所以∫?！琭(ζ)‖ds存在，不妨令M=∫?！琭(ζ)‖ds，則

從而有

故

定理2.3設(shè)Γ為C上的簡(jiǎn)單曲線(Γ不必是閉的)，f(ζ)是定義在Γ上取值于具有可數(shù)基的Banach空間的向量值函數(shù).若由柯西型積分所定義的函數(shù)

‖F(xiàn)(z)-F(z0)‖<ε.

其中

所以F(z)在任意一組可數(shù)基下的每一個(gè)坐標(biāo)函數(shù)連續(xù).

推論2.1設(shè)Γ為C上的簡(jiǎn)單曲線(Γ不必是閉的)，D是不含Γ的區(qū)域，f(ζ)是取值于lp(p≥1)空間的沿Γ連續(xù)向量值函數(shù). 則由柯西型積分定義的函數(shù)

證由定理2.3即得.

定理2.4設(shè)Γ為C上的簡(jiǎn)單曲線(Γ不必是閉的)，f(ζ)是定義在Γ上取值于賦范線性空間上的向量值函數(shù)，且‖f(ζ)‖沿?？煞e.則由柯西型積分定義的函數(shù)

在不含Γ的任何區(qū)域D內(nèi)解析, 且

證ρ和M如定理2.1中證明所定義，則

即

由z的任意性，可知F(z)在不含Γ的區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)，從而F(z)是解析的.

定理2.5設(shè)Γ為C上的簡(jiǎn)單曲線(Γ不必是閉的)，f(ζ)是取值于具有可數(shù)基的Banach空間的向量值函數(shù)，且‖f(ζ)‖沿?？煞e.則有

證該定理的第(i)部分由定理2.4顯然成立.

下面證明該定理的第(ii)部分. 由于定理2.4，F(xiàn)(z)在不含Γ的任何區(qū)域D內(nèi)解析，即對(duì)于任意的ε>0，對(duì)應(yīng)存在δ>0，當(dāng)|Δz|<δ時(shí)，有

即當(dāng)|Δz|<δ時(shí)，有

所以

定理2.6設(shè)Γ為C上的簡(jiǎn)單曲線(Γ不必是閉的)，f(ζ)是定義在Γ上取值于賦范線性空間上的向量值函數(shù)，且‖f(ζ)‖沿?？煞e.則由柯西型積分定義的函數(shù)

在不含Γ的任何區(qū)域D內(nèi)解析，且

(2.1)

考察范數(shù)

其中

又因?yàn)椤琭(ζ)‖沿?？煞e，所以∫?！琭(ζ)‖ds存在，不妨設(shè)M=∫?！琭(ζ)‖ds，則

這樣由歸納法知

推論2.2設(shè)Γ為C上的簡(jiǎn)單曲線(Γ不必是閉的)，f(ζ)是取值于具有可數(shù)基的Banach空間的向量值函數(shù)，且‖f(ζ)‖沿?？煞e.則有

從而

證該推論的第(i)部分由定理2.6顯然成立.下面證明該定理的第(ii)部分.由定理的第(i)部分及定理2.2可得

所以

從而

[參考文獻(xiàn)]

[1]劉玉波.關(guān)于有限維向量值函數(shù)一些注記[J].天津理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，26(2):53-57.

[2]定光桂.巴拿赫空間引論 [M].2版.北京:科學(xué)出版社，2008.

[3]劉玉波，李旗挺.可數(shù)基的Banach空間上的向量值函數(shù)的一些性質(zhì)，大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30(3)：59-64.

[4]劉玉波.關(guān)于復(fù)數(shù)域上Banach空間上的向量值函數(shù)的一些注記[J].天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，(29)3：25-28.

[5]劉玉波.向量值函數(shù)解析的兩個(gè)充要條件的注記[J].天津理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，26(4)：16-18.

Some Properties of Cauchy Type Integral of Vector-valued Functions on Banach Space

WANGRui-Dong1,LIUYu-Bo1,LIQi-Ting1,ZHANGShun2,WANGZhe1

(1.School of Science, Tianjin University of Technology, Tianjin 300384, China;2.Zhonghuan Information College of Tianjin University of Technology, Tianjin 300384, China)

Abstract:We study the continuity, derivative, analyticity and the high order derivative formula of the Cauchy type integral functions, which valued on Banach space, by elementary method. We also give some properties of Cauchy type integral functions with countable base.

Key words:vector valued functions; Banach space; Cauchy type integral; countable base

[收稿日期]2015-12-25；[修改日期] 2016-2-29

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金(11301384)

[作者簡(jiǎn)介]王瑞東(1981-)，男，博士，副教授，從事泛函分析及應(yīng)用的研究.Emaill:wangrdtjut@126.com

[中圖分類號(hào)]O177.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0091-06