《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象（1）》教學(xué)實(shí)錄

【課例導(dǎo)讀】

高境界的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)基于思維發(fā)展，包括重視數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，凸現(xiàn)核心知識的價(jià)值，數(shù)學(xué)規(guī)律的形成和思維逐步深入的過程，數(shù)學(xué)思想方法的提煉以及數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)等方面。而優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)思維又集中表現(xiàn)在如何有效地提出問題與解決問題的過程中，因而我們的數(shù)學(xué)活動可以以問題為研究的起點(diǎn)，以問題為研究的主線，并以問題的解決作為最終的教學(xué)目標(biāo)。具體到這節(jié)課上，王榮鑫老師采用了“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”的教學(xué)方式，合理優(yōu)化了問題的情境，有效凸顯了問題的作用，并讓學(xué)生在對問題的探究體驗(yàn)中，掌握科學(xué)的研究方法，提升了數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，這種帶有研究意味的教學(xué)方法與思路給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了啟發(fā)。

【執(zhí)教者簡介】

王榮鑫，江蘇省邗江中學(xué)數(shù)學(xué)教師，揚(yáng)州市中青年教學(xué)骨干，曾獲江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評比二等獎(jiǎng)、揚(yáng)州市優(yōu)質(zhì)課評比一等獎(jiǎng)、揚(yáng)州市基本功大賽一等獎(jiǎng)、揚(yáng)州市骨干教師展示一等獎(jiǎng)等榮譽(yù)，有多篇論文在學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表。

【課例呈現(xiàn)】

一、呈現(xiàn)背景、創(chuàng)設(shè)情境

（課前投影展示歡樂世界摩天輪動態(tài)畫面）

師：同學(xué)們，請看大屏幕，摩天輪上的每一點(diǎn)隨著時(shí)間的推移在周而復(fù)始地運(yùn)動，從中我們可以抽象出如下數(shù)學(xué)模型。

（PPT動畫演示點(diǎn)P繞圓心做勻速圓周運(yùn)動）

師：大家回憶一下，我們?nèi)绾螌挝粓A上的任意一點(diǎn)P的位置表示出來？

生：通常是建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來表示點(diǎn)P位置。

師：我們建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，圓O的半徑為A，P0為圓O上的一點(diǎn)，以射線OP0為終邊的角為φ，P點(diǎn)從P0出發(fā)沿圓O逆時(shí)針運(yùn)動，P點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)過的弧度為ω，求x秒后，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y。

（學(xué)生經(jīng)過計(jì)算，得到結(jié)果）

生：y=Asin（ωx+φ）。

二、啟發(fā)引導(dǎo)、提出問題

師：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）刻畫了P點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，今天我們一起研究這個(gè)新函數(shù)的圖象。你覺得這個(gè)函數(shù)與學(xué)過的哪個(gè)函數(shù)有聯(lián)系呢？

生：y=sinx。

師：你為什么覺得這兩個(gè)函數(shù)有聯(lián)系呢？

生：這兩個(gè)函數(shù)都是刻畫周期運(yùn)動的函數(shù)，另外，我覺得這兩個(gè)函數(shù)的解析式很像，都有正弦符號，我猜他們之間應(yīng)該有聯(lián)系吧。

師：我們今天就來研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系。

問題1：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象與y=sinx的圖象是什么關(guān)系？

三、自主建構(gòu)，解決問題

生：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過正弦曲線y=sinx的圖象，可以作出y=Asin（ωx+φ）的圖象，然后尋找圖象之間的關(guān)系。

師：你打算如何作出y=Asin（ωx+φ）的圖象？

生：用五點(diǎn)作圖法。

師：觀察這兩個(gè)函數(shù)的解析式，思考它與正弦曲線的關(guān)系，你還能有別的想法嗎？

生：可由y=sinx的圖象經(jīng)過圖象變換得到。

師：為什么這么想？

生：當(dāng)A=1、ω=1、φ=0時(shí)，y=Asin（ωx+φ）就是y=sinx，y=sinx是y=Asin（ωx+φ）的一個(gè)特例，我想是不是能由y=sinx圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象。

師：在由y=sinx圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）圖象的過程中，哪幾個(gè)參數(shù)對函數(shù)圖象有影響？

生：A、ω、φ。

師：如何研究A、ω、φ對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響？

（學(xué)生獨(dú)立思考）

生：先固定其中的兩個(gè)，研究另外一個(gè)參數(shù)對圖象的影響。

師：具體的研究的計(jì)劃呢？可以繼續(xù)思考一下，如何“固定”？

（獨(dú)立思考）

生：我們可以讓A=1、ω=1、φ=0中的兩個(gè)成立，研究另外一個(gè)參數(shù)對圖象的影響。

師：下面分別研究y=sin（x+φ）、y=Asinx、y=sinωx與y=sinx圖象的關(guān)系。你能設(shè)計(jì)一個(gè)方案，探究參數(shù)對圖象的影響？大家可以進(jìn)行小組討論。

（分組討論，交流成果）

生：我們可以舉幾個(gè)具體的例子，讓A、ω、φ取特殊的值，看看他們分別與y=sinx圖象的關(guān)系，找找有什么規(guī)律。

師：對，我們可以從具體的例子入手，探求一般性的規(guī)律，這體現(xiàn)了從特殊到一般的思想。

問題2：函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象與y=sinx圖象是什么關(guān)系？

（學(xué)生自由選取φ為不同特殊值，在坐標(biāo)紙上作圖，然后獨(dú)立探尋圖象之間的關(guān)系）

（實(shí)物投影學(xué)生畫圖，學(xué)生敘述研究結(jié)論）

生：取φ=1，通過作圖發(fā)現(xiàn)y=sin（x+1）可以看成由y=sinx圖象向左平移1個(gè)單位得到。

師：圖象向左的意思是什么？

生：圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，y=sin（x+1）可以看成由y=sinx圖象上每一點(diǎn)向左平移1個(gè)單位得到。

師：你能得到一般性的結(jié)論嗎？

生：y=sin（x+φ）的圖象可以看成y=sinx圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，向左/右平移了φ個(gè)單位而得到。

（幾何畫板動態(tài)演示，φ可以取任意值）

師：經(jīng)幾何畫板檢驗(yàn)，結(jié)論確具一般性。

問題3：函數(shù)y=Asinx（A>0且A≠1）的圖象與y=sinx圖象是什么關(guān)系？

（學(xué)生任選A為不同特殊值，在坐標(biāo)紙上作圖，然后獨(dú)立探尋圖象之間的關(guān)系，歸納得到一般性結(jié)論，然后在小組內(nèi)討論，學(xué)生用幾何畫板進(jìn)行驗(yàn)證，最終達(dá)成共識）

生：由y=sinx圖象變換為y=Asinx（A>0且A≠1）的圖象，就是將y=sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍即可。

師：大家從特殊到一般，歸納猜想出y=Asinx、y=sin（x+φ）與y=sinx圖象的關(guān)系。我們還可以用什么方法來研究？

生：還可用剛學(xué)過的必修一函數(shù)部分圖象變換的知識解決。我們研究過y=2x與y=x圖象之間的關(guān)系，y=（x+1）2與y=x2圖象之間的關(guān)系，第一個(gè)是函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，第二個(gè)是圖象向左平移1個(gè)單位。這與我們剛才得到的結(jié)論是完全一致的。

師：對，剛才我們使用兩種方案研究y=sin（x+φ）、y=Asinx與y=sinx圖象的關(guān)系，第一種方法是從特殊函數(shù)的變換中歸納出一般性結(jié)論，第二種方法是類比之前所學(xué)的函數(shù)圖象變換的方法得到的結(jié)論。通過幾何畫板的演示，我們也驗(yàn)證了同學(xué)們所得的結(jié)論是合理的。

師：那么，以上的幾種函數(shù)圖象變換過程中有什么不變的性質(zhì)？

（教師用幾何畫板輔助演示）

生：函數(shù)的周期性。

問題4：函數(shù)y=sinωx（ω>0且ω≠1）的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系又是什么呢？

師：我們當(dāng)然可以用剛才特殊到一般的方法加以解決。你能不能應(yīng)用所學(xué)y=Asinx與y=sinx圖象關(guān)系的知識，類比出y=sinωx與y=sinx的關(guān)系呢？

（分組討論，交流展示）

生：將y=Asinx的表達(dá)式改寫為y=sinx，并令y=Y，可得Y=sinx，Y=AY，就是說，y=Asinx的圖象是將y=sinx圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)乘以A得到（橫坐標(biāo)不變）。因此，從y=sinx變換為y=Asinx，是將y=sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍。

生：對于y=sinωx，令X=ωx，可得y=sinX，x=，就是說，y=Asinx（A>0且A≠1）的圖象就是將y=sinX的圖象的橫坐標(biāo)乘以得到（縱坐標(biāo)不變）。

師：對，我們還可以進(jìn)一步從點(diǎn)的變換角度來嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评沓鲞@個(gè)結(jié)論。

師：設(shè)函數(shù)y=sinx圖象上有一點(diǎn)P（x0，y0），則y0=sinx0，變換以后為P'（，y0），顯然P'在y=sinωx上，同理反之也成立，因此，y=sinx圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼木偷玫搅藋=sinωx的圖象。

師：這說明y=Asinx（A>0且A≠1）、y=sinωx（ω>0且ω≠1）兩個(gè)函數(shù)的圖象，就是分別將y=sinx圖象在縱向、橫向兩個(gè)方向進(jìn)行的伸縮變換。其本質(zhì)就是y=sinx圖象上點(diǎn)的變化，一個(gè)是橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，后一個(gè)是縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

師：總結(jié)在以上研究A、ω、φ對圖象影響的過程中，函數(shù)有什么性質(zhì)是不變的呢？

生：函數(shù)的周期在變化，但仍然是周期函數(shù)。

四、操練拓展、反饋糾正

師：剛才我們共同研究了y=Asin（ωx+φ）圖象中A、ω、φ對圖象的影響，下面大家嘗試獨(dú)立解決下列問題。

問題5：為了得到函數(shù)y=sin（2x+1）的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x）圖象上所有的點(diǎn)向左平移多少個(gè)單位長度？

生：向左平移1個(gè)單位長度。

師：有同學(xué)有不同的看法的，請闡述自己的看法。

生：應(yīng)該是向左平移個(gè)單位長度。

師：為什么不是1？

生：因?yàn)閳D象的變換本質(zhì)是點(diǎn)的變換，這里左右平移，是點(diǎn)的橫坐標(biāo)在變化，所以應(yīng)該是看x變化了多少。

師：你能給出一般性的結(jié)論嗎？

生：一般地，函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω>0，ω≠0）的圖象是將函數(shù)y=sin（ωx）的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ>0時(shí)）或向右（當(dāng)φ<0時(shí)）平移個(gè)單位長度而得到。

師：經(jīng)過研究我們都清楚了，由y=sinx變換到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，是由A、ω、φ決定的，從這個(gè)角度去思考，由y=sinx變換而得y=Asin（ωx+φ）的圖象，路徑共有幾條？

生：六條。

師：很好，大家課后可以思考一下這幾種路徑是否可行？并總結(jié)出比較容易出問題的地方，下節(jié)課我們接著進(jìn)行研究。

五、歸納反思、總結(jié)提高

問題6：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些感受與同學(xué)們分享？

（學(xué)生歸納總結(jié)，教師點(diǎn)評）

師：在研究y=Asin（ωx+φ）圖象與y=sinx圖象關(guān)系的過程中，我們知道了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，知道了如何通過觀察、猜想、驗(yàn)證的方法來研究新問題，進(jìn)一步了解如何將一個(gè)復(fù)雜的問題進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化，然后用已有的知識去加以解決。

（王榮鑫，江蘇省邗江中學(xué)，225009）

責(zé)任編輯：趙赟