過程與結果是數(shù)學活動的雙翼

【人物檔案】

屠桂芳，南京市第十三中學校長，中國教育學會教育管理分會理事、江蘇省中學教育管理專委會理事，江蘇省學生體協(xié)副主任及省中學生田徑協(xié)會主席，南京師范大學教科院管理專業(yè)指導專家與碩士生導師。先后獲得南京市名校長“陶行知獎”、南京市數(shù)學學科帶頭人，南京市教育科研先進個人等稱號。先后發(fā)表學術論文60多篇，主編或參編論著9本，主持并完成國家級課題2個、省級課題6個，獲得市級及以上表彰19項，主持的課題“高中自主學習文化的創(chuàng)新與實踐”獲2013年江蘇省教學成果獎（基礎教育類）一等獎，“新課程校本化的規(guī)劃與設施”獲得教育部國家級教學成果獎二等獎。

“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學”，這句名言流傳極廣，在數(shù)學教育的相關文章和課堂實踐中常被引用，積極作用可謂巨大。但是，它的負面作用也在潛滋暗長，比如有的課堂教學從一個極端（只重結果）走向另一個極端（只重過程），“開門遲遲不見山”的狀態(tài)在理論研討和教學實踐中都時有所見。其實，俄國教育家斯托利亞爾的完整表述是：“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，而不僅僅是數(shù)學活動的結果的教學。”為此，我們將把這句話放在新課改的大背景下進行審視，在不同的層面上對“數(shù)學活動”討論，以期比較全面地認識它的現(xiàn)實意義。

一、數(shù)學活動的目的是什么——不能為活動而活動

鄭毓信教授等認為新課改的“新”主要有兩個“標志”，即“三維目標”與“自主、合作、探究”[1]。令人感興趣的是，這兩個“標志”有一個交集，那就是“數(shù)學活動”?！斑^程與方法”目標中的“過程”主要指的是活動過程，而“自主、合作、探究”只能在“活動”中進行?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》把獲取“基本活動經驗”列為“四基”之一，“活動”得到了前所未有的重視。新課改十多年的實踐表明，重視活動、開展活動、以活動實現(xiàn)知識建構和能力培養(yǎng)的意識已經深入到數(shù)學教師的思想深處，極大地改變了數(shù)學課堂的價值追求和呈現(xiàn)形態(tài)。

案例1：橢圓標準方程的探求

新課程體系下，作為教學常態(tài)的“學生活動”，具有兩個鮮明的特點：一是全程參與，從設計解題方案開始，到坐標系的選擇、方程的建立、標準型的確定等都是在學生參與下進行的；二是全員參與，在活動的過程中，始終提倡自主探究與體驗等。

如“求橢圓的標準方程”教學設計如下：

（1）學生自主進行過程設計，心里有一個“漸進”的探求流程圖（此時學生已有求直線方程和圓方程的經驗積累），然后進入實施階段。

（2）坐標系的選擇，依靠經驗與直觀，建立適當?shù)淖鴺讼担云谕角筮^程及最終結果的簡化和美化。

（3）設出相關點的坐標，把幾何等式PF1+PF2=2a轉化為代數(shù)方程+=2a。

（4）化簡的過程難度較大，應留出足夠的時間給學生自主嘗試，這是基于“四基”的要求。

（5）由化簡得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）之后，不宜直接“告知”學生令“a2-c2=b2”的換元，而是先讓學生觀察式子特征，從簡潔和美感的角度觀察是否還能進一步化簡。

（6）在師生的共同參與下，化簡整理成標準方程+=1（a>b>0）。

（7）反思上述的“標準方程”，是選擇“恰當”的坐標系才得到的“簡潔、優(yōu)美”的方程形式。由此類比得到焦點在y軸上的橢圓標準方程+=1（a>b>0）。如果橢圓在其他位置是不是就沒有方程了？顯然也是有的，不過其形式就不簡潔了。

上述教學重視學生活動，體現(xiàn)出極大的教學效益。首先，“活動”本身就是一個目的。通過活動，學生體驗了求曲線方程的過程、方法、原則、注意事項等，能力上得到了提高，情感體驗得到了豐富，這都會為全面理解橢圓方程提供直接的背景，而不僅限于標準方程。同時也為之后求雙曲線和拋物線方程提供了活動經驗。因此，學生經歷的這個學習過程和方法的感受、體驗，對學習經驗的積累、提純、升華，對情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng)和深化，本身就是一個巨大的收獲。

其次，在數(shù)學活動“現(xiàn)實問題數(shù)學化、數(shù)學內部規(guī)律化、數(shù)學內容現(xiàn)實化”的過程中形成了完整的認知結構，增加了兩個新的元素：其一是橢圓的標準方程，其二是求曲線方程的基本步驟（簡記為“建立坐標系、設點的坐標、列等式、代坐標、化簡方程”等）。

最后，回顧探求過程中，通過引導學生自己去建立坐標系推導橢圓的標準方程，給學生較多的思考時間和空間，讓學生樹立敢于挑戰(zhàn)自我的勇氣，耐心、細心地等價轉化解決化簡問題，變“被動”為“主動”，變“灌輸簡潔美、對稱美”為“發(fā)現(xiàn)簡潔美、對稱美”，學生的“感受”真切而實在。

這三個收獲都很重要。通過過程體驗，學生收獲了“求曲線方程”這一程序性知識；通過明確總結與固化，學生收獲了“橢圓的標準方程”這一陳述性知識；最后通過求簡求美等反思活動，學生還在“策略性知識”上有所拓展。通過標準方程的推導培養(yǎng)學生觀察、運算能力和求簡意識，并能懂得欣賞數(shù)學的“簡潔美”，這個活動過程在知識與能力目標、過程與方法目標和情感態(tài)度價值觀目標上都有全面的體現(xiàn)。

試想一下，如果只注重過程而不注重結果，或者只注重結果而不注重過程，則學生的“數(shù)學活動”都是不充分不完整的，學生能力的發(fā)展也是不全面的。

傳統(tǒng)的教學法強調知識結果，忽略前期的探究和后期的反思，這已逐漸被人們認知并糾正。但“為活動而活動、為探究而探究”的極端傾向，淡化了教師的主導作用。案例1的前四步就是過程，而如果沒有（5）、（6）兩步就沒有結果，沒有（7）就沒有認知的正向遷移—深化了的結果。

學生的數(shù)學活動是為了實現(xiàn)知識的豐富、能力的加強和素養(yǎng)的提高，這些自然不能脫離過程。欲達此目的，結果與過程同樣重要。英國教育部2013年提出數(shù)學教學要“改回嚴謹?shù)臄?shù)學”，就是對“只重過程不重結果”行為的矯正。

二、活動的結束以什么為標志——有活動必須有總結endprint

數(shù)學活動是從問題或情境開始的，那么它在何時結束呢？結束的標志又是什么呢？答案應該是“結果確認”。在活動的過程之中，學生的知識、能力、情感態(tài)度價值觀產生了新的變化，并影響個人的心理和文化品質，這些都是結果。

對學生來說，數(shù)學學習不僅要學習數(shù)學的思維結果，更要學習數(shù)學思維的方式方法、發(fā)展數(shù)學能力，這都是“結果確認”的表現(xiàn)形態(tài)。能力的發(fā)展決不等同于知識與技能的獲得，能力的形成有其自身的特點和規(guī)律，它不是學生“懂”了，也不是學生“會”了，而是學生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等。這種“悟”只有在數(shù)學活動中才能得以進行，因而教學活動必須給學生提供探索交流的空間，組織、引導學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程”，并把推理能力的培養(yǎng)有機地融合在這樣的“過程”之中。

活動必須有結果，不能“只聽樓梯響，不見人下樓”。教師有主導課堂的職責、學生有順應或整合的需求、課堂有必須承載的教學任務。所有這些，不通過教學的總結反思都無法實現(xiàn)。對于課堂活動的預設目標，教師必須有一個清晰的“目標認可”。即使生成過程沒有完全按照預設的路徑進行，也必須在新路徑上有個最終結果。不宜有不了了之的活動，也不能有無限開放卻又不可捉摸的所謂“前景”。清晰明確、固定狀態(tài)的結果是教學活動的必然要素之一，也是教師的職責所在。

案例2：分數(shù)的加法運算

北師大的曹才翰教授講述了他在美國聽的一堂數(shù)學課。教師安排了多個活動，讓學生體會、探究分數(shù)的加法運算，學習活動非常熱烈。但最后，教師沒有總結出“同分母分數(shù)相加……”和“異分母的分數(shù)相加……”等運算法則，而是讓學生“談體會”。一個學生說“+=”，多位同學附和，教師隨即說“干得漂亮”，然后就下課了。聽課者課后問那位教師：“為什么你同意+=？”教師答道：“因為他們高興”。

這自然是一個極端的案例，曹教授也感嘆“這樣的數(shù)學也太浪漫了”，在中國不會有這樣的教師和這樣“浪漫”的課堂。但是，教學中片面的“愉快教育”、極端的“建構主義”思潮，“為討論而討論”“為合作而合作”“為活動而活動”小組合作學習流于形式等只求“表面熱鬧”的教學，還是時有出現(xiàn)。只為學生“高興”、缺少教師的規(guī)范引導、放松嚴謹性的要求，必然導致活動的淺層化和幼稚化，造成學術規(guī)范的缺失。

弗賴登塔爾有句名言：“與其說讓學生學習數(shù)學，不如說讓學生學習數(shù)學化?！逼鋵崱皵?shù)學化”總該“化”到某個程度，“化”出某個（數(shù)學上的）結果來?！盎钡倪^程可以是教育形態(tài)，“化”的結果必須是學術形態(tài)或盡可能地接近學術形態(tài)。

一次數(shù)學活動，重視過程但不能以犧牲結果為代價。雖然對于一些前沿課題，數(shù)學家一時找不到最終結果，不得不結束這個活動（比如第五公設和費爾瑪大定理，歷經千百年而終成正果），但是作為人類群體來說，這個研究活動肯定還會繼續(xù)下去，直到最終結果的顯現(xiàn)。比如哥德巴赫猜想，雖然當下的研究沉寂著，但是人類未來總歸會解決它。

教學中注重學生的活動，主要的理論之一是“再創(chuàng)造”。然而“再創(chuàng)造”畢竟不同于“原創(chuàng)造”，更不能只有“再”而沒有“創(chuàng)造”。對此，弗賴登塔爾有明確的論述：“我們不應該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應是改良同時有更好的引導的歷史過程”[2]。“更好的引導”就是體現(xiàn)在結果的完整呈現(xiàn)上。與“原創(chuàng)造”相比，作為教學行為的“再創(chuàng)造”的優(yōu)勢也就在于“教師預設了結果”。學生、教材、教師三者的有機融合才構成多元化的課堂，任何一方的缺位都不能被允許。教師應該把史料中歷經多次失敗、長期探究而得來的結果性知識，在有限的時間內以學生可接受的形式呈現(xiàn)出來。只有如此，才能讓學生站在巨人的肩膀上，反思過程與結果，回望他們成功到來的路徑。1966年“菲爾茲獎”獲得者阿蒂亞說：“如果我們希望把人類積累起來的知識一代一代傳下去，我們就必須努力地去把這些知識加以簡化和統(tǒng)一”[3]。毫無疑問，“簡化和統(tǒng)一”應該用結果來體現(xiàn)，這是教育者的責任所在。

那么，結果的“呈現(xiàn)”由誰來完成呢？我們當然期待由學生完成總結。但數(shù)學的結果是用高度專業(yè)化的數(shù)學語言系統(tǒng)來表述的，比如一些規(guī)定的專用符號和約定，不可能通過“探究”而得到。因而在學生總結基礎上的教師跟進概括，不僅提高學生學習的效率，也可以在規(guī)范化上給學生做出示范。比如上面案例1中，“橢圓的標準方程”和“求曲線方程的步驟”，經教師啟發(fā)而呈現(xiàn)為完整的規(guī)范結果，可以給學生一個清晰、可靠而概括的印象。在2013年，英國教育部提出要“改回傳統(tǒng)的嚴謹數(shù)學”，這對我們也應該是個值得注意的苗頭[4]。所以，活動必須以結果確認為終點，有活動必須有總結，教師專業(yè)化、規(guī)范化的“最終總結”不可或缺。

三、為什么說“結果也是過程的一部分”——過程與結果的辯證關系

對學生活動以及知識發(fā)現(xiàn)過程的重視，代表了教育科學研究的最新潮流。因此從新課改起步階段理論界的重視，到之后一線教師積極回應的實踐，兩者互相激蕩形成共振，掀起的一個潮頭就是“過程重于結果”。這個潮頭的積極意義是讓一線教師領會到了新課改的一個重要思想，并迅速地走到新課改的正確軌道上。但是，把活動強調到偏頗的程度，選擇性地截取一句話而“為我所用”，就顯得過猶不及了。畢竟數(shù)學活動的最終結果導向——即數(shù)學知識，更有利于繼承和傳播。數(shù)學（以及其他的文化成果）是以穩(wěn)定的知識形態(tài)而得以世代流傳的，數(shù)學的意識、思想、方法也都需要形成清晰的可表述的形式，才能為學習者所領會和掌握。

案例3：數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求該數(shù)列的通項公式。

教學設計1：教師板演求解過程，得到通項公式an=2n-1，學生“聽懂了”，這個問題即是解決了。對于教學水平較高一些的教師還會讓學生模仿著練習，知道“這一類”問題就是這樣解決的。

教學設計2：先讓學生自己探究，遇到困難進行討論。然后由學生把求通項的方法板演（或講演）出來，其他學生“聽懂了”之后模擬練習以求鞏固。教師的作用是適當點撥，并提供鞏固練習題。endprint

上面的“教學設計1”，教師的板演代替了學生的自主活動，是只重結果不重過程。從達成的效果上看，學生“聽懂了”之后或許“長了見識”，但是沒有“形成能力”。這是一種低效率的教學方法，新課改后已經被完全拋棄。

“設計2”當下廣泛流行，極具迷惑性，以致人們認為這就應該是新課改所提倡的“注重過程與方法，大膽推進學生探究活動”的教學模式。從達成的效果上看，學生的探究意識得到了強化、問題本身得到了解決、自主學習的能力得到了提高，因此可預言“過程與方法”目標的達成度高。但是此設計在“知識與能力”目標上的達成度還遠遠不夠。課堂上的顯性結果只有通項公式an=2n-1，只是一個問題得到解決。而在活動過程中，學生所獲得的豐富體驗與經驗，卻是內隱的，沒有形成整體文字的形式。遇到“同一類”問題之時怎么辦？就只能重新進行一次探究了。因此從課堂進程上看，學生“探究體驗”豐富了，“探究意識”增強了，但是我們不能由此肯定他們“探究的能力”有多么大的提高，只能肯定他們更熟練了而已。對于感悟能力不強的學生，很可能是之后每遇到一次這種題目，就從頭開始再探究。在此，嘗試給出以下的設計：

教學設計3：先按“設計2”進行，在后面加上總結與反思的環(huán)節(jié)。即要求學生把活動中的“體驗與感悟”形成文字的形式。比如總結成如下的顯性結果：

總結：求線性遞推數(shù)列通項公式的常用方法。

方法一：觀察—歸納—證明。

方法二：輔助數(shù)列法，在an+1=pan+q（p≠1）的兩邊同加上，構造一個等比數(shù)列。

方法三（視具體情況選講）：特征方程法。

這里總結出的結果，不是公式、不是概念、不是定理，而是蘊含的思想方法。即把“思維過程”總結成明確的、顯性的、可表達的成果，并進一步地形成思維方式。這里不是向學生灌輸“題型+方法”，而是把思維活動的結果顯性化?！帮@性化”的過程是學生參與的，最終增加了學生的程序性知識和策略性知識。

這里需要考慮的問題是把思路與方法固定化、模式化，是不是落入機械主義的窠臼，走到了“死記硬背”的邪路上去了呢？答案是否定的。事實上，一是這些方法源于學生的體驗活動，是切身感受過的東西，是學生自主生成的，不完全是教師給予的，教師起輔助作用；二是這樣的總結有利于形成思維模塊，對于提高探究活動的效率、形成聚合思維有極大的幫助；三是這些總結不是“死”知識，比如案例3中求數(shù)列通項的步驟以及案例1中求曲線方程的五個步驟等，模式化有益于學生的能力形成。即使是陳述性知識，比如概念、公式、原理等，它們或是對現(xiàn)實對象的高度抽象和概括，或是對一般規(guī)律性的深刻揭示，是人們進行思維活動的基本語素，是進行數(shù)學活動的基本工具，相信沒有人會否定這些“定型了的知識”在認識問題和分析問題中強大的生命力。

那種只有活動而沒有結果的課堂，教師充當?shù)钠鋵嵤悄裂蛉说慕巧喊蜒蜈s進預先圈定的草場，讓它們自由啃食。至于啃食多少、消化多少，則不在考慮之列。這樣的教學，沒有發(fā)揮出教師應有的主導作用。

學生是不斷發(fā)展中的人。在學習過程中，他們的數(shù)學知識在不斷地豐富、認知和能力結構在不斷地改進。學生由較低層次的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，調動他們的知識、啟動他們的思維、投入他們的情感，進行新一層次的數(shù)學活動；再進行更高一層的抽象、概括、解析、整合、具體化和一般化，數(shù)學活動的深度增加了、廣度擴大了；最后得到了更高一級的知識，再把高一級的知識投入到數(shù)學活動之中，又帶來更高強度更高水平的數(shù)學活動……

這樣，數(shù)學學習進入以下的循環(huán)：過程→結果→又一個過程→又一個結果……有時候很難把結果和過程截然分開，過程里有結果，結果里有過程，或交替、或并行、或分立、或融合，在循環(huán)往復中實現(xiàn)數(shù)學認知的螺旋式上升。就像《九九乘法表》一樣，既可以看作是已知的運算的結果，也可以看作是可用的運算程序，支撐著運算活動的全過程。

數(shù)學活動是以數(shù)學思想為指導、用數(shù)學的方法解決問題，從而感悟數(shù)學知識、形成數(shù)學能力的實踐活動。重視學生的學習過程與結果，可以使得學生對所學知識不僅知其然，而且知其所以然。沒有過程的“結果”和沒有結果的“過程”，對數(shù)學活動而言都是殘缺的，都不能形成完整的認知結構。那種把一切交給學生、有活動無總結的課堂，在鶯歌燕舞之中很可能使“數(shù)學化”淪為虛無，使源自于數(shù)學自身的標準和規(guī)范蕩然無存。

教學中“過程”和“結果”是數(shù)學活動的雙翼，無孰重孰輕。理解過程與結果的辯證關系，即需要通過方法論的重建使得教學內容真正成為可以理解的、可以學到手和可以加以推廣利用的，從而將數(shù)學課真正“教活、教懂、教深”?！八^‘教活，是指教師應當通過自己的教學活動向學生展現(xiàn)‘活生生的數(shù)學探究過程，而不是死的數(shù)學知識；所謂‘教懂，是指教師應當幫助學生真正理解有關的教學內容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；所謂‘教深，則是指教師在教學中不僅應使學生掌握具體的數(shù)學知識，而且也應幫助學生領會內在的思維方法。”[5]

數(shù)學教學中的過程與結果各有各的功效，新課程重視學生的過程參與，但并不說明結果不重要了，數(shù)學教學不應該走極端化。在教學中讓學生參與學習過程有助于他們對結果的理解，但為展示學生的思維而只注重過程的做法是不可取的。為此，課堂教學評價目標，宜著力在以下七個方面實現(xiàn)：一是課堂教學目標是否明確、適當，二是教學要求是否根據(jù)實際需要做出適當?shù)恼{整，三是教學內容是否切合學生的承受能力和發(fā)展需求，四是教學過程是否關注學生的全面發(fā)展，五是教學方法的選擇是否能夠提高教學效率和學生學習興趣，六是學生的參與度與參與面是否足夠深廣，七是學生是否真正學以致用且目標達成度高。

數(shù)學不僅幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段；數(shù)學在對客觀世界定性把握和定量刻畫的基礎上，逐步抽象概括，形成方法和理論，并進行應用，這一過程除了邏輯和證明外，充滿著探索與創(chuàng)造[6]。強化“為促進學習而教”的理念，在過程與結果之間尋找恰當?shù)钠胶恻c，讓過程與結果相得益彰。這就需要正確認識師生交往、師生互動、共同發(fā)展的現(xiàn)代教學觀，在教學過程中自覺地將外在的教育理念物化為自身的課堂教學行為，才能讓過程與結果并重，實現(xiàn)數(shù)學活動的目標，實現(xiàn)學生全面素質的提升。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數(shù)學教育研究者的專業(yè)成長[J].數(shù)學教育學報，2013（10）.

[2]弗賴登塔爾著，陳昌平、唐瑞芬譯.作為教學任務的數(shù)學[M].上海：上海教育出版社，1995：3.

[3]徐本順、殷啟正.數(shù)學中的美學方法[M]，大連：大連理工大學出版社，2008.5.

[4]黎景輝.關于數(shù)學教育知識鏈的傳遞問題[J].數(shù)學教育學報，2014（2）.

[5]鄭瑋、鄭毓信，HPM與數(shù)學教學中的再創(chuàng)造[J].數(shù)學教育學報，2013（3）.

[6]孔凡哲、王郢.在課堂教學中如何看待過程與結果[J].廣西教育，2005，（6）.

（屠桂芳，南京市第十三中學，210008）

責任編輯：顏瑩endprint