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    在直觀、抽象、表達中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

    2023-07-27 21:37:49李馨
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)抽象直觀想象教學(xué)設(shè)計

    李馨

    摘? 要:在“直線與圓的位置關(guān)系”起始課的教學(xué)中,設(shè)計了兩個動態(tài)情境,基于直觀想象引導(dǎo)學(xué)生抽象出其中的幾何元素;通過表達直線與圓的位置關(guān)系的幾何特征,進一步抽象直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)特征. 聚焦直線與圓相切的特殊位置關(guān)系,用過切點的半徑與切線的位置關(guān)系表達相切的代數(shù)特征,抽象出切線的性質(zhì)和判定,并通過演繹推理加以證明;通過納入知識體系,建立知識間的聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力及圖形關(guān)系的抽象能力.

    關(guān)鍵詞:直觀想象;數(shù)學(xué)抽象;代數(shù)表達;教學(xué)設(shè)計

    浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊“2.1 直線與圓的位置關(guān)系”一課的內(nèi)容處于初中平面幾何主要教學(xué)內(nèi)容的末段,介于點與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系之間. 三者的研究方法一脈相承,都是從幾何特征(交點個數(shù))和代數(shù)特征(圓心的距離和半徑的關(guān)系)兩個角度考慮. 因為直線與圓的位置關(guān)系研究的是直線形與曲線之間的位置關(guān)系,所以對學(xué)生來說比較陌生. 聚焦直線與圓只有一個公共點(幾何特征)這一“恰到好處”的位置,理解為什么可以用圓心到直線的距離和圓的半徑相等(代數(shù)特征)去刻畫,是學(xué)好直線與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵.類比點與圓的位置關(guān)系的研究方法,把直線與圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系問題進行研究,可以讓學(xué)生學(xué)會用相似的方法研究不同的問題,學(xué)會學(xué)習(xí).

    一、創(chuàng)設(shè)動畫情境,基于直觀想象,抽象直線與圓的位置關(guān)系

    教學(xué)片斷1:動態(tài)情境驅(qū)動直觀想象.

    教師借助信息技術(shù)呈現(xiàn)如下情境:① 觀察日出的過程中,太陽從地平線升起至完全脫離地平線;② 夜里開著大燈的汽車從墻前的電線桿旁經(jīng)過,電線桿在墻上的影子從圓形窗口劃過.

    問題1:在這兩個情境中,你觀察到了哪幾類幾何圖形?

    師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生從兩個情境中抽象出直線和圓這兩類幾何圖形.

    追問1:這兩個情境中,直線與圓之間的位置關(guān)系發(fā)生變化了嗎?

    追問2:在每個情境中,直線與圓各有幾種不同的位置關(guān)系?

    【設(shè)計意圖】情境①是學(xué)生熟悉的日出的過程,可以把地平線抽象成直線,把太陽抽象成圓,展現(xiàn)了直線與圓的位置從相交到相切再到相離的過程. 情境②中,可以把窗子抽象成圓,把電線桿的影子抽象成直線,展現(xiàn)了直線與圓的位置從相離到相切,然后到相交,再到相切,最后相離的全過程. 情境①呈現(xiàn)了直線不動而圓在動的幾何直觀,情境②則恰好相反,圓不動而直線在動. 這兩個具體情境的創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生從中歸納出共性,從而抽象出研究對象;兩個情境都是動態(tài)的,有利于學(xué)生直觀感知圓與直線的三種不同的位置關(guān)系,獲得研究對象之間的關(guān)系. 同時,這兩個情境的設(shè)計也為學(xué)生能夠順利地進行后面的數(shù)學(xué)活動作了鋪墊.

    動手操作:試畫出表示直線和圓的三種不同位置關(guān)系的圖形.

    師生活動:學(xué)生自主畫圖,教師巡視指導(dǎo).

    【設(shè)計意圖】雖然學(xué)生此時并沒有學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系,但是對直線與圓的三種不同位置關(guān)系的認(rèn)知產(chǎn)生于無意識的活動. 學(xué)生通過直觀感知,即使不能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表述三種不同的位置關(guān)系,也能夠辨別三種位置關(guān)系的差異,并通過畫圖描述這三種不同的位置關(guān)系. 通過這一活動,引導(dǎo)學(xué)生初步感知直線與圓的三種位置關(guān)系,并通過畫圖建立幾何直觀.

    教學(xué)片斷2:通過分類和語言表達抽象直線與圓的位置關(guān)系.

    問題2:如圖1所示的三個圖形分別具有怎樣的特點?嘗試用語言表達出來.

    師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生通過分享和交流,把三種位置關(guān)系的分類推廣到一般,并用語言給出三種位置關(guān)系的定義,從直線與圓的公共點的個數(shù)出發(fā)描述幾何特征.

    當(dāng)直線與圓有兩個公共點時,我們說這條直線與圓相交,這條直線叫做圓的割線;當(dāng)直線與圓有唯一的公共點時,我們說這條直線與圓相切,這條直線叫做圓的切線,公共點叫做切點;當(dāng)直線與圓沒有公共點時,我們說這條直線與圓相離.

    【設(shè)計意圖】借助文字語言抽象出直線與圓的三種位置關(guān)系,并給出定義. 在這一過程中發(fā)展學(xué)生抽象圖形與圖形之間關(guān)系的能力.

    二、基于質(zhì)疑和類比引導(dǎo)學(xué)生進一步量化研究

    直線與圓的三種位置關(guān)系的幾何特征是直觀的.然而,僅靠肉眼觀察有無公共點并不可靠,只有給出量化的判定方法,才能對直線與圓的位置關(guān)系進行精確且可靠的判斷. 因此,借助直線與圓相切的特殊位置關(guān)系設(shè)計活動,制造兩次認(rèn)知沖突,啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考.

    教學(xué)片斷3:啟發(fā)學(xué)生質(zhì)疑,引出定量的判定方法.

    問題3:在這三種不同的位置關(guān)系中,你認(rèn)為最特殊的是哪種位置關(guān)系?

    追問:在直線與圓相切的這種特殊的位置關(guān)系下,直線與圓有幾個公共點?

    師生活動:教師選擇一個由學(xué)生畫的直線與圓相切的圖形,在實物投影下將其放大到適當(dāng)?shù)拇笮。ù藭r屏幕上呈現(xiàn)的直線與圓沒有公共點或有兩個公共點),學(xué)生指出公共點的位置.

    【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)用肉眼看到的“一個公共點”并不可靠,需要進一步找到定量的判定方法.

    教學(xué)片斷4:探究定量判定直線與圓的位置關(guān)系的方法.

    問題4:怎樣獲得定量判定直線與圓的位置關(guān)系的方法?我們在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過點與圓的位置關(guān)系,是怎樣判定的?對直線與圓的位置關(guān)系的判定有什么啟發(fā)?

    追問:如果把直線看作點的集合,你能把直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系來研究嗎?

    師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生類比點與圓的位置關(guān)系的研究方法,用點與圓心的距離與半徑作比較.

    設(shè)⊙O的半徑為r,點到圓心O的距離為d,則:d > r ? 點在⊙O外;d = r ? 點在⊙O上;d < r ? 點在⊙O內(nèi).

    進一步地,如果把直線看作點集,則可以把直線與圓的三種位置關(guān)系對應(yīng)轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系:直線與圓沒有公共點?直線上的點都在圓外?直線上到圓心距離最近的點在圓外;直線與圓有且只有一個公共點?直線上除此點外都在圓外?直線上到圓心距離最近的點在圓上;直線與圓有兩個公共點?直線上有無數(shù)個點在圓內(nèi)?直線上到圓心距離最近的點在圓內(nèi).

    【設(shè)計意圖】經(jīng)歷直觀觀察和想象活動,引導(dǎo)學(xué)生把直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線上到圓心距離最近的點與圓的位置關(guān)系,使學(xué)生抓住問題的本質(zhì),發(fā)展抽象能力.

    問題5:類比點與圓的位置關(guān)系,你發(fā)現(xiàn)定量判定直線與圓的位置關(guān)系的方法了嗎?

    師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生抽象定量判定直線與圓位置關(guān)系的方法,并用符號語言表達.

    設(shè)⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,則:d > r ? 直線l與⊙O相離;d = r ? 直線l與⊙O相切;d < r ? 直線l與⊙O相交.

    【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生抽象直線與圓的位置關(guān)系的定量判定方法,并用符號語言表達,發(fā)展學(xué)生的抽象能力.

    三、應(yīng)用新知推理判斷,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力

    教學(xué)片斷5:應(yīng)用新知推理判斷.

    問題6:如圖2,已知P為∠ABC的角平分線上一點,BC與⊙P相切. 求證:AB與⊙P相切.

    追問1:BC與⊙P相切的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為哪兩個量之間的數(shù)量關(guān)系?

    追問2:要證明AB與⊙P相切,需要哪兩個量之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

    追問3:由已知條件“P為∠ABC的角平分線上一點”,可以建立哪兩個量之間的聯(lián)系?它們之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

    師生活動:學(xué)生獨立思考,在明確問題中的已知條件和需要實現(xiàn)的目標(biāo)的基礎(chǔ)上,分析并解決問題. 教師板書示范證明過程.

    【設(shè)計意圖】通過解決與教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容匹配的問題,讓學(xué)生應(yīng)用新知進行推理,鞏固本節(jié)課所學(xué)知識,發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力.

    四、基于課例的思考

    1. 重視知識之間的聯(lián)系

    要把直線與圓的位置關(guān)系納入學(xué)生的知識系統(tǒng),需要建立更廣泛的聯(lián)系. 兩點之間的位置關(guān)系是幾何圖形中最基本的位置關(guān)系,可以由方向和距離來刻畫兩個點之間的位置關(guān)系. 直線與圓的位置關(guān)系歸根結(jié)底是通過點與點的距離來刻畫的:r與d即為兩點之間的距離與點到線的距離,其中,圓心到圓上一點的距離為r(r的確定與方向無關(guān)),圓心到直線的距離為d(d的確定與方向有關(guān));進一步把圓心到直線的距離d看成圓心到垂足的距離. 由此獲得研究對象中最基本的要素:圓心、圓上一點和垂足. 事實上,這三個點是進一步研究切線的性質(zhì)的關(guān)鍵.

    2. 教學(xué)設(shè)計契合知識發(fā)生發(fā)展邏輯和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

    本節(jié)課中,借助信息技術(shù)呈現(xiàn)了兩個動態(tài)的情境,由此引入研究對象,提出研究問題. 首先,學(xué)生通過把現(xiàn)實情境抽象為直線與圓之間位置關(guān)系變化的數(shù)學(xué)情境,從而對變化過程中圓與直線的三種特殊位置關(guān)系進行分析、比較、綜合,歸納共同特征;其次,根據(jù)直線與圓的公共點個數(shù)的幾何特征進行分類并下定義,通過教師的引導(dǎo)質(zhì)疑,進一步提出對直線與圓的位置關(guān)系進行量化研究的問題;最后,通過類比點與圓的位置關(guān)系的研究,規(guī)劃直線與圓的位置的關(guān)系的研究路徑,經(jīng)歷把直線與圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系的過程,從而抽象出直線與圓位置關(guān)系的代數(shù)特征. 研究過程從知覺運動經(jīng)驗開始,先基于視覺直觀進行直線與圓位置關(guān)系的分類,并借助幾何中的公共點進行邏輯表達,在此基礎(chǔ)上通過類比點與圓的位置關(guān)系的研究方法進行定量研究,獲得直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)表達. 這些數(shù)學(xué)活動體現(xiàn)了從直觀到邏輯、從定性研究到定量研究的循序漸進的探索過程,符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯,也符合人們研究幾何問題的一般認(rèn)知規(guī)律,實現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯與學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律的有效統(tǒng)一.

    3. 融合內(nèi)容,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

    在引入直線與圓的位置關(guān)系、提出研究問題、抽象數(shù)學(xué)概念的過程中,通過創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀觀察、想象與抽象,得到直線和圓這兩類幾何圖形,通過聚焦其位置關(guān)系進行分類,抽象出直線與圓的位置關(guān)系,并用文字語言給出定義,用符號語言表示. 經(jīng)歷這些圖形關(guān)系的抽象活動,發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和抽象能力.

    在研究直線與圓的位置關(guān)系代數(shù)表達的過程中,通過教師的引導(dǎo)質(zhì)疑,啟發(fā)學(xué)生進一步提出量化研究問題,并實時引導(dǎo)學(xué)生通過類比點與圓的位置關(guān)系的量化研究經(jīng)驗,規(guī)劃研究思路,把直線與圓的位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關(guān)系問題. 在這一過程中,引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法的抽象和遷移應(yīng)用,發(fā)展學(xué)生的抽象能力.

    在類比點與圓的位置關(guān)系,用點集的觀點看直線的活動中,其實是引導(dǎo)學(xué)生用新的視角去觀察問題,這樣可以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識.

    在類比點與圓的位置關(guān)系,抽象出直線與圓的位置關(guān)系,并用文字語言和符號語言進行表達的過程中,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和數(shù)學(xué)表達能力.

    總之,在“直線與圓的位置關(guān)系”一課中,筆者通過創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫场⑻岢鲞m當(dāng)?shù)膯栴},融合內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀觀察與想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)活動. 在這些活動中發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、抽象能力和推理能力,從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 這種教學(xué)設(shè)計的策略可以遷移到其他幾何內(nèi)容的教學(xué)中.

    參考文獻:

    [1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

    [2]李海東. 義務(wù)教育教科書(人教版)教師培訓(xùn)手冊·數(shù)學(xué)(七 ~ 九年級)[M]. 北京:人民教育出版社,2014.

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