廣義積分比較審斂法的推廣

謝陳龍，　趙向青，　劉愛(ài)民

(1.浙江海洋學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江舟山316022；　2.玉林師范學(xué)院教育技術(shù)中心，廣西玉林537000)

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廣義積分比較審斂法的推廣

謝陳龍1，趙向青2，劉愛(ài)民2

(1.浙江海洋學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江舟山316022；2.玉林師范學(xué)院教育技術(shù)中心，廣西玉林537000)

[摘要]比較原則是廣義積分(無(wú)窮級(jí)數(shù))收斂性的最基本的判別法則，不光自身簡(jiǎn)單實(shí)用，而且由此導(dǎo)出了許多重要的判定方法.本文將比較原則中的條件放寬為上、下極限，從而在一定程度上推廣了比較原則，擴(kuò)大了它的應(yīng)用范圍.為了說(shuō)明推廣的比較審斂法則的有效性，本文最后給出了幾個(gè)例子.

[關(guān)鍵詞]廣義積分； 上、下極限； 比較原則； 推廣

1引言

廣義積分(無(wú)窮級(jí)數(shù))是數(shù)學(xué)分析[1]，高等數(shù)學(xué)[2]中的重要內(nèi)容，而且難度較大，因此在許多數(shù)學(xué)書(shū)，如吉米多維奇習(xí)題集[3]，數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[4]，研究生入學(xué)考試輔導(dǎo)書(shū)[5]中都是重頭戲.廣義積分(無(wú)窮級(jí)數(shù))的基本問(wèn)題是收斂性問(wèn)題.比較原則是廣義積分的收斂判別法中最基礎(chǔ)且最重要的一個(gè)判定法則，許多重要的判定法則是在比較原則基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的.比較原則的極限形式在判定具體函數(shù)(數(shù)列)的廣義積分(無(wú)窮級(jí)數(shù))的收斂性時(shí)極為方便，因此備受青睞：

定理1.1[1-2]設(shè)f是定義于[a,+∞)上的非負(fù)函數(shù)，在任何有限區(qū)間[a,u]上可積，且

(1)

然而，并非每個(gè)函數(shù)都存在形如(1)的極限，我們不禁要問(wèn)：如果將(1)中的極限換成上、下極限，定理還成立嗎？由于函數(shù)上、下極限總是存在的(包括±∞)，如果我們的猜想能夠證實(shí)，比較原則的應(yīng)用范圍便得以實(shí)質(zhì)性擴(kuò)充.

本文證明了上述猜想，并從無(wú)窮限積分與瑕積分，無(wú)窮限積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系出發(fā)，推廣了瑕積分和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較原則.最后，給出了3個(gè)具體的例子，不難從中發(fā)現(xiàn)我們推廣的比較原則的方便和高效性.

2比較原則的推廣

首先回顧一下比較原則：

引理2.1[1]設(shè)定義在[a,+∞)上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)f和g都在任何有限區(qū)間[a,u]上可積.如果存在N≥a使得

f(x)≤g(x)，?x∈[a.+∞),

(2)

由比較原則可以證明：

(3)

則有

證只需證明(i).因?yàn)?ii)的證明與(i)類(lèi)似.

情形1.0<λ<+∞.

由引理2.1可知，結(jié)論成立.

情形2.λ=+∞.對(duì)于M=1，存在N>a，使得當(dāng)x>N時(shí)，有

由引理2.1可知，結(jié)論成立.

綜上，可知當(dāng)0<λ≤+∞時(shí)，結(jié)論成立.

定理2.2f是定義于[a,+∞)上的非負(fù)函數(shù)，在任何有限區(qū)間[a,u]上可積，且

注2.1瑕積分的比較原則可以相應(yīng)地推廣，只需將定理2.2中結(jié)論(i)和(ii)對(duì)p的假設(shè)分別改為0

注2.2無(wú)窮級(jí)數(shù)的比較原則也可以相應(yīng)推廣，條件與無(wú)窮限積分類(lèi)似.

3應(yīng)用

解因?yàn)?/p>

(4)

解因?yàn)?/p>

(5)

解因?yàn)?/p>

(6)

注3.1顯然(4),(5),(6)中的函數(shù)極限不存在，上述各例不能用定理1.1來(lái)求解，但是利用定理2.2可以很方便地解決，說(shuō)明本文的推廣是有效的.

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].4版.北京：高等教育出版社, 2010.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) [M].北京：高等教育出版社, 2004.

[3]吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(中譯本) [J]. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社, 1979.

[4]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社, 2006.

[5]陳文燈,黃先開(kāi).數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南(2002版研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)輔導(dǎo)系列-理工類(lèi))[M].北京: 北京理工大學(xué)出版社, 2011.

Generalized Compare Method for Improper Integration

XIEChen-long1，ZHAOXiang-qing2，LIUAi-min2

(1.Department of Mathematics, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316022,China;

2.Educational Technology Center, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000, China)

Abstract:Compare principle is the basic method for improper integration (infinite series), not only because it is convenient to use but also because it is the base for proof of other methods. By relaxing limits with up-lower limits in assumption condition，Compare principle is generalized. We give some examples in the last section from which the advantage of the generalized compare principle is shown.

Key words:improper integration; up-lower limits; compare principle; generalization

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金(11161051)；廣西省教育廳科研項(xiàng)目(YB2014316)

[收稿日期]2014-04-08

[中圖分類(lèi)號(hào)]O172.2

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)01-0053-03