道是“無圓”卻“有圓”

張林

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)教學(xué)并不是簡單地教會(huì)學(xué)生做題目，而是讓學(xué)生能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)思考. 本節(jié)復(fù)習(xí)課，筆者和學(xué)生一起探究，通過解題方法的對比，讓學(xué)生充分感受到輔助圓的獨(dú)特，感受到圓知識的優(yōu)越性，拓寬學(xué)生的思維角度和方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效地提高復(fù)習(xí)課的效率.

[關(guān)鍵詞] 圓;構(gòu)造;復(fù)習(xí)課

德國教育家第斯多惠說：“一個(gè)壞教師給學(xué)生奉獻(xiàn)真理，一個(gè)好教師則教學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理.”《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：在日常教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)努力挖掘教學(xué)內(nèi)容中可能蘊(yùn)涵的與知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個(gè)目標(biāo)有關(guān)的教育價(jià)值，通過長期的教學(xué)過程，逐漸實(shí)現(xiàn)課程的整體目標(biāo).

數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維方式是解決數(shù)學(xué)問題的“靈魂”. 學(xué)生的問題解決能力不是靠平時(shí)練習(xí)做出來的，而是在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，通過教師的引導(dǎo)、知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)積累、思維的單維向多維轉(zhuǎn)變培養(yǎng)出來的. 優(yōu)秀學(xué)生的頭腦中儲(chǔ)存了合理、清晰的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系，在解決問題時(shí)能快速地將問題與相關(guān)知識形成聯(lián)系，通過選擇解題方法優(yōu)化解題方案. 筆者多年任教初三數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式比較落后，只會(huì)做題目，不善于思考，也不會(huì)思考，更不會(huì)主動(dòng)提問，處理問題和靈活應(yīng)變能力都很薄弱. 如何突破學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的陳舊方式，真正促使學(xué)生在數(shù)學(xué)問題情境中快速找到解決問題的思路，這是初三數(shù)學(xué)教師不可避免的急需解決的問題. 在今年的初三中考復(fù)習(xí)過程中，一道初一的題目觸發(fā)了筆者的靈感，使筆者對于圓知識的復(fù)習(xí)有了新的思考.

提出問題

問題：已知線段AB的長為10，點(diǎn)A和點(diǎn)B 到直線l的距離分別為6和4，則符合條件的直線l有______條.

解答？搖 在線段AB兩旁可分別畫一條滿足條件的直線;作線段AB的垂線，將線段AB分成6 cm和4 cm兩部分. 綜上可知，符合條件的直線l有3條，故答案為3.

點(diǎn)評？搖 本題考查點(diǎn)到直線的距離，雖然在初一能通過具體的畫圖作出3條直線讓學(xué)生感知問題的答案，但在情況不確定的條件下利用“點(diǎn)到直線的距離”的知識結(jié)合分類討論畫出圖形進(jìn)行判斷，有一定的難度，而且不方便用數(shù)學(xué)知識解釋. 要揭示本題的深層結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生真正理解本題，需要借助初三的圓知識. 做法：把符合問題條件的直線先轉(zhuǎn)化為到A，B兩點(diǎn)的距離為6和4的點(diǎn)，學(xué)生會(huì)較快地聯(lián)想出到定點(diǎn)的距離等于定長的圖形——圓，然后分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心、6和4為半徑畫圓，能形象地作出兩個(gè)外切的不等圓，再聯(lián)系要求，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)外切圓的公切線問題解決，不僅直觀，也易理解.

展開聯(lián)想

雖然兩圓的公切線在現(xiàn)行的教材中不再呈現(xiàn)，但是本節(jié)課的這個(gè)問題讓筆者有了思考：對于初三的學(xué)生來說，進(jìn)行中考復(fù)習(xí)一定要定準(zhǔn)位置，復(fù)習(xí)課不僅是數(shù)學(xué)問題的新課再次堆積，也是知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)梳理，更是數(shù)學(xué)問題解決的方法、方式及思維的總結(jié)、深化，因此，要真正提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，在課堂教學(xué)過程中，教師就必須進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)梳理、數(shù)學(xué)方法的深度提煉，要站到一定的高度指導(dǎo)學(xué)生思考和解決問題，努力提升學(xué)生的思維能力，改善學(xué)生的思維方式，真正讓學(xué)生在解決問題時(shí)能快速地將問題與相關(guān)知識形成聯(lián)系，通過選擇解題的方法優(yōu)化解題方案.

圓是由一條線段繞著一個(gè)固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)所走路線形成的一個(gè)封閉曲線圖形，因而與直線型圖形有著特殊的聯(lián)系性. 在處理與圓有關(guān)的問題時(shí)，學(xué)生常常由于圓中的知識點(diǎn)多、細(xì)，而感覺害怕，但將直線型問題借助圓的性質(zhì)來解決，就會(huì)變得更為簡化，也更易理解. 聯(lián)想這道初一試題，筆者在復(fù)習(xí)完圓的基本知識后設(shè)計(jì)了一節(jié)將圓與直線型問題聯(lián)系起來的復(fù)習(xí)課，讓學(xué)生直觀地感受表面“無圓”內(nèi)在“有圓”的直線型問題的深層結(jié)構(gòu)，真正體會(huì)到圓知識、性質(zhì)的優(yōu)越性，以及在解決直線型問題時(shí)的簡潔性.

生成課堂

1. 利用圓的定義構(gòu)造圓，巧解線段長

例1？搖（2011呼和浩特中考）如圖1所示，在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長為______.

學(xué)生解答本題出現(xiàn)困難時(shí)，教師可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生：求線段長的基本方法是放到特殊圖形中去，可以是直角三角形，也可以是特殊四邊形. 學(xué)生思考幾分鐘后有思路了，通過DC∥AB的條件聯(lián)想平行四邊形，然后轉(zhuǎn)化到直角三角形中求BD的長.

解法1？搖 如圖2所示，過點(diǎn)A作AE⊥DB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)BF. 易證四邊形DABF是平行四邊形，從而證明△BAF≌△ABC，則AF=BC=1. 在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，可得DE2=，所以BD=.

解法2？搖 如圖3所示，由于AB=AC=AD，即B，C，D三點(diǎn)到點(diǎn)A的距離相等，故B，C，D在以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的圓上，所要求的線段BD在⊙A中成了弦BD，考慮求弦的方法，而利用DC∥AB延長DA成直徑可得到BE=BC=1，AD=AE=2，在Rt△BDE中運(yùn)用勾股定理可求出BD=.

點(diǎn)評？搖 根據(jù)圓的定義（圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合），巧妙將題目條件AB=AC=AD=2轉(zhuǎn)化為B，C，D三點(diǎn)在以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的圓上，把求直線型圖形中的線段長度問題轉(zhuǎn)化為求圓中弦的問題，而大多數(shù)學(xué)生對于圓中弦的求法掌握較為熟悉，能快速解出問題的結(jié)果，使問題變得簡單化. 本題的實(shí)質(zhì)意在利用圓的定義構(gòu)造出圓后，巧解線段長.

2. 利用90°的圓周角所對的弦是直徑構(gòu)造圓，巧解線段最大值

例2？搖 如圖4所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，頂點(diǎn)A，B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連結(jié)OC，則當(dāng)OC為最大值時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是______.

學(xué)生結(jié)合平時(shí)的練習(xí)思考了2～3分鐘就有某生示意會(huì)解答，其具體做法是：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，只要O，C，E三點(diǎn)在一條直線上，OE+CE就是OC的最大值，借助角度就可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，. 問其為什么要取線段AB的中點(diǎn)？這一輔助點(diǎn)又是如何想到的？該生無法作答. 而對于全班學(xué)生來說，這卻是他們想要知道的.

解法1？搖 本題中的頂點(diǎn)A，B在線段AB長度不變的條件下在坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)變化沒有一定的規(guī)律，但其中點(diǎn)E不論A，B兩點(diǎn)怎么運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)卻有一定的規(guī)律，即始終在以點(diǎn)O為圓心、AB長的一半為半徑的圓上. 本題是解答OC為最大值時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，這樣點(diǎn)C就是⊙O外一點(diǎn)，要使OC最大，則O，C，E三點(diǎn)要在一條直線上. 在解答時(shí)，可根據(jù)Rt△BCE求出∠CEB的度數(shù)為60°，在等腰三角形BEO中求得∠EOB為30°，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，.

解法2？搖 在上面解法的啟迪下發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn)A，B在線段AB長度不變的條件下在坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)變化沒有一定的規(guī)律，而△AOB是直角三角形這一形狀卻是不變的，故點(diǎn)O始終在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)（圖5），點(diǎn)C在⊙E外，則只需作出AB為直徑的⊙E，經(jīng)過圓心E的直線段OC即為最大值，在△BOC中即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，.

點(diǎn)評？搖 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，利用圓的定義巧妙地將線段的最值問題轉(zhuǎn)化為圓外與圓上點(diǎn)的最大距離問題，或利用90°的圓周角所對的弦是直徑巧妙構(gòu)造圓，將線段的最值問題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的最值問題，學(xué)生理解起來較為容易. 本題的實(shí)質(zhì)意在利用90°角的圓周角所對的弦是直徑巧妙構(gòu)造圓后，巧求線段的最大值.

3.利用圓中同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系構(gòu)造圓，巧證二倍角

例3？搖 如圖6所示，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足AP=AB，PB=PC，連結(jié)BD，PD.

（1）求證：△APB≌△DPC.

（2）求證：∠PDC=2∠BDP.

（3）若將原題中的正方形ABCD變?yōu)榈妊菪蜛BCD（如圖7所示），即AD∥BC，且BA=AD=DC，圖形內(nèi)一點(diǎn)P仍滿足AP=AB，PB=PC，試問（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由.

分析？搖 問題（1）可根據(jù)已知條件利用兩個(gè)三角形全等的判定方法之一“邊角邊”進(jìn)行證明;問題（2）可利用正方形的對角線平分內(nèi)角及等邊三角形內(nèi)角為60°的性質(zhì)進(jìn)行證明.

解答 ?（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠ABC=∠DCB=90°. 因?yàn)镻B=PC，所以∠PBC=∠PCB. 所以∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP. 又因?yàn)锳B=DC，PB=PC，所以△APB≌△DPC.

（2） 解法1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠BDC=∠BDA= 45°. 因?yàn)椤鰽PB≌△DPC，所以AP=DP. 又因?yàn)锳P=AB，所以DP=AP=AD. 所以△APD是等邊三角形. 所以∠ADP=60°. 所以∠BDP=∠ADP-∠BDA=15°. 所以∠CDP=∠BDC-∠BDP=30°. 所以∠PDC=2∠BDP.

問題（2）要說明兩個(gè)角之間的一半關(guān)系，除了解法1，還可聯(lián)想圓中圓周角與圓心角的關(guān)系. 要說明兩個(gè)角之間的一半關(guān)系，只要設(shè)法將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)圓中的圓周角與圓心角即可.

解法2，如圖8所示，以點(diǎn)A為圓心、AB長為半徑作⊙A，由（1）得到∠PDC=∠PAB，在⊙A中，利用弧BP所對的圓周角與圓心角的關(guān)系得∠BDP=·∠PAB，所以∠BDP=∠PDC.

（3）構(gòu)造以點(diǎn)A為圓心、AB長為半徑的⊙A，類似（1）和（2）的解法即可解決.

點(diǎn)評？搖 根據(jù)圓中同弧或等弧所對的圓周角與圓心角之間的關(guān)系巧妙構(gòu)造圓，將角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化到圓中同弧所對的角的關(guān)系，學(xué)生能更形象地理解，比直接在平面直線型圖形中通過角的大小度數(shù)解決問題更清晰. 本題的實(shí)質(zhì)意在利用圓中同弧或等弧所對的圓周角與圓心角之間的關(guān)系巧妙構(gòu)造圓后，巧解兩個(gè)角之間的一半（或2倍）關(guān)系的問題.

寫在最后

對于平面幾何問題，學(xué)生常常想到的是構(gòu)造直線形輔助線來轉(zhuǎn)化條件，從而利用三角形、四邊形的知識來解決，輔助線的添加就被局限在直線型，但實(shí)際上，曲線形輔助線在一些特定條件下更有利于條件的集中，輔助圓是曲線形輔助線的代表，圓會(huì)讓圖形的條件更豐富，更容易指向問題的深層結(jié)構(gòu). 本節(jié)復(fù)習(xí)課，筆者和學(xué)生一起探究，通過解題方法的對比，讓學(xué)生充分感受到了輔助圓的獨(dú)特，感受到了圓知識的優(yōu)越性，不僅復(fù)習(xí)了圓的重要知識性質(zhì)，還拓寬了學(xué)生的思維角度和方式，提升了思維能力，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，有效地提高了復(fù)習(xí)課的效率.

數(shù)學(xué)教育的最終目的并不是簡單地教會(huì)學(xué)生如何解決課本中的習(xí)題，而是讓學(xué)生在自然社會(huì)中能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)思考. 因此，教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要對教材自然加工，活用教材，靈活構(gòu)建，滲透數(shù)學(xué)思想，突出方法策略，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，為學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展打下“真正具有生命力的基石”.