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    淺談數(shù)學(xué)模型解題法

    2014-12-13 01:55:22陳鋒林
    關(guān)鍵詞:基本圖形應(yīng)用模型

    陳鋒林

    [摘 ?要] 模型解題法就是針對幾個基本圖形的剖析,在復(fù)雜圖形中找到簡單模型,再利用模型中的結(jié)論,套模型出結(jié)果,其實(shí)質(zhì)是教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累與再現(xiàn),本文就將這種方法拿來與大家一起探討.

    [關(guān)鍵詞] 基本圖形;模型;應(yīng)用

    近年來,各地的中考試卷越來越重視對圖形知識綜合應(yīng)用的能力,尤其是當(dāng)幾何圖形與函數(shù)圖象結(jié)合在一起時(shí),學(xué)生往往會因?yàn)閳D形過于復(fù)雜而產(chǎn)生畏懼心理. 如何消除學(xué)生的圖形恐懼癥,如何讓學(xué)生在中考中見圖就喜,是我這些年一直在思考和努力解決的問題. 經(jīng)過近三年的題海淘金,我總結(jié)了一些小小的經(jīng)驗(yàn),我們稱之為“初中數(shù)學(xué)模型解題法”.

    什么是模型解題法呢?首先,這不同于數(shù)學(xué)建模,因?yàn)閿?shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐,即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后,將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式方法表達(dá)出來,建立起數(shù)學(xué)模型,然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解. 但模型解題是指利用幾個直觀、簡潔的純數(shù)學(xué)圖形,記住其中的結(jié)論,并在復(fù)雜圖形中抽取出模型,從而快速理出解題思路的一種解題方法.

    那如何建立模型呢?其實(shí)是數(shù)學(xué)教師在作業(yè)和習(xí)題的原型中,找到經(jīng)常會碰到的相同的圖形,將其摘錄下來,整理歸納,用自己的數(shù)學(xué)語言把圖形和結(jié)論展現(xiàn)給學(xué)生,像數(shù)學(xué)定理一樣讓學(xué)生熟記結(jié)論,即見圖就能現(xiàn)思路. 所以說,模型解題法最大的好處是快速得到解題思路,化繁為簡,但其也有局限性,在填空、選擇的題型中可以直接使用,但解答題中還需稍加證明. 以下是部分模型的呈現(xiàn),拿來與大家一起探討.

    模型一:角平分線夾角模型

    模型展示?搖 (1)如圖1所示,OA,OC分別是∠BAC,∠BCA的平分線,則∠AOC=90°+∠B.

    (2)如圖2所示,BP,CP分別是∠ABC,∠ACD的平分線,則∠P=∠A.

    (3)如圖3所示, AD,CD分別是∠EAC,∠FCA的平分線,則∠D=90°-∠B.

    應(yīng)用及分析 ?(1)如圖4所示,在△ABC中,∠B=60°,∠BAC和∠BCA的平分線AE,CF交于點(diǎn)O,求證:OE=OF.

    (2)如圖5所示,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,若∠BPC=40°,則∠CAP=____.

    分析?搖 (1)若OF,OE能放到兩個全等三角形中,即可得證,所以要構(gòu)造與△AOF,△COE全等的三角形. 利用模型可得出∠AOC=90°+∠B=120°,∠AOF=∠COE=60°,若作∠AOC的平分線OD交AC于點(diǎn)D,則可證△AOD≌△AOF,△COD≌△COE. 于是可得OF=OD=OE.

    (2)利用模型中的圖2可知,∠BAC=2∠BPC=80°,而∠CAP是∠BAC的鄰角,如果過點(diǎn)P作CD,AC,BA的垂線段,垂足分別為E,F(xiàn),H,根據(jù)角平分線性質(zhì)可得PE=PF=PH,則PA平分∠CAH,所以∠CAP=(180°-80°)÷2=50°.

    模型二:角平分線+平行線→等

    腰三角形

    模型展示?搖 如圖6所示,OP是∠MON的平分線,AB∥ON,則OA=AB.

    應(yīng)用及分析?搖 ?(1)如圖7所示,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)E,且點(diǎn)E恰好在線段AB上. 若AD=7 cm,BC=8 cm,則AB=_____ cm.

    (2)在△ABC中,∠ABC≠∠ACB,BO,CO分別是△ABC的內(nèi)角或外角平分線,過點(diǎn)O作EF,使EF∥BC,且點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)F在直線AC上,你能找出線段EF與BE,CF之間的關(guān)系嗎?

    (3)如圖8所示,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上(端點(diǎn)除外)的一個動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F,連結(jié)AE,AF,那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?證明你的結(jié)論.

    分析?搖 (1)由模型可知△ADE與△BCE都是等腰三角形,所以AE=AD=7 cm,BE=BC=8 cm. 所以AB=15 cm.

    (2)利用模型可得圖9和圖10中,EF=BE+CF;圖11中,EF=BE-CF.

    (3)因?yàn)镸N∥BC,MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F,所以很容易得出△COE和△COF是等腰三角形,所以O(shè)E=OC=OF. 所以當(dāng)OA也等于這三邊時(shí),四邊形AECF是矩形.

    模型三:函數(shù)圖象中的三角形

    面積模型

    在平面直角坐標(biāo)系中,如果有一個三角形的每一邊都不和坐標(biāo)軸平行,則這個三角形的面積可以用水平寬與鉛垂高乘積的一半來求解.

    模型展示?搖 如圖12所示,過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”(h),我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法——S△ABC=ah,即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

    應(yīng)用及分析?搖 ?(1)如圖13所示,A (4,a),B (-2,-4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=圖象的交點(diǎn),點(diǎn)C是直線AB與y軸的交點(diǎn),求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式,并求△AOB的面積.

    (2)如圖14所示,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點(diǎn),在直線CB上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

    分析?搖 (1)由題可知,易求出兩個函數(shù)的解析式,則A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)可知. 由模型可得,水平寬=A的橫坐標(biāo)-B的橫坐標(biāo),鉛垂高=OC,所以利用公式可求得面積.

    (2)由題可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,設(shè)存在這樣的點(diǎn)P. 因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上,所以可設(shè)P(m,-m2+2m+3). 又因?yàn)橹本€BC的解析式為y=-x+3,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線CB于點(diǎn)M,則M(m,-m+3),于是△PBC的水平寬=B的橫坐標(biāo)-C的橫坐標(biāo)=3,鉛垂高=PM=P的縱坐標(biāo)-M的縱坐標(biāo)=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m. 所以S=×3×(-m2+3m)=-m2+m,所以當(dāng)m=時(shí),存在點(diǎn)P,使△PBC的面積最大, 此時(shí)P,.

    模型四:四點(diǎn)共圓模型

    模型展示?搖 如圖15和圖16所示,∠C,∠D都是直角,AB是公共的斜邊,則A,B,C,D四點(diǎn)共圓.

    應(yīng)用及分析?搖 (2011年浙江紹興中考)拋物線y=-(x-1)2+3與y軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B,對稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C.

    (1)如圖17所示,求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段OC的長.

    (2)點(diǎn)P在拋物線上,直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q,連結(jié)BQ.

    ①若含45°角的直角三角板如圖18所示放置,其中一個頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,直角頂點(diǎn)D在BQ上,另一個頂點(diǎn)E在PQ上,求直線BQ的函數(shù)解析式;

    ②若含30°角的直角三角板一個頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,直角頂點(diǎn)D在直線BQ上,另一個頂點(diǎn)E在PQ上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

    分析?搖 因?yàn)椋?)中∠CDE=∠CQE=90°,所以由四點(diǎn)共圓模型可知,以CE為直徑畫圓,則D,C,Q,E都在該圓上,又同弧所對的圓周角相等,所以∠CQB=∠E,從而確定了直線BQ的斜率,再利用點(diǎn)斜式,直線解析式迎刃而解.

    著名科學(xué)家錢學(xué)森先生說:模型就是通過對問題的現(xiàn)象進(jìn)行分析,利用我們考慮得來的原理吸收一切主要因素,略去一些不主要因素,所創(chuàng)造出來的一幅圖畫……模型其實(shí)就是一種最簡化的圖形,在學(xué)習(xí)中,它由最小的知識模塊和操作方法組成. 模型解題是:用最簡單的模塊對應(yīng)的規(guī)律去解決各種各樣的問題. 其實(shí),每一個教師都可以創(chuàng)造出“模型”,同樣,每一個學(xué)生也可以. 比如去年我的學(xué)生自己總結(jié)出的模型:當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個直角三角形相似時(shí),可以用相等銳角的同一種三角函數(shù)來列四條線段成比例,這樣就免去了找對應(yīng)線段的麻煩. 再如,相似三角形中被大家所熟悉的基本模型——A型、X型、M型、母子相似圖形,三垂足模型,我們都用得得心應(yīng)手. 綜上所述,只要我們善于思考、勤于發(fā)現(xiàn),“模型”還會有更多,它是教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶,能抓住題型的本質(zhì)規(guī)律,提煉出若干個簡單的解題模型. 通過“抓題型、套模型、出結(jié)果”的解題步驟,能實(shí)現(xiàn)利用有型的模塊,解決千變?nèi)f化的試題,讓解題由難變易,化繁為簡.

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