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    追蹤南通中考命題特點,解析一道習題延伸演變

    2014-12-13 01:55:22花永平
    數(shù)學教學通訊·小學版 2014年11期
    關鍵詞:舉一反三

    花永平

    [摘 ?要] 中考是考查初中生數(shù)學知識與技能掌握情況的最終測試棒,也是目前高一級學習選拔學生的唯一標準. 在很大程度上,最新中考試題的命題特點,引導著教師的教學方向和策略. 作為一線教師,應深入研究中考命題特點,從本質上明確我們教學的方向性,體現(xiàn)我們的價值性.

    [關鍵詞] 直接衍生;借助結論;超出局部;注重運動;舉一反三

    隨著中考改革的不斷深入,中考命題趨向從課本題、練習題、歷年陳題中將問題進行演變和提升,這一命題的原則符合課標的基本要求:培養(yǎng)學生基本的數(shù)學素養(yǎng).

    比如,2014年南通市中考數(shù)學試卷一直延續(xù)南通市中考試題的基本特點:基礎全面,試題穩(wěn)定. 試題1至26題,立足基礎,覆蓋全面,學生普遍易上手,得分較高,但也存在陷阱題,如第18題:已知 m-n2=1 求m2+2n2+2m-1 的最小值. 很多同學想到用常規(guī)解題方法—配方去完成,但這樣做忽視了一個重要條件:n2≥0 ,即將m-n2=1變形為n2=m-1,得m-1≥0,m≥1 的條件下求代數(shù)式的取值. 就知識的完備性而言,要求學生不僅要有扎實的功底,而且要有全面考慮問題的能力. 27、28兩題,從題目的設置情況來看,難度有了明顯的提升,這是今年中考的又一大特點:尾巴翹. 以此來體現(xiàn)考試的選拔功能. 但不管題目如何變化,都擺脫不了數(shù)學基本圖形、基本方法的應用. 27題由條件垂直就應把它和一線三角聯(lián)系起來,求長度不外乎兩種基本方法:相似和直角三角形等相關的計算. 28題也是老面孔——直角坐標系中拋物線的相關問題. 學生的審題明顯存在困難,這是今年試題的第三個特點:條件新. 28題的第二、第三問,需要學生讀題、審題后自我生成圖形,這對學生的要求更高,更能體現(xiàn)學生學習的自主性和自覺性.

    結合中考試題的命題特點,筆者對人教版八年級“全等三角形”習題中的一道習題進行演變,從而提高復習的針對性和有效性,提升學生的整體分析和解題能力,減輕學生的課業(yè)負擔,切實提升復習效率,幫助學生觸類旁通,從而達到舉一反三.

    原題 ? 如圖1所示,在等邊三角形ABC 中,D,E 分別是邊AC,AB 上的點,且AD=BE,BD,CE 相交于點O,求∠DOC的度數(shù).

    解答 ?易證明△BDA≌CEB(SAS),

    所以∠ABD=∠BCE.

    又∠DOC=∠DBC+∠BCE (三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角度數(shù)之和),

    ∠ABD=∠BCE,

    所以∠DOC=∠DBC+∠ABD=∠ABC.

    因為△ABC是等邊三角形,

    所以∠ABC=60°,

    所以∠DOC=60°.

    直接衍生,以靜置動

    如圖1所示,若D,E 分別是邊AC,AB 上的動點,BD,CE 相交于點O,當AD,BE 滿足怎樣的數(shù)量關系時,∠DOC的度數(shù)恒為60°?

    解析 同上,當AD,BE滿足AD=BE時,∠DOC的度數(shù)恒為60°.

    點評 從兩個方面去說明問題:一方面滲透從特殊到一般的解題方法;另一方面,提醒學生從執(zhí)果索因的角度去分析和解決問題. 而無論是哪個方面,在常態(tài)課的教學過程中,這樣基礎性地直接衍生,能有效地鞏固學生已學或者已做過的題目,為后面的延伸拓展打下基礎,并從基礎環(huán)節(jié)提升學生多元化分析、考查問題的能力.

    借助結論,逐級攀升

    (接原題)如圖2所示,過點C作CG⊥BD于點G,求證:OC=2OG.

    解析 由上例和已知,在直角三角形OGC中,∠DOC=60°,

    ∠CGO=90°,則∠GCO=30°.

    所以OG=OC,即OC=2OG.

    點評 ?學生發(fā)現(xiàn)結論后,往往從基本問題、基本圖形下手,需要解決的問題就迎刃而解了.

    以上兩問屬于直接變式,是試題改編的常用手法,不改變原題的任何條件,對問題進行必要的添加和商榷,從而訓練學生對不同問題的分析和不同知識體系的斟酌,進一步提升學生思維的強度和效度.

    超出局部,關注變化

    由原題變式1:如圖3所示,△ABC是等邊三角形,當D,E分別在邊CA,AB的延長線上,且AD=BE,DB 的延長線與CE交于點O,求∠DOC的度數(shù).

    解析 ?易證△BDA≌CEB(SAS),

    所以∠ABD=∠BCE.

    又∠DOC=∠EBO+∠BEC(三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角度數(shù)之和),

    ∠ABD=∠EBO=∠BCE,

    所以∠DOC=∠BEC+∠BCE=∠ABC.

    因為△ABC是等邊三角形,

    所以∠ABC=60°.

    所以∠DOC=60°.

    點評 ?在求解過程中,進一步滲透利用邊角關系進行合理轉化的思想.

    該問的變式已打破學生思維的束縛,將“形內”問題轉化到“形外”,對學生的考查不僅僅是數(shù)據(jù)上的變化,更關注的是用“數(shù)形結合”思想解決問題,把不同知識與技能進行合理有效地整合,并進行考查和訓練,有效地提升了學生對知識的應用能力,提升了學生的基本數(shù)學素養(yǎng).

    注重運動,關注軌跡

    由原題繼續(xù)變式2:如圖4所示,等邊三角形ABC的邊長為2,D,E分別是邊AC,AB上的點,且AD=BE,BD,CE相交于點O,當點D由點A開始運動到點C的過程中,點O運動的路程是多少?

    解析 ?該題首先要讓學生明白點O隨著點D由點A開始運動到點C的過程中,形成的軌跡是什么. 其次,求長度. 通過以上解題過程,我們已經(jīng)明確只要AD=BE,∠DOC的度數(shù)恒為60°,即∠BOC=120°. 由固定角度我們聯(lián)想到圓:同弧所對的圓周角相等,則構建以BC為弦,∠BOC為120°的圓周角,解題步驟清晰明了.

    作△OBC的外接圓,如圖4可知,當∠BIH=60°時,∠BOC始終為120°,所以,點O的運動路徑是以點I為圓心,2為半徑的劣弧BC,圓心角為120°. 所以,點O運動的路程是π.

    點評 ?本題的變化直接訓練了初中數(shù)學中的難點環(huán)節(jié),但是這些難點建立在了學生已經(jīng)熟悉基礎環(huán)節(jié)的基礎之上,讓學生在知識構建的環(huán)節(jié)中形成一個循序漸進、由淺入深的思維方式,能有效引導學生解決難題.

    舉一反三,關注拓展

    將原題的背景作變式3:如圖5所示,在Rt△ABC中,AC=BC且∠ACB=90°,E,F(xiàn)分別在邊BC及AC 延長線上,且CE=CF,BF交AE的延長線于點P.

    (1)試判定BF,AE的位置關系,說出你的理由.

    (2)點E在BC上運動的過程中,點P運動的路徑長是多少?

    (分析、解法與上例相當)

    (3)拓展:若點Q是AE上的一個動點,已知AC=BC=2且CQ=1,射線AE和射線AF的夾角為α,隨著α的變化,點P的運動路徑是多少?

    解析 ?(3)在整個運動過程中,角α存在最大值,當CQ⊥AE時,角α有最大值30°;所以點P的運動路徑是以AB中點為圓心,AB為直徑,60°的圓心角的一段弧. 路徑長為π.

    點評 ?這樣的拓展和變式能最大限度地提升學生的思維深度和寬度,訓練學生的思維敏捷性和分析問題的全面性,無論是基礎鞏固還是拓展延伸,都能有效地提升學生的智力水平和對知識與技能的應用能力.

    與原題相比,變式題已經(jīng)面目全非了,但是從解題手法、思考路徑、形成過程中不難發(fā)現(xiàn),所有的策略和方法是一致的. 通過以上一個習題的演變,筆者認為,中考試題中復雜題、新穎題都是由一些簡單的數(shù)學小問題疊加變式而成的,而解決問題的方法則大致相通,關鍵是尋找基本圖形,基本數(shù)量即線段、角度的關系,從特殊的實例中去發(fā)現(xiàn)一般的結論,這正是把握中考命題趨向的關鍵所在.

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