滲透數(shù)學(xué)思想 綻放數(shù)學(xué)思維

居云慧

中國(guó)科學(xué)院士、數(shù)學(xué)家張景中先生的《感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量》一文中指出：“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡(jiǎn)單. 但盡管簡(jiǎn)單，里面卻蘊(yùn)涵了一些深刻的數(shù)學(xué)思想.”作者首先談到“函數(shù)思想”，可見函數(shù)思想之重要. 下面，筆者以蘇教版的教材為例，試談函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透.

在不同的知識(shí)領(lǐng)域開墾函數(shù)

基地

在整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，凡是有“變化”的地方就蘊(yùn)涵著函數(shù)思想，它是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展思維能力的動(dòng)力和工具;是我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和教材重組的指導(dǎo)思想，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力都有極其重要的意義. 在教材的每個(gè)領(lǐng)域，只要你細(xì)細(xì)研磨就會(huì)發(fā)現(xiàn)，到處都有函數(shù)思想的影子.

1. 在“數(shù)與代數(shù)”中滲透函數(shù)思想

在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，運(yùn)算是主要的內(nèi)容之一，且各種運(yùn)算性質(zhì)中都滲透了函數(shù)思想. 低年級(jí)主要借助計(jì)算表讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)加法、減法、乘法口訣中的規(guī)律;高年級(jí)則讓學(xué)生自己探索小數(shù)乘、除法的運(yùn)算規(guī)律.

如四年級(jí)上冊(cè)第5頁(yè)第6題：先填表，再在小組里說說你的發(fā)現(xiàn).

教師出示表格，觀察被除數(shù)和除數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？猜想商會(huì)有什么變化？然后，學(xué)生進(jìn)行計(jì)算、驗(yàn)證. 最后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并用自己的話口述規(guī)律. 雖然這里并不要求學(xué)生能用規(guī)范的語(yǔ)言敘述商不變的規(guī)律，但變與不變的函數(shù)思想已以潤(rùn)物細(xì)無聲的方式悄然滲透.

2. 在“圖形與幾何”中滲透函數(shù)思想

教學(xué)完“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)與面積計(jì)算”以后，可以安排這樣一組題：

（1）你能設(shè)計(jì)周長(zhǎng)為18 m的花圃嗎？它的面積最大是多少？并填寫如下表格，比一比誰(shuí)的方法多，誰(shuí)填得有序.

學(xué)生經(jīng)過研究可以得到，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別可以為：8和1、7和2、6和3、5和4.

（2）用18個(gè)邊長(zhǎng)為1 cm的正方形拼成長(zhǎng)方形，比一比誰(shuí)的方法多，誰(shuí)填得有序.（表格略）

學(xué)生經(jīng)過研究得到，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬可分別為18和1、9和2、6和3.

在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較這兩道習(xí)題在解答時(shí)有什么不同的地方. 學(xué)生經(jīng)歷了真正的探索，于是不難發(fā)現(xiàn)：第（1）題是在周長(zhǎng)不變的情況下，改變長(zhǎng)和寬;第（2）題是在面積不變的情況下，改變長(zhǎng)和寬. 第（1）題不變的是長(zhǎng)和寬的和，第（2）題不變的是長(zhǎng)和寬的積. 教師接著又提出：這兩道習(xí)題在解答的時(shí)候有什么相同的地方？（都是把可能出現(xiàn)的情況一個(gè)一個(gè)地列舉出來，并從寬是1想起. 在列舉的過程中，還應(yīng)注意有序性）解決一道題不是目的，由一道題的解答可以收獲一類題的經(jīng)驗(yàn)才是教師和學(xué)生共同的追求. 以上環(huán)節(jié)中，求異活動(dòng)有效地滲透了函數(shù)思想，求同活動(dòng)更為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)提煉了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn). 這樣就把“靜態(tài)”的學(xué)習(xí)變成了“動(dòng)態(tài)”的研究，而這種由“靜”到“動(dòng)”本身就是函數(shù)的本質(zhì). 所以，函數(shù)思想使學(xué)生學(xué)習(xí)的過程“動(dòng)”了起來，使學(xué)生的學(xué)習(xí)“主動(dòng)”起來，這樣也更有利于滲透函數(shù)域的概念和極值的概念.

3. 在“統(tǒng)計(jì)與概率”中滲透函數(shù)思想

函數(shù)就像一座橋梁，建立起兩個(gè)集合之間的“關(guān)系”. 由于統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容往往通過表格和圖象來描述數(shù)據(jù)，所以統(tǒng)計(jì)與概率中也可以滲透函數(shù)思想，如折線統(tǒng)計(jì)圖就可以滲透函數(shù)思想：學(xué)生學(xué)習(xí)了折線統(tǒng)計(jì)圖后就可以從圖中得到豐富的信息，如一天中駱駝的體溫最高是多少？最低是多少？一天中，在什么時(shí)間范圍內(nèi)駱駝的體溫在上升？什么時(shí)間范圍內(nèi)駱駝的體溫在下降？第二天8時(shí)的體溫與前一天駱駝的體溫有什么關(guān)系？……從圖象中可以自然地向?qū)W生滲透變化的量等函數(shù)思想. 教師還可出示駱駝體溫隨外界溫度發(fā)生變化的折線統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、分析兩幅圖的相同點(diǎn)、不同點(diǎn)，及其成因，討論溫度變化的周期.

在課堂的不同環(huán)節(jié)孕育函數(shù)

之苗

我們的數(shù)學(xué)課堂一般分為復(fù)習(xí)導(dǎo)入、新知教學(xué)、練習(xí)鞏固、總結(jié)反思等幾個(gè)環(huán)節(jié)，在不同的教學(xué)環(huán)節(jié)，我們都可以適時(shí)、適度地滲透函數(shù)思想.

1. 豐厚新知教學(xué)，體驗(yàn)函數(shù)思想

如二年級(jí)上冊(cè)“7的乘法口訣”教學(xué)：如圖1所示，擺1只小船用7個(gè)△，擺2只這樣的小船要用幾個(gè)△？擺3只、4只……7只呢？

結(jié)合教材數(shù)帆船中三角形個(gè)數(shù)的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)的基礎(chǔ)上列出乘法算式，并編制出相應(yīng)的口訣后——

師：觀察這7個(gè)算式，你能找一找其中的規(guī)律嗎？

生1：都是乘7.

師：恩，這是相同的地方，還有嗎？

生2：開始是1×7等于7，2×7等于14，3×7就等于21……（未等該生說完，另一生便喊出“越乘越多！”）

師（沉默，故作不解）：怎么會(huì)越乘越多呢？

生3：就是積越來越大了.

師（還是故作不解）：為什么積會(huì)越來越大呢？

生4（激動(dòng)地）：就是前面和7乘的數(shù)越來越大了啊，比如1×7=7，就是1個(gè)7;2×7=14，就是2個(gè)7，答案是14;3×7就是有3個(gè)7，就是21. 越來越多個(gè)7，結(jié)果也就越來越大了啊. （其余學(xué)生紛紛點(diǎn)頭認(rèn)可）

師（也微笑點(diǎn)頭）：明白你的意思了，你結(jié)合乘法的意義來解釋了這種變化，對(duì)嗎？還有什么不變嗎？

生：乘法算式中的一個(gè)乘數(shù)總是7，而且得數(shù)每次都增加一個(gè)7.

函數(shù)是研究變量和變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在以上判斷中，這些學(xué)生感受到了積越來越大是因?yàn)榍懊婧?相乘的數(shù)越來越大，積隨著和7相乘的那個(gè)乘數(shù)變化而變化，也隨著它的確定而確定. 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系正是函數(shù)思想的核心. 7的乘法口訣只是口訣教學(xué)中的1個(gè)課時(shí)，如果在整個(gè)乘法口訣的教學(xué)過程中，教師既關(guān)注口訣，又關(guān)注其背后的函數(shù)思想，站在函數(shù)思想的高度審視教材、設(shè)計(jì)教學(xué)，不僅能使學(xué)生乘法口訣的學(xué)習(xí)之旅更加有趣、更加深刻，也能使學(xué)生意識(shí)到一切事物都在不斷變化，而且相互聯(lián)系、相互制約，從而主動(dòng)地去了解事物的變化趨勢(shì)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律.endprint

2. 優(yōu)化課本習(xí)題，浸潤(rùn)函數(shù)思想

如四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”課后習(xí)題教學(xué)：圖2中的三角形都被一張紙遮住了一部分，只看露著的一個(gè)角，你能確定它們各是什么三角形嗎？

筆者進(jìn)行了拓展練習(xí)，不僅完成了書本要求，更增添了自主設(shè)計(jì)不同三角形的環(huán)節(jié).

師：知道三角形中已知一個(gè)角是銳角，不能確定它是什么三角形（指著圖2）. 如果這個(gè)角是50°，你能設(shè)計(jì)出不同的三角形嗎？看不見的兩個(gè)角分別是多少度呢？可以分類設(shè)計(jì)，大家嘗試在表格中填一填.

以上練習(xí)中，教師給予學(xué)生自主創(chuàng)新設(shè)計(jì)的空間，啟發(fā)學(xué)生先設(shè)計(jì)直角三角形，再分別設(shè)計(jì)鈍角三角形和銳角三角形. 學(xué)生踴躍交流后，教師不失時(shí)機(jī)地提問：觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果設(shè)計(jì)的是直角三角形，另一個(gè)銳角的度數(shù)是確定的;如果設(shè)計(jì)的是鈍角三角形或銳角三角形，∠2和∠3的大小是變化的，一個(gè)角變大了，另一個(gè)角就會(huì)變小，但是兩個(gè)角的大小無論怎么變化，它們的度數(shù)和始終是130°. 學(xué)生在此過程中不僅加深了對(duì)“三角形的內(nèi)角和是180°”這一規(guī)律的理解，而且培養(yǎng)了靈活解決問題的能力，更發(fā)現(xiàn)了三角形中三個(gè)內(nèi)角的大小變化規(guī)律以及內(nèi)在聯(lián)系，感受到了確定與不確定現(xiàn)象的本質(zhì)，函數(shù)思想又悄然滲透了.

3. 增設(shè)課末反思，回味函數(shù)思想

好的課末反思總結(jié)，可以使一節(jié)課甚至幾節(jié)課的諸多內(nèi)容濃縮成“板塊”，得以系統(tǒng)概括、深化，以便學(xué)生理解;可以使課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)嚴(yán)密緊湊、融為一體，顯現(xiàn)出課堂教學(xué)的和諧與完美;還可以提煉方法、總結(jié)規(guī)律，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)思想方法.

如三年級(jí)下冊(cè)“除法”單元復(fù)習(xí)第2題：

369÷3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖423÷3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖672÷6

360÷3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖423÷4？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖620÷6

306÷3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖423÷6？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖602÷6

師：學(xué)習(xí)了這節(jié)課，你們有什么收獲？

生1：（手指黑板上的習(xí)題：369÷3，360÷3，306÷3）我發(fā)現(xiàn)除數(shù)不變，被除數(shù)越大，商也越大.

師（欣喜）：離開了黑板，也許有些小朋友就會(huì)忘記這樣的規(guī)律，你有辦法讓大家深刻地記住它嗎？

生2：我們可以舉例，每天都是吃兩個(gè)雞蛋，媽媽買的雞蛋越多，吃的天數(shù)就越多.

生3：給我們6個(gè)優(yōu)秀少先隊(duì)員發(fā)獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)品越多，每人發(fā)到的就越多.

師：在這道題里，你還能發(fā)現(xiàn)什么？

生4：（手指423÷3，423÷4，423÷6）被除數(shù)不變，除數(shù)越大，商越小.

生5：同樣也可以舉例記住這樣的規(guī)律！12粒糖，分給2個(gè)人吃和分給3個(gè)人吃相比，當(dāng)然是選分給2人吃，因?yàn)槊總€(gè)人分到的糖多.

生6：一本書，看的總頁(yè)數(shù)一定，每天看得越多，需要的天數(shù)就越少.

……

師：小朋友們真厲害，舉出了發(fā)生在小朋友身邊的例子，輕松而深刻地記住了這些規(guī)律.

函數(shù)思想本身比較抽象，如果讓學(xué)生光憑幾道算式記住其中的變化規(guī)律，可能比較困難，但以上片段中教師進(jìn)行了巧妙地引導(dǎo)，讓小朋友們想想有什么好辦法方便地記住這些規(guī)律，大家很快就把枯燥的思想與豐潤(rùn)的生活聯(lián)系了起來，舉出了許多耳濡目染有切身體會(huì)的例子.

有了這些來自學(xué)生自己生活的實(shí)例支撐，學(xué)生的理解變得輕松起來. 學(xué)生在舉例的過程中不僅記住了這些規(guī)律，更理解了規(guī)律之中所蘊(yùn)涵的函數(shù)思想.

用不同的學(xué)習(xí)方式綻放函數(shù)

之花

1. 在合作交流中體驗(yàn)函數(shù)思想的美妙

蕭伯納曾經(jīng)說過：你有一個(gè)蘋果，我有一個(gè)蘋果，交換后還是一個(gè)蘋果，但如果你有一個(gè)思想，我有一個(gè)思想，交換后就有兩種思想. 合作交流為學(xué)生的思維碰撞搭建了平臺(tái)，學(xué)生在互動(dòng)交流中發(fā)展思維、積累思想.

如三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)：一堆小棒有12根，分別拿出這堆小棒的和，你還能拿出這堆小棒的幾分之一？

經(jīng)過改編，有以下教學(xué)活動(dòng)——

師：把同桌兩人的小棒合起來是多少？（12根）想想你們能拿出這12根小棒的幾分之一. 同桌討論討論，可以拿筆分一分，也可以在圖上畫一畫，如果能直接填表那是最棒的，不過要比一比誰(shuí)的方法最多，填寫得最有順序！

收集學(xué)生的作業(yè)紙，展示兩種表格，一種是無序的，一種是有序的.

師：觀察這兩張表格，你更喜歡哪一張？說說你的理由.

生1：喜歡第2種，因?yàn)榈?張表格有順序，這樣就不會(huì)漏掉，也不會(huì)重復(fù).

師：在這樣有序的表格中，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生2：分母越來越大，每份的數(shù)量就越來越少.

生3：也就是平均分的份數(shù)越多，每份就越少！

師：是啊，在分的總數(shù)不變的情況下，分母越大（平均分的份數(shù)越多），每份就越少！

以上片段中，教師改編了書本上的習(xí)題，作了更高層次的要求：“比一比誰(shuí)的方法最多，填寫得最有順序”，在教師充滿啟發(fā)的語(yǔ)言誘導(dǎo)下、在合作伙伴的相互啟發(fā)下，學(xué)生能很快地想到解決方法. 教師讓學(xué)生填表后還別巨匠心地設(shè)計(jì)了比較活動(dòng)，看似不經(jīng)意的比較，卻讓學(xué)生感受到了有序整理的好處——不重復(fù)、不遺漏. 在這樣的表格中，學(xué)生能很快發(fā)現(xiàn)其中隱藏的平均分的份數(shù)與每份數(shù)的變化規(guī)律.

2. 在動(dòng)手操作中領(lǐng)略函數(shù)思想的神奇

兒童的指揮凝結(jié)在手指尖上，動(dòng)手操作能調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)，能使學(xué)生積累一定的操作經(jīng)驗(yàn)、思維經(jīng)驗(yàn)，并有效促進(jìn)函數(shù)思想的滲透.

如三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的特征”的練習(xí)教學(xué)：先自己拼一拼，再與同桌交流一下. （1）用6個(gè)一樣的小正方形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形. （2）用16個(gè)一樣的小正方形，拼成一個(gè)大正方形. 用16個(gè)小正方形能拼成不同的長(zhǎng)方形嗎？

筆者改編為四人小組合作，用12個(gè)小正方形拼出大長(zhǎng)方形，并記錄拼成的大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬. 通過這一動(dòng)手操作活動(dòng)，不僅及時(shí)鞏固了剛剛學(xué)習(xí)的長(zhǎng)方形與正方形的特征，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)由12個(gè)小正方形能拼成的不同的長(zhǎng)方形，而且培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性. 觀察表格時(shí)發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)和寬的乘積不變，長(zhǎng)越大，寬就越小，這為今后學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算奠定了基礎(chǔ).

3. 在自主探究中欣賞函數(shù)思想的魅力

瑞士心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：兒童學(xué)習(xí)的最根本途徑應(yīng)該是活動(dòng)，活動(dòng)是聯(lián)系主、客體的橋梁，是認(rèn)識(shí)發(fā)展的直接源泉. 根據(jù)心理特點(diǎn)，放手讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦的協(xié)調(diào)之中進(jìn)行自主探求知識(shí)的活動(dòng)，可發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 自主探究也是實(shí)現(xiàn)函數(shù)思想滲透的學(xué)習(xí)方法之一.

如二年級(jí)下冊(cè)“百數(shù)表”的教學(xué)，除了放手讓學(xué)生自主探究百數(shù)表中數(shù)的排列規(guī)律（橫著、豎著、斜著）外，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探索每一行中相鄰的兩個(gè)數(shù)的規(guī)律、每一列中相鄰兩個(gè)數(shù)的規(guī)律，甚至每?jī)尚信c每?jī)闪邢噜徦膫€(gè)數(shù)之間的規(guī)律，這些規(guī)律蘊(yùn)涵著多種變化.

數(shù)學(xué)知識(shí)無需終生銘記，但數(shù)學(xué)精神會(huì)激勵(lì)終生;解題技能無需終生掌握，但數(shù)學(xué)思想會(huì)受用終生. 我們的國(guó)標(biāo)本蘇教版教材中并不缺乏函數(shù)思想，只是缺乏發(fā)現(xiàn)函數(shù)思想的眼睛. 作為教師的我們，必須認(rèn)真研讀教材，剝離出教材各領(lǐng)域知識(shí)背后隱藏的函數(shù)思想，并根據(jù)學(xué)生的年齡特征，融合多種適合的學(xué)習(xí)方式，在課堂教學(xué)的每個(gè)階段有效滲透數(shù)學(xué)思想，綻放學(xué)生的數(shù)學(xué)思維！endprint