錯位相減法的便捷應用

段金怡 丁彥欽 李睿

摘要：數(shù)列求和在高考中占有很重要的地位，其中，出現(xiàn)頻率較高的是運用錯位相減的方法來解題。本文介紹的運用錯位相減求和的解決方法，是從總體出發(fā)，縷清思路，明確步驟，減少步驟，降低出錯率，從而使問題得以快速準確地解決。

關鍵詞：數(shù)列；錯位相減；方法總結(jié)

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，在現(xiàn)行高中教材中，只對等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行了計算推導，而數(shù)列種類繁多，形式復雜，絕大多數(shù)既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，也就不能直接用公式來求解。很多同學遇到數(shù)列求和問題總是感到力不從心，甚至有的同學把它看作是自己的死穴，覺得即使思考也做不出來，何必耽誤時間，因此遇到這類問題就直接跳過。在這中間，錯位相減是一個比較重要的內(nèi)容，也是一個及其有效的解決數(shù)列求和的簡便方法，但是由于它的計算量比較大，同時要反復列出幾個式子并且不斷求解，有的題目一眼看上去不容易找出公比，更加導致一些同學放棄或者只計算其中的一部分。實際上，通過分層次練習，總結(jié)經(jīng)驗，并找到規(guī)律，這類問題的求解會變得相當?shù)暮唵巍?/p>

一、錯位相減理論分析

錯位相減是高中數(shù)學教材中推導等比數(shù)列前n項和的一種思想方法，它在解決由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項之積所構(gòu)成的數(shù)列求和，具有非常重要的意義。由于它的獨特性與實用性，并且與課本知識緊密結(jié)合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵從的思想是一種轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以把它轉(zhuǎn)化成為等比問題求解。乘以相同的公比得到新式子，再同舊式子錯位相減，就得到了一個含有等比數(shù)列的等式，細心計算，便不難求解。

二、錯位相減題目舉例

首先，我們先看一道最簡單的例題，從簡單題中得到啟發(fā)。

例1.已知數(shù)列an=n·λnλ，求數(shù)列的和。

解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1）λn-1+nλn，JY①

兩邊同時乘以λ，得

λTn=λ2+2λ3+…+n-1）λn+nλn+1，JY②

①-②，得

JZ1-λ）Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，

JZ∴1-λ）Tn=SXλ1-λn）1-λSX）-nλn+1，

JZ∴Tn=SXλ1-λn）1-λ）2SX）-SXnλn+11-λSX）.

這是一個最簡單的錯位相減，同時也是解決錯位相減問題的一個基礎題目。

下面，我們來看一道有些麻煩的題目。

例二.an=1-2n）·2n，求Sn.

解：由題意知，JZan=（1-2n）·2n，

JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，

即

DKSn=（1-2）·2+（1-4）·22+（1-6）·23+…+（1-2n）·2nDK）JY①

①×2得

DK2Sn=（1-2）·22+（1-4）·23+…+（3-2n）·2n+（1-2n）·2n+1DK）JY②

②-①得

JZSn=2+2·22+23+…+2·2n-（2n-1）·2n+1

JZ=2+2·SX4（1-2n-1）1-2SX）-（2n-1）2n+1

JZ=（1-n）2n+2+2n+1-6

例二是一個具體化的錯位相減問題，對于這些直接列出的題目，大多數(shù)的學生都可以做出來，出錯率也比較的低，但是，在如今這樣一個考驗學生綜合素質(zhì)=的社會中，我們遇到的大多都是多個知識點結(jié)合的題目。下面我們通過一道高考題來進一步認識一下錯位相減。

例三.已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為-4.

（1）求數(shù)列的通項公式.

（2）設bn=（4-an）qn-1q≠0，n∈求數(shù)列的前n項和.

解：（1）設{an}的公差為d，則由已知得

JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB）即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB）

解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1）=4-n.

（2）由（1）知，bn=n·qn-1，

于是JZSn=1·q0+2·q1+3·q2+…+n·qn-1，

若q≠1，上式兩邊同時乘以q.

JZqSn=1·q1+2·q2+3·q3+…+n·qn-1，

兩式相減得：

JZ（1-q）Sn=1+q1+q2+…+qn-1-n·qn=SX1-qn1-qSX）-n·qn.

JZ∴Sn=SX1-qn（1-q）2SX）-SXn·qn1-qSX）=SXn·qn+1-（n+1）qn+1（1-q）2SX）.

若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1）2SX），

JZ∴Sn=JB{HL2SXn（n+1）2SX）（q=1）

SXnqn+1-（n+1）qn+1（1-q）2SX）q≠1）HL）JB）

針對這個問題，許多同學容易忽視對于q的討論致使題目出錯。這個問題的關鍵是對于等比數(shù)列的定義的認識，若是忽視了等比數(shù)列定義中對于公比的界定，則很容易導致問題出錯。我們回顧例一可以發(fā)現(xiàn)，在例一中我們對公比進行了限定，因此，在下面的解題中就不需要進行討論。

三.方法總結(jié)

A.分析題型，確定類型。錯位相減問題具有很強的規(guī)律性，當然也適應特定的題目，所以，在做題之前首先需要明確題目的類型，錯位相減法是否使用。首先，確定是否為數(shù)列類型的題目；其次再確定是否為求和問題；最后，通過觀察通項的類型，確定是否可以使用錯位相減法解決問題。錯位相減法是等差數(shù)列和等比數(shù)列的有效結(jié)合，即

JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn

其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列。

B.錯位相減的做題方法

以例1為例，即

Tn=λ+2λ2+…+（n-1）λn-1+nλnJY①

λTn=λ2+2λ3+…+（n-1）λn+nλn+1JY②

（1-λ）Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③

1.①×公比λ得②式（或乘以公比的倒數(shù)，解題方法類似）；

2.①-②得③（③式為：留①頭，減②尾，中間對應次數(shù)相減的同系數(shù)）；

3.③里面含有n+1項；

4.按照等比數(shù)列求和方法求③式的前n項的和，減去第n-1項；

5.③式兩邊同時除以SX1λ-1SX）得最后的結(jié)果。

在使用錯位相減求和時，一定要善于識別這類題目，準確的識別是正確解題的關鍵。同時要十分注意等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形，此外，一定要注意在書寫的時候注意將①②兩式的“錯項對齊”，即將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子（即式①）前面空出一項，另外一個式子（即式②）后面就會多出一項，①②兩式相減得到③式，在式③中除了第一項和最后一項，剩下的n-1項是一個等比數(shù)列。當然認真細致，悉心體會，記住規(guī)律，耐住性子也是相當重要的。

“知行統(tǒng)一”的重要性大家應該都知道，當我們記住了理論的知識，勤加練習，反復運用才會使我們事倍功半，恰巧，錯位相減正需要我們的大量練習，在不斷的練習，反復的刺激我們的記憶細胞下才有可能使我們在做題的時理論練習實際，減少出錯率。（作者單位：1.河南師范大學數(shù)學與信息科學學院；2.河南師范大學商學院；3.河南師范大學政治與公共管理學院）