新課程下用《幾何畫板》開展數學實驗教學

劉軍華

摘 要：數學實驗，指的是引導學生通過操作、實踐、試驗來進行探索學習的數學教學形式. 《幾何畫板》提供了一個“做數學”的虛擬實驗室，在其中實現觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，它的介入可以調動學生的積極參與，加深對數學概念的深層次理解，積累豐富的數學體驗，拓寬提高數學能力的途徑. 用《幾何畫板》開展數學實驗教學，不僅會讓教師教得輕松，學生也會學得輕松，達到事半功倍的目的.

關鍵詞：數學實驗教學；幾何畫板；自主探索

■引言

數學實驗，指的是引導學生通過操作、實踐、試驗來進行探索學習的數學教學形式.

著名數學家和數學教育家G·波利亞曾精辟地指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數學，看起來卻像一門試驗性的歸納科學.” 要全面提高學生的數學素質，就要在數學教學中充分體現它的兩個側面，既重視數學內容的形式化、抽象化的一面，又重視數學發(fā)現、數學創(chuàng)造過程中具體化、經驗化的一面，而后者對于數學基礎教育顯得更為重要. 在中學數學教學中恰當地引入數學實驗是引導學生發(fā)現問題、提出猜想、驗證猜想和創(chuàng)造性地解決問題的有效途徑，也是完善學生認知結構，提高學生數學素養(yǎng)，并使其全面認識數學兩個側面的重要途徑.

然而在目前形勢下，數學教學往往過分強調形式化的邏輯推導和形式化的結果，而對數學發(fā)現過程的展示和數學直觀性的背景關注較少，大量的時間花在講題與練題上，于是在學生眼里，數學成了枯燥無味的公式、結論和習題的堆積，充滿美感和生機勃勃的數學學科喪失了它的本來面目，從而給學生數學學習帶來了困難，難怪學生常常感嘆：“數學越學越難.” 學生在數學學習這一認知過程中是按照從具體到抽象、從感性到理性的認識規(guī)律來認知數學的，而數學實驗是溝通具體到抽象、感性到理性的一座橋梁.

計算機多媒體的介入，使得數學實驗有了質的飛躍，很多的數學實驗都可以利用計算機作為工具，借助它強大的計算和圖象處理能力，為抽象思維提供直觀模型，無論是作圖，還是計算，計算機都可以迅速完成. 正如江蘇省高淳高級中學周金寶老師所說的：“事實上借用電腦以后，數學課就可以像物理、化學一樣上實驗課.”

《幾何畫板》（The Geometers Sketchpad）是主要用于平面幾何、解析幾何、射影幾何、初等代數等教學的軟件平臺. 《幾何畫板》以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、測算、動畫、跟蹤軌跡等，能顯示或構造出較為復雜的圖形，把較為抽象的數學對象形象生動化，讓人在動態(tài)中認識數學對象的不變關系. 它提供了一個“做數學”的虛擬實驗室，在其中實現觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，它的介入可以調動學生的積極參與，加深學生對數學概念的深層次理解，積累豐富的數學體驗，拓寬提高數學能力的途徑.

《幾何畫板》是一個數學意義上的軟件，其精髓在于，在變動的狀態(tài)下保持不變的幾何關系，如某線段的中點在動態(tài)中永遠是中點，平行的直線在動態(tài)中永遠平行，這正是幾何研究所追求的.

利用這個工具，有些教學內容可以在教師的指導下讓學生獨立或者分組進行觀察和分析，不必用“教師講、學生聽”的傳統教學方式進行，達到了既充分發(fā)揮教師的主導作用，又使學生成為學習的主體的效果，是一個讓學生自主進行探索性學習的直觀環(huán)境，能創(chuàng)造出一種數學實驗教學的新型課堂教學模式.

計算機輔助教學與數學實驗相結合進行數學教育的思想：從若干實例出發(fā)（包括學生自己設計的例子）→在計算機上做大量的實驗→發(fā)現其中的規(guī)律→提出猜想→進行證明.

■案例

案例一 （新授課）正弦函數y=Asin（Bx+C）的圖象變換

傳統教學手段下，正弦型函數圖象變換的教學困難主要在于耗時耗力，而且靜態(tài)的圖象無法生動反映動態(tài)的圖象變換過程.現在借助《幾何畫板》把這節(jié)課上成數學實驗課，通過觀察和探索圖形的平移、縮放、反射等變換，化靜為動，將正弦型函數y=Asin（Bx+C）的圖象變換過程動態(tài)地演示給學生. 課堂教學中不僅很好地突出了重點，突破了難點，而且在使學生理解數學思想方法、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力上都起到了很好的作用.

如圖1，我們用《幾何畫板》來研究正弦函數y=Asin（Bx+C）的圖象變換.

■

圖1

1. y=sinx，y=2sinx，y=■sinx.

操作實驗：拖動點C，觀察正弦曲線如何變動：

y=sinx→y=2sinx→y=■sinx→y=sinx.

觀察思考：A的變化從1→2→1→0.5→1.

通過實驗我們可以得出規(guī)律，把正弦曲線上各點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當0

2. y=sinx，y=sin2x，y=sin2x+■.

操作實驗：（1）拖動點F，觀察曲線如何變動：y=sinx→y=sinx+■.

拖動點J，觀察曲線如何變動：y=sinx+■→y=sin2x+■.

（2）拖動點J，觀察曲線如何變動：y=sinx→y=sin2x.

拖動點F，觀察曲線如何變動：y=sin2x→y=sin2x+■.

觀察思考：實驗（1）y=sinx圖象上的所有點向左平移了■個單位；

實驗（2）y=sin2x圖象上的所有點向左平移了■個單位.

通過《幾何畫板》演示，我們可以講清y=sin（Bx+C）的圖象是由y=sinBx的圖象上各點向左（C>0）或向右（C<0）平移■個單位，而不是C個單位得到的.

“欲擒故縱”：若（2）中第二步向左平移■個單位，會得到什么呢？

利用《幾何畫板》對一些不易掌握的概念進行實驗，在《幾何畫板》的幫助下，讓學生比較快地掌握這些概念和基本的數學思想方法和幾何背景.

案例二 （研究性課題）△ABC的頂點在定圓O上運動，B，C固定，探求△ABC的外心W的軌跡.

（1）如圖2，用《幾何畫板》作圖，可得W的軌跡是位于BC中垂線上的一條線段.

再思考：肯定是線段嗎？

（2）若B點在圓O內，則顯示W的軌跡是一條直線，也就是BC的中垂線.

（3）若B，C都在圓O內，則顯示W的軌跡是兩條射線.

通過《幾何畫板》直觀的作圖，問題已經有了結果，下面就需要建立數學模型來深入研究，因為僅僅憑觀察、猜想、歸納的結論未必可靠.

首先建立坐標系，以圓心為坐標原點，圓的半徑長作為單位長，建立直角坐標系.？搖

下面考慮B，C的位置，先考慮第一種情況，不失一般性，可取BC與y軸垂直.

現在用幾何畫板來探討引起△ABC外心W運動的原因是什么.

提示學生拖動點A在圓上轉動，讓大家體驗引起動點W變動的原因是點C的運動，∠XOA的變化. 我們觀察到點C繞單位圓一周時，點W上下運動，有時A的不同位置會對應著同一個點W，點W的軌跡是線段、直線還是射線，取決于點W縱坐標范圍的形式.

以∠XOA弧度數為橫坐標，yW為縱坐標繪制點J，拖動C，顯示點J的軌跡. 拖動B或C，改變它們的位置，顯示點J軌跡的各種形狀.

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圖3

我們令θ=∠XOA，建立θ與yW的函數關系：

設B（a，b），C（c，b）， A（cosθ，sinθ），AC的中點坐標是■，■，AC的垂直平分線的方程為y=■·x-■+■，

在上式中，令x=■，得y=■，數學模型建立完畢.

可以用計算機驗證y是否等于yW.

討論：根據y=■，我們可以討論什么時候軌跡是線段、直線或射線.

把y=■整理為2ysinθ+（a+c）cosθ=2by-b2+ac+1，由asinx+bcosx=c有解，有4y2+（a+c）2≥4b2y2-4b（b2-ac-1）y+（a+c）2-（b2-ac-1）≥0，

（1）當b2=1時，有-4abcy+（a+c）2-a2c2≥0（先討論最簡單的情況）.

當ac=0時，a，c不可能同時為零，有a2≥0，y∈R，點W的軌跡是一條直線.

當ac≠0時，解集形式是{yy≤n}或者{yy≥m}（n

（2）當b2>1時，不等式左邊判別式Δ=16[（b2-1）（a2+c2+b2-1）+a2c2]>0恒成立，不等式解集的形式是{yn≤y≤m}，點W的軌跡是一條線段.

（3）當b2<1時，Δ=16[（b2-1）（a2+c2+b2-1）+a2c2]，

當Δ>0時，點W的軌跡是兩條射線；

當Δ<0時，點W的軌跡是一條直線；

當Δ=0時，不等式左邊是完全平方式，即y+■■≥0，

若b（b2-ac-1）≠0，點W的軌跡是一條直線；

若b（b2-ac-1）=0，

①當b=0時，函數y=■成為y=■，

若ac≠-1（b2-ac-1≠0），則點W的軌跡是一條直線.

若ac=-1（b2-ac-1=0），則函數式成為y=■=-■·cotθ.

當a≠-c時，點W的軌跡是一條直線.

當a=-c時，由b2-ac-1=0，得b2+a2=1，此刻必有a=-1，c=1或a=1，c=-1，y=0（使y2≥0成立），D，E在圓上，點W的軌跡是一個點，即圓心.

②當b≠0時，b2-ac-1=0，函數式成為y=■.

注意到此刻Δ=16ac（a+c）2=0（ac≠0），否則b2=1，因此必有a=-c，y=0（使y2≥0成立），b2+a2=1，點D，E都在圓上，點W的軌跡是一個點，實驗告訴我們就是圓心.

總之，當Δ=0時，除點D，E都在圓上，點W的軌跡是一個點外，其余都是一條直線.

對于點W的軌跡是直線或射線的情況，通過點A運動到直線BC附近，線段AB，AC垂直平分線幾乎平行，它們的交點在“無限遠”處來解釋，加深理解.

案例三 （習題課）試問：當且僅當a，b滿足什么條件時，對橢圓C1：■+■=1（a>b>0）上任意一點P，均存在以P為頂點，且與C0：x2+y2=1外切與C1內接的平行四邊形？證明你的結論.

我們可以合理地運用《幾何畫板》創(chuàng)設實驗，通過實驗為學生解決問題提供一些直觀的思維背景，常常能使學生發(fā)現數學問題的真諦，進而為找到問題解決的思路及提出猜想提供直觀的依據.

我們先用幾何畫板作出圖4：

為了尋找滿足條件的平行四邊形，不妨引導學生從實驗開始，先考查特殊情形，把點S拖到與點A重合的位置，把點P拖到與點B重合的位置. 如果這時平行四邊形還不與單位圓相切，則再拖動點A，B進行調整，直到平行四邊形PQRS與單位圓相切.

容易發(fā)現，這時單位圓與線段PQ的切點是直角三角形POQ的斜邊上的高的垂足.因此平行四邊形應該滿足PQ×1=OA·OB（面積法），因為OA= a，OB=b，而PQ=■，即■=a·b，也即■+■=1.

繼續(xù)前面的制作：

（1）[度量]點A的坐標，分離點A的橫坐標，用文本編輯工具把x■改為a ；

（2）打開計算器，計算■，即b；

（3）用[選擇]工具選擇計算值■，并打開[圖表]菜單中的[繪制度量值]在彈出的[繪制度量值]對話框后，選擇“在縱（y）軸”，確定后畫出與y軸垂直的一條直線（直線s）；

（4）作出直線s與y軸的交點K；

（5）作點B移動到點K的[→移動B→K]按鈕，用文本編輯工具把“→移動B→K”改為“答案”；

（6）隱藏點K與直線s，拖動點Q，使直線PQ與單位圓相切.

用《幾何畫板》做實驗，找出突破口后，我們現在進行嚴格的證明.

證明：圓外切平行四邊形一定是菱形，圓心即菱形的中心，所求條件為■+■=1.

證明：（必要性）設P是橢圓C1上的任意一點，設P（r1cosθ，r1sinθ），所以有Qr2cosθ+■，r2sinθ+■，其中OP=r1，OQ=r2. 代入橢圓方程，得

■+■=1，■+■=1，即■=■+■，■=■+■.于是■+■=■+■=■+■+■+■=■+■.

又菱形PQRS與單位圓C0外切，所以Rt△POQ斜邊PQ上的高h=1，而h=■=■=■=■，所以■=1，即有■+■=1. （充分性）設■+■=1，P是橢圓C1上的任意一點，過P，Q作C1的弦PR，再過O作與PQ垂直的弦QS，則四邊形PQRS為橢圓C1的內接菱形. 設OP=r1，OQ=r2，則P的坐標為（r1cosθ，r1sinθ），Q點的坐標為Qr2cosθ+■，r2sinθ+■. 代入橢圓方程，得■+■=1，■+■=1，即■=■+■，■=■+■，于是■+■=■+■=■+■+■+■=■+■=1，又在Rt△POQ中，斜邊PQ上的高h=1，則h=■=■=■，所以h=1.

同理，點O到QR，RS，SP的距離都是1，所以菱形PQRS與單位圓C0外切.

■總結

從以上幾個案例可以看出，在運用《幾何畫板》下，學生通過動手實驗、觀察、類比、歸納，親身經歷了數學建構過程，所有的新知識通過自身的“再創(chuàng)造”，納如到自己的認知結構中，成為有效而能發(fā)展的知識.

可以想象學生束縛已久的想象力和創(chuàng)造力一旦被電腦所解放，數學學習中的“妙手偶得”必然會成為源源不斷的“多得”和“必得”，數學創(chuàng)新教育就不再是一個空洞的口號.

用《幾何畫板》開展數學實驗教學，不僅會讓教師教得輕松，學生也會學得輕松，達到事半功倍的目的，給學生提供了一個發(fā)展自己奇思妙想的好空間，使學生從學數學到做數學再到玩數學，隨之而來的是學生學習態(tài)度上的變化，從被動學習到主動學習，再到創(chuàng)造性學習，可以有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，對學生數學能力的影響是深遠的.