例談數(shù)學思想在解析幾何中的切入

印金風

摘 要：解析幾何教學在一定程度上要將思想方法的教學滲透進去，對解析幾何問題用數(shù)學思想方法進行結(jié)合教學，才能使學生對其理解透徹，真正明白為什么要學習解析幾何？為什么要學習思想方法？本文以數(shù)學思想在解析幾何中的切入為視角，淺要分析解析幾何教學中數(shù)學思想方法的滲透和運用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學思想；解析幾何

解析幾何一直是高中數(shù)學的重點和難點. 從知識層面來說，解析幾何有很多的基本知識，包含直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等概念及其基本性質(zhì)，這是學生必須掌握的初級學習目標；次級目標是學生要掌握解析幾何中曲線之間的知識銜接和整合性問題；解析幾何教學的高級目標是使學生掌握該版塊中的數(shù)學思想方法，通過思想方法看到解析幾何最值、范圍類問題的數(shù)學本質(zhì).

對稱變換思想

對稱變換源自函數(shù). 眾所周知在學習函數(shù)時，函數(shù)的奇偶性是對稱變換最基本、最原始的形態(tài). 隨著數(shù)學知識的深入，對稱變換思想也漸漸滲透到高中數(shù)學的其他章節(jié)，比如：抽象函數(shù)的對稱變換，排列組合中的位置變換、平均分組，解析幾何中的光線問題等.

例1 光線沿直線l1：x-2y+5=0射入，遇直線l：3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程.

分析：（1）入射光線所在直線與反射光線所在直線關(guān)于l對稱；（2）對稱點的連線被對稱軸垂直平分.

解析：法一：由x-2y+5=0，3x-2y+7=0得x=-1，y=2.所以反射點M的坐標為（-1，2）. 又取直線x-2y+5=0上一點P（-5，0），設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點P′（x0，y0），由PP′⊥l可知，kPP ′=-=. 而PP′的中點Q的坐標為，，Q點在l上，所以3·-2·+7=0.

由=-，（x0-5）-y0+7=0得x0=-，y0=-.

根據(jù)直線的兩點式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x-2y+33=0.

法二：設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點P（x0，y0）關(guān)于直線l的對稱點為P′（x，y），則=-. 又PP′的中點Q，在l上，所以3×-2×+7=0，由=-，（x0+x）-（y0+y）+7=0可得P點的坐標為x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化簡得29x-2y+33=0，所以所求反射光線所在的直線方程為29x-2y+33=0.

說明：（1）綜合利用物理學知識，利用對稱變換的思想方法是求解本題的關(guān)鍵；（2）構(gòu)建方程解方程組是本題的又一重要方法；（3）坐標轉(zhuǎn)移法是對稱變換中常用的方法之一.

方程思想

方程思想是用代數(shù)的觀念解決幾何問題的代表思想. 諸如在解決兩個函數(shù)f（x）=lnx和g（x）=x2交點的問題時，我們常?？梢詷?gòu)造新的函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），進而研究F（x）的零點即可，這就是將圖形問題代數(shù)化的典型體現(xiàn). 另外，此類思想在解析幾何初步、立體幾何教學（向量法解決角和距離問題）都有著重要的作用.

例2 已知點A（-2，0），B（2，0），動點P滿足：∠APB=2θ，且PAPBsin2θ=2.

（1）求動點P的軌跡Q的方程；

（2）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點M，N，試問x軸上是否存在定點C，使·為常數(shù). 若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.

分析：（1）本題的突破關(guān)鍵在于雙曲線的定義和余弦定理；（2）由條件·建立起帶參的方程，利用參數(shù)建立的方程解決定值問題.

解析：（1）依題意，由余弦定理得：AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos2θ，

即16=PA2+PB2-2PA·PB·（1-2sin2θ）=PA2+PB2-2PA·PB+4PA·PB·sin2θ

=（PA-PB）2+8，所以（PA-PB）2=8，即PA？搖-PB？搖=2<4=AB（當動點P與兩定點A，B共線時也符合上述結(jié)論）.

所以動點P的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線，所以軌跡G的方程為x2-y2=2.

（2）假設(shè)存在定點C（m，0），使·為常數(shù)，

①當直線l斜率存在時，設(shè)直線l為y=k（x-2），聯(lián)立x2-y2=2得：

（1-k2）·x2+4k2x-（4k2+2）=0，由題意知，k≠±1.

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，x1·x2=，

于是·=（x1-m）·（x2-m）+k2（x1-2）·（x2-2）

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=-+4k2+m2=+m2=+m2+2（1-2m）

要使·是與k無關(guān)的常數(shù)，當且僅當m=1，此時·=-1，

②當直線l斜率不存在時，易得點M（2，），N（2，-），當m=1時，·=-1，故在x軸上存在定點C（1，0），使·為常數(shù).

說明：（1）在解決與解析幾何的軌跡問題、離心率問題時，常常借助于解析幾何的概念，往往會使得求解軌跡方程的思路簡潔明了；（2）本題中定值解法是用方程思想求m值，即圍繞“列出m的方程”求m值.

函數(shù)思想

解析幾何中的求最值、范圍等常見問題可圍繞通過變量建立函數(shù)關(guān)系的函數(shù)思想來求解，比如可從函數(shù)的三大性一窺某些函數(shù)關(guān)系的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)等工具解決稍難的最值問題、利用扎實的函數(shù)基本功解決解析幾何的難點.

例3 已知拋物線y2=4x的焦點為F2，點F1與F2關(guān)于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P，Q且·=-5. （1）求點T的橫坐標x0；（2）若以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓C過點1，. ①求橢圓C的標準方程；②過點F2作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)=λ，若λ∈[-2，-1]，求+的取值范圍.

分析：求解第2問的關(guān)鍵是建立+關(guān)于斜率k的函數(shù)關(guān)系式，即利用函數(shù)思想來解決+的取值范圍，其本質(zhì)是求解函數(shù)的值域問題.

解析：（1）由題意F2（1，0），F(xiàn)1（-1，0），設(shè)P（x0，y0），Q（x0，-y0），則=（x0+1，y0），=（x0-1，-y0）. 由·=-5，得x-1-y=-5，即x-y=-4①. 又P（x0，y0）在拋物線上，則y=4x0②，聯(lián)立①②易得x0=2.

（2）①易得橢圓的標準方程為+y2=1.

②容易驗證直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=ky+1，將直線l的方程代入+y2=1中得：（k2+2）y2+2ky-1=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（y1·y2≠0），則由根與系數(shù)的關(guān)系，可得：y1+y2=-③，y1y2= -④. 因為=λ，所以=λ，且λ<0. 將③式平方除以④式，得：++2=-？圯λ++2=-，由λ∈[-2，-1]？圯-≤λ++2≤0？圯-≤ -≤0，所以0≤k2≤.

因為=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），所以+=（x1+x2-4，y1+y2），又y1+y2= -，

所以x1+x2-4=k（y1+y2）-2= -，

故+2=（x1+x2-4）2+（y1+y2）2=+=16-+.

令t=，因為0≤k2≤？搖，所以≤≤，即≤t≤，

所以+2=f（t）=16-28t+8t2=8t--. 而≤t≤，所以f（t）∈4，，所以+∈2，.

說明：我們知道，本題中最終的函數(shù)關(guān)系是以二次函數(shù)為背景的，涉及二次函數(shù)圖象、性質(zhì)、最值等基本問題，這足以體現(xiàn)函數(shù)思想在解析幾何問題中的重要運用. 筆者一直認為，解析幾何最值問題的教學關(guān)鍵是函數(shù)思想教學，而函數(shù)思想教學的根本在于加強函數(shù)模型教學，這是極為重要的環(huán)節(jié)，諸如分式函數(shù)的常規(guī)處理方式分離常數(shù)法，利用基本不等式解決的x+模型，用導(dǎo)數(shù)解決更高次的函數(shù)最值問題等，掌握好這些內(nèi)容，對求解析幾何最值問題大有幫助.

總之近年來，對高中數(shù)學思想方法的考查越來越受到各地高考試卷的重視，教師在解析幾何教學的初始就要全面滲透數(shù)學思想方面，提升學生通過問題看本質(zhì)的能力，使其在掌握扎實的雙基的同時，將知識點進行有機的整合，最終上升到思想方法的高度進行提煉. 久而久之的磨煉可以提升優(yōu)秀學生的數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)，用諾貝爾獎獲得者李政道教授的話說：“我覺得今天取得自己的一點成就離不開數(shù)學的功底，而數(shù)學的功底又在于我當年中學時代對數(shù)學思想方法的理解和運用，其伴隨我研究一生.”