由一道高考題探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

余曉軍

摘 要：精心研制的高考題，知識(shí)點(diǎn)都來(lái)自教材，但通常讓人覺(jué)得耳目一新，此謂“源于課本，高于課本”. 本文通過(guò)對(duì)高考中出現(xiàn)的一類問(wèn)題的研究，探本溯源，找到了題目在教材上的落腳點(diǎn)，并對(duì)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了證明和應(yīng)用舉例. 獲得了解決一類問(wèn)題的通法，揭示了事物發(fā)展的規(guī)律.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；光學(xué)性質(zhì)；探究；應(yīng)用

試題背景的呈現(xiàn)

每個(gè)精心研制的高考試題，幾乎都出生豪門，身價(jià)都是很高的，它們往往有一個(gè)一般意義上都成立的大背景. 我們首先看一看下面這個(gè)試題：

（2010高考（安徽理19））已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=.

（1）求橢圓E的方程（答案：+=1）；

（2）求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程；

（3）略.

圖1

對(duì)于第二小題，命題組給出的參考解答是：

解法1：由（1）知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），所以直線AF1的方程為：y=（x+2），即3x-4y+6=0，直線AF2的方程為：x=2. 由點(diǎn)A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù).

設(shè)P（x，y）為l上任一點(diǎn)，則=x-2.

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0（因其斜率為負(fù)，舍去）.

所以直線l的方程為：2x-y-1=0.

解法2：因?yàn)锳（2，3），F(xiàn)1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），所以=（-4，-3），=（0，-3）.

+=（-4，-3）+（0，-3）=-（1，2），所以kl=2，所以直線l的方程y-3=2（x-2），即2x-y-1=0.

解法1利用了角平分線定義，解法2借助了單位向量的性質(zhì)，實(shí)際上這兩種解法，都沒(méi)有涉及這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì).那么，這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)到底是什么呢？

接下來(lái)我們研究一下第2小題的背景是什么. 如果我們注意到∠F1AB=∠F2AB，不就很容易想到“由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)”嗎？于是，這個(gè)問(wèn)題的大背景就在新課程人教A版必修2-1的教材P75“閱讀與思考”：《圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用》這一閱讀教材中橢圓的光學(xué)性質(zhì). 掀開(kāi)神秘的面紗后，一個(gè)觸摸問(wèn)題本質(zhì)的解法就呈現(xiàn)在我們的面前. 根據(jù)光反射原理，光線經(jīng)過(guò)橢圓面反射時(shí)反射界面就是過(guò)A點(diǎn)的切線，∠F1AF2的角平分線AB就是這條切線的法線，也就是過(guò)A點(diǎn)且與這條切線垂直的直線. 于是，我們得到這個(gè)問(wèn)題本質(zhì)的解法.

解：易知過(guò)A點(diǎn)的切線方程為+=1，+=1，切線的斜率為-，故過(guò)A點(diǎn)且與切線垂直的直線方程為y-3=2（x-2），即2x-y-1=0.

越是接近本質(zhì)的解法，就顯得愈簡(jiǎn)潔明了. 數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，始終是我們數(shù)學(xué)教學(xué)上的最大追求.

無(wú)獨(dú)有偶，2013年，山東卷高考試題也在這個(gè)光學(xué)性質(zhì)背景下，給出了一個(gè)壓軸題.

（2013高考（山東理22））橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于M（m，0），求m的取值范圍；

（3）（略）

略解：（1）橢圓方程為+y2=1.

（2）先看命題組的參考解答：由題意可知，=，

=，

設(shè)P（x0，y0），其中x≠4，將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：m（4x-16）=3x-12x0. 因?yàn)閤≠4，所以m=x0，而x0∈（-2，2），所以m∈-，.

再看橢圓光學(xué)性質(zhì)背景下的解法：

設(shè)橢圓的在P點(diǎn)處的切線方程為+y0y=1，則角平分線PM的斜率為k=，故PM的方程為y-y0=（x-x0），將點(diǎn)M（m，0）代入得，m=x0，而x0∈（-2，2），所以m∈-，.

我們可以看到，在上述突破問(wèn)題本質(zhì)的解答中，快速直達(dá)的思維量與簡(jiǎn)單超低的計(jì)算量，幾乎把該問(wèn)題直接進(jìn)行了“秒殺”！

圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的研究

由此筆者不由想起了新課程人教A版必修2-1課本P46上的一個(gè)例題，例題中說(shuō)道“由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)”. 當(dāng)時(shí)在教學(xué)過(guò)程中一帶而過(guò)，告訴學(xué)生這是橢圓面的光學(xué)性質(zhì)，直接拿來(lái)應(yīng)用了. 看到安徽、山東高考卷上的這兩個(gè)考題之后，就覺(jué)得很有必要對(duì)橢圓的這個(gè)光學(xué)原理進(jìn)行數(shù)學(xué)理論上的研究.

【性質(zhì)1】 從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

證明：設(shè)橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于M（m，0），設(shè)P（x0，y0），其中x≠a2. 由題意可知=，即=，化簡(jiǎn)得：m=x0. 由“Δ法”或“導(dǎo)數(shù)法”不難求出過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線的斜率為k=-， k′=kPM==，所以kk′=-1，因此過(guò)P點(diǎn)的切線與PM垂直. 橢圓面光反射原理得證.

【性質(zhì)2】 從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是散開(kāi)的，它反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).

圖4

證明：設(shè)雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線C上除實(shí)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，N在PF1的反向延長(zhǎng)線上，設(shè)∠NPF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于M（m，0）.

由題意可知=，=. 設(shè)P（x0，y0），其中x≠a2，將向量坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)得：m=x0，kPM==-，過(guò)點(diǎn)P切線斜率k=，因此kkPM=-1，得證.

【性質(zhì)3】 經(jīng)過(guò)F點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)拋物面反射后變?yōu)榕c對(duì)稱軸平行的光線；反之，平行對(duì)稱軸的光線經(jīng)過(guò)拋物面反射后聚集在焦點(diǎn)F處.

證明：設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線C上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)P作PN平行于x軸，∠FPN的角平分線PM交x軸于M（m，0）. 不妨設(shè)P（x0，y0）（y0>0），因?yàn)椤螰PM=∠FMP，所以PF=MF，x0+=m-，所以m=p+x0.

過(guò)P點(diǎn)切線的斜率k=，kPM==-，所以kkPM=-1，得證.

教材《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》例2中就用到了這個(gè)性質(zhì). 我們知道高考試題源于課本，但又高于課本，課本是高考題的“策源地”，安徽2010以及山東省2013年高考解析幾何解答題的考查真正落實(shí)了高考命題的這一特點(diǎn). 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)已用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)證明了，那么它在解題中有何應(yīng)用呢？

圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用

1. 切線問(wèn)題應(yīng)用

例1 已知l是過(guò)橢圓C：+=1上一動(dòng)點(diǎn)P的橢圓C的動(dòng)切線，過(guò)C的左焦點(diǎn)F1作l的垂線，求垂足Q的軌跡方程.

圖5

分析：如圖5，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)煩瑣. 由于l是橢圓的切線，切點(diǎn)為P，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：l是∠F1PF2的外角平分線，F(xiàn)1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F′2在F2P的延長(zhǎng)線上. 這樣，由于PF1=PF′2，故F2F′2=PF1+PF2=2a=8，而Q，O分別是F1F′2、F′2F2的中點(diǎn)，所以QO=4. 從而Q點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，以4為半徑的圓. 即Q點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=16.

下面這個(gè)問(wèn)題我們類似地可以用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)來(lái)解決.

已知雙曲線的方程為-=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)Q作雙曲線的切線l，從左焦點(diǎn)作切線l的垂線，垂足為P，求點(diǎn)P的軌跡方程.

圖6

2. 光線問(wèn)題應(yīng)用

例2 設(shè)拋物線C：y2=4x，一光線從點(diǎn)A（5，4）射出，平行C對(duì)稱軸射在C上的P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反射后，又射到C上的Q點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是______，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是______.

圖7

解：易知P（4，4），F(xiàn)（1，0），設(shè)Q（a，b），則=，b2=4a，b2-3b-4=0，所以b=-1或4（舍），所以Q，-1.

例3 從雙曲線-=1的左焦點(diǎn)F1處發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)該雙曲線左支上一點(diǎn)M-，3反射后，反射光線所在直線方程為_(kāi)_______.

略解：由雙曲線光線性質(zhì)知反射光線所在直線方程為12x+35y-60=0.

3. 距離問(wèn)題應(yīng)用

例4 已知橢圓C：+=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q（2，1），P是C上的動(dòng)點(diǎn)，求PF1+PQ的取值范圍.

解：因?yàn)闄E圓是封閉圖形，所以取值范圍既有最小值又有最大值. 根據(jù)光線最近傳播法則，結(jié)合橢圓光線性質(zhì)可知，從F1發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程最短. 利用橢圓定義也可證明，PF1+PF2=2a，PF1+PQ=2a-QF2，P′F1+P′F2=2a，P′F1+P′Q+QF2≥2a，P′F1+P′Q≥2a-QF2，所以PF1+PQ≤P′F1+P′Q. 因?yàn)镼F2=，所以（PF1+PQ）min=2a-QF2=10-，（PF1+PQ）max=10+. PF1+PQ∈[10-，10+].

類似的，我們可以解決下面這個(gè)問(wèn)題：已知雙曲線C：x2-=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q4，，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求MF2+MQ的取值范圍.

圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是奇妙的，奇妙的背后蘊(yùn)涵著奇妙的數(shù)學(xué)關(guān)系. 我們只有善于觀察，勤于鉆研，及時(shí)總結(jié)，才能閃現(xiàn)更多的靈感，才能在奧妙的數(shù)學(xué)世界暢游.