高中數(shù)學建模的案例教學

蔣秀金

摘 要：為了讓學生學到有用的數(shù)學，本文從數(shù)學教學活動的實際出發(fā)，通過幾個實際問題的數(shù)學建模案例的教學，闡述高中數(shù)學建模的基本方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提高應用數(shù)學的能力。

關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學建模；案例教學；應用數(shù)學

一、問題提出

如果我們在高中學生中作一個調查，問其學習數(shù)學的目的是什么？可能大部分同學的回答是：為了高考；如果我們在大學生中作一個調查，問其學習數(shù)學的用處是什么？可能大部分同學的回答是：應付考試。大部分同學學了十二年的數(shù)學，卻沒有基本的數(shù)學思維，更不用說用創(chuàng)新的思維去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題了。加強數(shù)學建模教學正是在這種教學現(xiàn)狀下提出來的。

我國普通高中新的數(shù)學教學大綱中明確提出要“切實培養(yǎng)學生解決實際問題的能力”，要求“增強應用數(shù)學的意識，能初步運用數(shù)學模型解決實際問題，逐步學會把實際問題歸結為數(shù)學模型，然后運用數(shù)學方法進行探索，使問題得到解決。” 《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中要求數(shù)學建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中。數(shù)學建模進入高中數(shù)學課程成為必然，作為一線教師必須改變觀念，積極探索數(shù)學建模教學案例，為學生學習數(shù)學營造更為廣闊的空間。

二、數(shù)學建模

著名數(shù)學家懷特海曾說：“數(shù)學就是對于模式的研究”。

數(shù)學模型的建立有多種方法，怎樣選擇一個最佳的模型，這是一個難點，選擇數(shù)學模型更是反映了數(shù)學能力。高中數(shù)學建模要以多種方式滲透進各個模塊的學習中，其研究的實際問題可涉及多個方面，如函數(shù)與導數(shù)問題、三角函數(shù)問題、立體幾何問題、解析幾何問題、數(shù)列問題、概率問題等。

具體地講數(shù)學建模的步驟大致如下：

實際問題→建立模型→數(shù)學問題→數(shù)學解→實際解→檢驗

由此，我們可以看到，把實際問題抽象為數(shù)學問題是培養(yǎng)學生運用數(shù)學建模解決實際問題的關鍵所在，進而達到用數(shù)學模型來解決實際問題，使數(shù)學建模成為學生思考問題的方法和習慣。

三、教學案例

層次一、數(shù)學建模案例教學——常規(guī)課堂教學

案例1 數(shù)學必修四第三章《三角恒等變換》章頭圖中，給出這樣一個問題：某城市的電視發(fā)射塔（BD）建在市郊的一座小山上，小山高BC約為30米，在地平面上有一點A，測得地面A，C兩點間距離約為67米，從點A觀測電視發(fā)射塔的視角（∠BAD）約為45°，求這座電視發(fā)射塔的高度。

評析 這是應用數(shù)學的好時機，教師要注意引導，對所考察的實際問題進行抽象分析，建立相應的數(shù)學模型（三角函數(shù)模型），提出新知識，即兩角和與差公式，激發(fā)學生的求知欲。 因此，要重視章前問題的教學，使學生明白建立數(shù)學模型的實際意義。

分析二 （建模法）立體幾何模型——長方體或正方體

建模過程：學生通過分析題目觀察式子，可發(fā)現(xiàn)三條線段兩兩垂直，故會聯(lián)想到熟悉的長方體或正方體模型，從同一頂點A出發(fā)的三條棱兩兩垂直，那么根據(jù)圖形就很容易得到判斷△BCD的形狀是銳角三角形，答案是C。

層次三、數(shù)學建模案例教學——學生自選問題

案例5 用分期付款的方式購買價格為1300元的手機，如果購買時先付300元，余款分20次付完，以后每月付50元加上本月欠款的利息。如果月利息為1%，那么第10個月要付多少錢？總共要付多少錢？

點評：這是學生很感興趣的問題，從列舉到歸納總結，學生能切身體會到數(shù)學的價值，同時也彰顯了等比數(shù)列前n項和的作用。教師要關注生活中與學生聯(lián)系密切的問題，引導學生抽象問題，解決問題并應用于實際生活。

案例6 趣味數(shù)學問題—“公主領地”

公主狄多由于不滿父母做主的包辦婚姻，逃到了地中海彼岸——北非，為了謀生，她托人同當?shù)夭柯涞那蹰L談判，打算在海邊購買一塊土地，但是貪婪的酋長索要高價，而且只肯售出一塊公牛皮所能圍住的土地，公主二話沒說，馬上拍板成交。她圍出了一塊面積很大的土地，她是怎樣圍的呢？

數(shù)學模型——解析幾何模型（圖形的周長與面積）

建模過程：把公牛皮切成細條，然后用這些細條結成一根極長的繩子，然后學生繪制不同圖形進行計算、比較；

建模關鍵點：周長一定的前提下，什么樣的圖形面積最大？

問題結論：周長相等的三角形中，正三角形面積最大；

周長相等的四邊形中，正方形面積最大；

猜測：周長相等的n邊形中，正n邊形面積最大；

進一步猜測：邊數(shù)n不斷增加，正n邊形近似于圓，即周長相等的圖形中，圓面積最大。

四、總結反思

利用數(shù)學建模解決實際問題，從多層次思考問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力是很有益的，是提高學生素質，進行素質教育的一條有效途徑。同時研究和學習數(shù)學模型，能幫助學生探索數(shù)學的應用，產生對數(shù)學學習的興趣，培養(yǎng)學生的實踐能力，加強數(shù)學建模教學與學習對學生的智力開發(fā)具有深遠的意義。

參考文獻：

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