特殊圖形在拋物線中旋轉(zhuǎn)而形成的問(wèn)題賞析

林致桐

近年來(lái)，以特殊圖形在拋物線中旋轉(zhuǎn)為背景，探究點(diǎn)的坐標(biāo)、圖形面積、最值以及函數(shù)解析式等問(wèn)題，在中考試題中頻頻出現(xiàn)，成為中考數(shù)學(xué)試題的一大亮點(diǎn)。雖然不同的圖形在拋物線中旋轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生不同的“效果”，中考命題者設(shè)置的問(wèn)題也有所不同，但縱觀這類(lèi)試題，它們也有著許多“共性”之處，通過(guò)類(lèi)比的方法學(xué)習(xí)，老師、同學(xué)們一定會(huì)感悟到其中解題的“奧妙”之處。

一、三角形在拋物線中旋轉(zhuǎn)而形成的問(wèn)題

例1 （2012年荷澤市中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O。

（1）一拋物線經(jīng)過(guò)A′、B′、B，求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形，并寫(xiě)出它的兩條性質(zhì)。

賞析 本題主要考查旋轉(zhuǎn)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圖形面積的計(jì)算、存在性問(wèn)題以及特殊四邊形的判定和性質(zhì)。對(duì)于存在性問(wèn)題，往往假設(shè)問(wèn)題存在或不存在，然后通過(guò)判斷假設(shè)的對(duì)錯(cuò)來(lái)得到結(jié)論。