初中數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用性問(wèn)題有效教學(xué)初探

曾華雄

摘要：開(kāi)發(fā)學(xué)生內(nèi)在潛能，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，已經(jīng)成為當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。這主要體現(xiàn)在近幾年全國(guó)各地中考試題中都逐步加大了對(duì)應(yīng)用性問(wèn)題的考查力度，并且在題型和題量上呈增長(zhǎng)趨勢(shì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)應(yīng)用；有效教學(xué)；思想方法；能力培養(yǎng)

實(shí)際應(yīng)用類(lèi)試題取材新穎，立意巧妙，立足于考查閱讀能力與數(shù)學(xué)建模能力.該類(lèi)試題的命制具有以下的特點(diǎn)：①提供的情景材料新，提出的問(wèn)題新；②注重考查閱讀理解能力；③注重考查分析、解決問(wèn)題的能力.由于實(shí)際應(yīng)用類(lèi)試題在取材上貼近時(shí)政熱點(diǎn)，貼近生活實(shí)際，題型豐富多彩，涉及知識(shí)面寬，因此， 該類(lèi)試題常常成為中考命題的核心題。根據(jù)對(duì)學(xué)生近幾年中考應(yīng)用題的解答情況進(jìn)行了認(rèn)真的調(diào)查和分析，解答實(shí)際應(yīng)用類(lèi)試題的一般步驟為：①讀懂題目，包括對(duì)題意的整體理解和局部理解，能夠全面分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)；②建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將這些關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號(hào)表示出來(lái)；③求解數(shù)學(xué)模型，根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的方法，設(shè)計(jì)合理簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解；④檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)所得結(jié)果是否適合數(shù)學(xué)模型，又要評(píng)判所得結(jié)果是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求。

一、重視例題、習(xí)題的教學(xué)，注重學(xué)生閱讀能力的有效培養(yǎng)

教材是教學(xué)的主要依據(jù)，課本例題一般都具有典型性、示范性和遷移性，它們或是滲透了某些數(shù)學(xué)方法，或體現(xiàn)了某些數(shù)學(xué)思想，或提供了某些重要結(jié)論，因此應(yīng)充分認(rèn)識(shí)課本例題本身所蘊(yùn)含的價(jià)值，掌握其中的通性通法，并注重不同知識(shí)點(diǎn)的橫向聯(lián)系。

例1.某公司設(shè)計(jì)了一款成本為30元/件的學(xué)習(xí)用品投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷(xiāo)。經(jīng)過(guò)調(diào)查，其中學(xué)習(xí)用品的銷(xiāo)售量y（件）與每天銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）之間滿足如圖1所示關(guān)系。

（1）請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)銷(xiāo)售量為500件和600件時(shí)相應(yīng)的銷(xiāo)售單價(jià)；

（2）試求出銷(xiāo)售量y與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該學(xué)習(xí)用品銷(xiāo)售單價(jià)最高不能超過(guò)55元/件，那么銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí)，公司試銷(xiāo)該學(xué)習(xí)用品每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解析：試題以一次函數(shù)為背景，主要考查學(xué)生閱讀能力，對(duì)函數(shù)圖象的提取信息能力.三個(gè)設(shè)問(wèn)為遞進(jìn)關(guān)系，其中問(wèn)題（1）考查函數(shù)圖象的信息獲取，根據(jù)圖象可直接得出相關(guān)數(shù)據(jù)，即通過(guò)已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)獲取相應(yīng)的橫坐標(biāo)；問(wèn)題（2）考查待定系數(shù)法，解答時(shí)須利用y=kx+b及點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)造方程（組）求解；欲求問(wèn)題（3） 的最大利潤(rùn)，首先應(yīng)利用總利潤(rùn)（W）=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量（y）進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后由W=a（x-h）2+k的增減性并結(jié)合自變量取值范圍確定最值問(wèn)題.

（1）50元和40元；（2）y=-10x+1000；

（3）設(shè)工藝廠試銷(xiāo)該工藝品每天獲得的利潤(rùn)是W元，依題意，得

W=（x-30）（-10x+1000）=-10（x-65）2+12250.

∵a=-10<0，∴函數(shù)圖象為開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱(chēng)軸為x=65.

又30

∴當(dāng)x=55時(shí)，W取得最大值，W最大=-10（55-65）2+12250=11250.

在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須根據(jù)教材特點(diǎn)、學(xué)生年齡特征和個(gè)性特點(diǎn)，以教材為載體，以語(yǔ)言訓(xùn)練為主要內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)閱讀興趣，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，使其養(yǎng)成良好閱讀習(xí)慣，進(jìn)而促進(jìn)其終身學(xué)習(xí)能力的有效提高。

二、重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，注重學(xué)生建模能力的有效培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，它貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中。在初中數(shù)學(xué)中，許多思想和方法是一致的，二者之間相輔相成，互相蘊(yùn)含，只是方法較具體，是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類(lèi)的東西，比較抽象。在教學(xué)中，通過(guò)對(duì)具體數(shù)學(xué)方法（如換元法、消元法、圖像法、配方法、待定系數(shù)法等）的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想；同時(shí)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。

例2.如圖2，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，上底長(zhǎng)12米，下底長(zhǎng)18米，高8米.

⑴求梯形中位線的長(zhǎng)；

⑵在梯形兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向通道，上下底之間有兩條縱向通道，各條通道的寬均為x米.

①若通道的總面積等于42平方米，求通道的寬；

②按要求通道的寬不超過(guò)1米，且修建三條通道應(yīng)付的工資合計(jì)60元，花壇其余部分應(yīng)付工資為每平方米2元，建造整個(gè)花壇所付的工資270元，求通道的寬.

解析：試題背景源于教材習(xí)題變式，通過(guò)變式巧妙地融入新的問(wèn)題情景，從而全面地考查梯形中位線的計(jì)算、一元二次方程的數(shù)學(xué)建模能力.其中問(wèn)題（1）為基本題，運(yùn)用中位線的定義即可求解；問(wèn)題（2）欲求通道的寬，須將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求通道的面積，而通道的面積通常通常采用平移或割補(bǔ)的辦法求解，因此利用中位線乘以通道的寬度x得出橫向通道的面積是解題關(guān)鍵；問(wèn)題（3）的答題關(guān)鍵是利用通道費(fèi)用+其余部分費(fèi)用=270構(gòu)建方程求解，然后結(jié)合題意對(duì)所求x的值進(jìn)行取舍.

（1）中位線=12+182=15（米）；

（2）依題意，得15x+2×8x-2x2=42.整理，得2x2-31x+42=0.

解得x1=32，x2=14（不符合題意，舍去）.∴通道的寬為1.5米；

（3）依題意，得2（15×8-31x+2x2）+60=270.整理，得2x2-31x+15=0.

解得x1=12，x2=15.∵x≤1，∴x2=15（不符合題意，舍去）∴通道的寬為12米.

在教學(xué)中，教師要多鼓勵(lì)學(xué)生積極思考問(wèn)題，善于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，注意知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，努力培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較、抽象、歸納和建模能力，形成良好的思維品質(zhì)。

三、重視數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用，注重學(xué)生自信心的有效培養(yǎng)

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中充滿著數(shù)學(xué)。用數(shù)學(xué)是學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。教學(xué)必須重視從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，把與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的的常識(shí)問(wèn)題與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相結(jié)合。使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用的信心。

例3.如圖3，某小區(qū)有一長(zhǎng)100m，寬80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)圖案如下，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m.預(yù)計(jì)活動(dòng)區(qū)每平方米造價(jià)60元，綠化區(qū)每平方米造價(jià)50元.

⑴設(shè)一塊綠化區(qū)較長(zhǎng)的邊為xm，則較短的邊為多少？（用含x的代數(shù)式表示）

⑵求工程總造價(jià)y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍；

⑶如果小區(qū)投資46.9萬(wàn)元（即工程總造價(jià)不高于46.9萬(wàn)元），問(wèn)能否完成工程任務(wù)，若能，請(qǐng)寫(xiě)出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：?jiǎn)栴}（1）考查代數(shù)式的表示，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)通常采用構(gòu)建二元一次方程求解，而問(wèn)題（1）關(guān)鍵是利用四周出口一樣構(gòu)建方程求解；欲求問(wèn)題（2） 的工程總造價(jià)y，關(guān)鍵是利用工程總造價(jià)=活動(dòng)區(qū)總造價(jià)+綠化區(qū)總造價(jià)；欲確定問(wèn)題（3）的所有方案，首先應(yīng)善于利用題（2）的結(jié)論，特別是當(dāng)y=469000時(shí)所對(duì)應(yīng)x的值，然后由y=a（x-h）2+k的增減性并結(jié)合自變量取值范圍確定x的整數(shù)解，最后由整數(shù)解得出方案。

（1） 設(shè)一塊綠化區(qū)的長(zhǎng)邊為xm，

[80-（100-2x）]÷2=x-10.

故一塊綠化區(qū)的短邊為：x-10.

（2） y=50×4x（x-10）+60×[8000-4x（x-10）]

=-40x2+400x+480000（20≤x≤25）；

（3）∵-40x2+400x+480000=469000，∴x2-10x-275=0.

∴x=5±103（負(fù)值舍去），∴x=5+103≈22.32.

∵y=-40x2+400x+480000=-40（x-5）2+481000，

∴當(dāng)x≥5時(shí)，y隨著x值的增大而減少.

又∵20≤x≤25，∴x=23，24，25，∴投資46.9萬(wàn)元能完成工程任務(wù)，

共有三種方案.

方案一：一塊矩形綠地長(zhǎng)為23m，寬為13m；

方案一：一塊矩形綠地長(zhǎng)為24m，寬為14m；

方案一：一塊矩形綠地長(zhǎng)為25m，寬為15m.

試題背景源于課本教材，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用、整數(shù)解與方案設(shè)計(jì)。以函數(shù)知識(shí)為載體，以解決實(shí)際問(wèn)題為目的，綜合考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想及配方法等方法的掌握情況，讓學(xué)生多接觸一些社會(huì)生產(chǎn)和日常生活，用數(shù)學(xué)的眼光探求新知，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，真正將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、創(chuàng)新與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，不斷增強(qiáng)學(xué)生解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的信心和勇氣。

隨著新課改向縱深發(fā)展，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性已經(jīng)成了一個(gè)戰(zhàn)略性問(wèn)題，這就要求每一位教師在繼承的基礎(chǔ)上，敢于創(chuàng)新，拋開(kāi)形式主義的束縛和功利主義的誘惑，潛心鉆研，勇于探索，最終提高課堂教學(xué)有效性。