突破陳舊模式，激活數(shù)學思維

段卉

摘 要：當前高中數(shù)學中，有不少學生存在陳舊的思維模式，影響其對數(shù)學學科的深入探索和學習. 那么該如何滲透數(shù)學思想，激活數(shù)學思維呢？本文從陳舊思維模式的成因入手，提出解決方案，并做了細致的分析.

關鍵詞：數(shù)學思維；模式；激活思維

在多年的高中數(shù)學教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)一個問題：很多學生常常在課堂上貌似什么都能聽懂，也能完成例題推導，但是一到獨立思考解答的時候，就陷入困境，一籌莫展.到底問題出在哪里呢？筆者認為，首先是學生的思維模式出了問題，其次就是教師的教學方法出了問題. 顯而易見，正是陳舊的教學方法導致了陳舊的數(shù)學思維模式. 那么在高中生數(shù)學思維中，存在哪些陳舊的模式呢？

[?] 高中生陳舊思維模式及其成因分析

筆者在教學中和學生進行了深入交流，也通過一些試題練習逐步挖掘出以下幾種陳舊的慣性思維模式：

1. 消極定式

高中生在數(shù)學訓練中存在著消極定式的問題. 其實這個問題相當普遍.何謂消極？何謂定式？消極就是故步自封，從自己固有的經驗出發(fā)，不從實際問題考慮，一旦有過以前的解題經驗就不再進行深入探索，而是直接將經驗拿來套用. 這種不假思索地定式模式，嚴重影響了高中生數(shù)學靈活多變的思維生成. 如試題“求實數(shù)m，使方程x2+（m+2i）x+2+mi=0有實根”，不少學生給出的答案是：原方程有實根，當且僅當判別式Δ=（m+2i）2-4（2+mi）≥0，即m2-12≥0，解得m≥2或m≤-2. 為何會有這樣的錯誤結論呢？究其原因，因為受到原有解答定式的影響，也即在實系數(shù)一元二次方程根的判別方法的干擾之下，把只能用于實系數(shù)的判別方法，機械地搬到復系數(shù)方程中來應用，造成了思維的負面定式. 又如剛學立體幾何時，只要教師一提到兩直線垂直，很多學生竟然下意識地認為這兩直線必相交，如此錯誤的認識，不難看到消極的定式思維造成多么大的危害.

2. 缺乏聯(lián)想類比

進入高中以后，所學的數(shù)學知識猶如高樓，各個層次之間互為關聯(lián). 高考中的命題常常將知識綜合起來進行考量，如向量和解析幾何、函數(shù)和數(shù)列等，知識之間互為依存又互為遷移. 但問題在于，很多學生學了前邊忘了后邊，學了后邊忘了前邊，將數(shù)學知識變成了單獨的樹木，一眼障目，自然看不到森林.高中生因為缺乏類比聯(lián)想，在數(shù)學訓練中出了問題往往“頭疼醫(yī)頭，腳疼醫(yī)腳”，無法辨證施治. 有的學生只滿足一個答案，而忽略掉解題的邏輯性；有的學生忽視解答題的規(guī)范化書寫，沒有良好習慣；還有的學生只知道一味地做題，缺乏歸納推理等數(shù)學思維的建構.

3. 畏難退卻

在高中生中還有一個普遍現(xiàn)象：一旦遇到有些難度的題目，他們就會輕易放棄. 如在函數(shù)應用題訓練中，經常會有學生將簡單的二次函數(shù)應用題當做“攔路虎”，要么留著不做，要么放到最后進行，好像那是一個很難啃的骨頭. 其實這些題目在考試中分數(shù)比重較大，但實際問題并不是學生沒有掌握相關知識，而是畏難退卻的情緒在作怪，如求和：lgcot1°+lgcot2°+lgcot3°+…+lgcot89°，這樣的題目一些學生看了，第一個本能就是非常難做，輕易不想動腦筋思考. 實際上這個問題很簡單，聯(lián)系原有的知識就可以解答.

4. 思考膚淺

現(xiàn)在高考題題目新穎，綜合性強，注重對高中生分析問題和解決問題能力的考查，如果在數(shù)學學習中淺嘗輒止，思維停留在一些概念的表層，或者是單純地記憶一些公式概念，是根本無法進行數(shù)學思維的. 在課堂上筆者曾要求學生證明“若

a

≤1，

b

≤1，則ab+≤1”，有相當一部分學生是通過三角代換來證明的（設a=cosα，b=sinα），理由是

a

≤1，

b

≤1（事后統(tǒng)計這樣的學生占到近20%）.

究其以上思維模式的原因，筆者發(fā)現(xiàn)問題在于：首先，高中生的基礎不牢固. 每次接受新知識，都不是在原有的知識銜接上本著應用實踐的目的來學習的，而是為了學知識而學知識，為了成績而學習. 其次，高中生在學習數(shù)學的過程中，沒有形成一個數(shù)學知識的整體框架，一到做題猶如盲人摸象，不能有自己的獨立數(shù)學思維風格.

陳舊的數(shù)學數(shù)學思維模式不但阻礙了高中生的知識吸收能力，更不利于學生下一步在社會實踐中的身心發(fā)展. 因此，作為高中數(shù)學教師，就要從突破陳舊思維模式開始做起，激活學生的數(shù)學思維.

[?] 從激活數(shù)學思維入手，突破陳舊模式

通過調查和分析不難知道，高中生陳舊的思維模式和教師課堂教學方法有很大關系. 那么該如何突破陳舊模式呢？筆者認為，要從課堂教學中的每一個環(huán)節(jié)開始，尋找激活高中生數(shù)學思維的有效途徑，以下是幾種探索：

1. 尊重差異性，因材施教

高中學生個性有差異，數(shù)學思維模式也有不同，在接受高中數(shù)學知識的起點上也有所不同. 這就要求教師要從個性上把握好不同學生的數(shù)學思維水平，采用分層次、多角度、步步推進的模式，讓學生循序漸進. 如在題型設計上，筆者常常要照顧不同學生能力的問題，既要突破知識的難點，又要對優(yōu)等生有很大的幫助，而且在整個操作過程中，要讓學生保持足夠的興趣和活躍度.

如下列題目中，筆者這樣設計：

（1）求出下列函數(shù)在x∈[0，3]時的最大值、最小值：①y=（x-1）2+1；②y=（x+1）2+1；③y=（x-4）2+1.

（2）求函數(shù)y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值.

（3）求函數(shù)y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值.

上述設計層層遞進，從基礎到提高，照顧了不同層次學生的能力，有效調動積極性，讓高中生克服為難情緒，樂于探索.

2. 滲透數(shù)學思想

數(shù)學教學的本質目標在于激活數(shù)學思維，建立數(shù)學思想，進行靈活多變的遷移和應用，而如何才能把握這些問題，就要求教師在教學中從滲透數(shù)學思想入手. 有的學生面對數(shù)學問題，首先想到的是套公式，模仿做過的題目求解，對沒見過或陌生一點的題型便無從下手，這實質上就是缺乏數(shù)學思想的表現(xiàn)，如“設x2+y2=25，求u=+的取值范圍”，若采用常規(guī)的解題思路，u的取值范圍不大容易求，但適當對u進行變形：u=+，轉而構造幾何圖形容易求得u∈[6，6]，這里對u的適當變形實際上就是數(shù)學思想的積極轉化和應用.

3. 替換舊有消極定式

在教學中，教師要善于發(fā)現(xiàn)和挖掘學生本身的消極定式，并且只有當教師找到其消極性所在，才能夠引導其找到解決辦法. 那么在課堂教學中怎么才能做到呢？這就需要教師多從建設性的意義上進行鼓勵，正面引導. 筆者在教學實踐中采用替換的方式. 值得一提的是，替換并不是簡單地換掉原來的定式，而是要分層次地等待學生獲得認知和經驗，等到學生意識到自己的問題所在，這個時候再進行比對，自然而然就會發(fā)現(xiàn)自己之前的問題錯誤，找到正確的方法和策略.

如在學習了“函數(shù)的奇偶性”后，學生出現(xiàn)了一些錯誤. 筆者發(fā)現(xiàn)主要原因在于其忽視定義域問題而導致判別無效，為此設計如下問題：判斷函數(shù)f（x）=2x-

在區(qū)間[23-a-6，2a]上的奇偶性.這是個過渡和替換的過程，警醒學生進行細致思考. 不少學生由f（-x）=-f（x）立即得到f（x）為奇函數(shù)，這個時候筆者設疑問：（1）區(qū)間[23-a-6，2a]有什么意義？（2）y=x2一定是偶函數(shù)嗎？學生這才意識到函數(shù)f（x）=2x-

只有在a=2或a=1即定義域關于原點對稱時才是奇函數(shù).

高中生的思維定式不是一朝一夕就能夠被消除掉的，教師除了要有足夠的耐心，還要有高度的熱情和信心，給予學生關懷和鼓勵. 更重要的是，教師還要有洞察的能力，一眼看到學生的消極定式，而后循序漸進，層層突破.

顯而易見，高中數(shù)學思維模式的建構是一個長期的工程. 對于教師來說，這項任重道遠的工程，不但要求能夠激活高中生的數(shù)學思維，而且還要引導高中生進行深入的數(shù)學探索，靈活冷靜地處理數(shù)學問題，并且將數(shù)學思維模式應用到實際的科技、科研當中，而這正是數(shù)學教育的本質所在. 為了這個目標，筆者將不遺余力，繼續(xù)深入探索高中數(shù)學陳舊思維模式的突破和建立這個課題，尋找到更有效的途徑改變當前的陳舊模式. 筆者相信，未來會有更多的同道者加入到這個探索的隊伍中來.