初中數(shù)學建模教學的實踐探索

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）16-0073-04

數(shù)學建模作為連接數(shù)學理論與實際問題的橋梁，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學知識轉(zhuǎn)化為解決現(xiàn)實問題的有效工具。初中階段是學生思維能力發(fā)展的關鍵時期。開展數(shù)學建模教學，不僅有助于學生理解數(shù)學本質(zhì)，而且能培養(yǎng)其邏輯思維能力、創(chuàng)新能力和問題解決能力，這與《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數(shù)學課標》中提出的會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的核心素養(yǎng)培養(yǎng)方向高度契合。然而，當前初中數(shù)學建模教學在實際開展過程中仍然面臨諸多挑戰(zhàn)：一方面，部分教師對數(shù)學建模教學的理念和方法理解不夠深入，缺乏有效的教學策略和教學資源支持，導致難以將數(shù)學建模思想有機融入常規(guī)教學；另一方面，大部分學生習慣于被動接受知識，在面對實際問題時，缺乏將問題抽象為數(shù)學模型的意識和能力，常常陷入“學而不知其用”的困境。針對上述挑戰(zhàn)，筆者結(jié)合教學實踐，以一次函數(shù)為切入點，將數(shù)學模型觀念培養(yǎng)融入初中數(shù)學課堂，激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣并提升其數(shù)學應用能力。

初中數(shù)學建模教學要求學生能夠從實際問題中抽象出數(shù)學模型，并通過求解模型解釋現(xiàn)實規(guī)律。

雖然在初中階段未明確提出數(shù)學建模概念，但《2022年版數(shù)學課標》強調(diào)的模型觀念，要求學生運用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律1，這實質(zhì)上構(gòu)成了數(shù)學建模的初步形態(tài)。一次函數(shù)作為初中數(shù)學課程體系中的重要基石，是連接數(shù)學抽象世界與現(xiàn)實應用的橋梁。一次函數(shù)模型應用廣泛，涉及經(jīng)濟趨勢預測、資源配置優(yōu)化等多個領域，是學生運用數(shù)學知識解決實際問題的重要工具。初中數(shù)學綜合與實踐領域強調(diào)以問題解決為導向，鼓勵學生跳出傳統(tǒng)數(shù)學框架，整合跨學科的知識和方法，從新視角觀察并解決現(xiàn)實世界中的實際問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神與實踐能力[2]。下面，筆者以滬科版數(shù)學八年級上冊第12章“一次函數(shù)”中的綜合與實踐活動“一次函數(shù)模型的應用”教學為例，探索適合初中生的數(shù)學建模教學流程。

一、目標闡述 分析教情，確定目標

《2022年版數(shù)學課標》提出，綜合與實踐領域應以真實問題為驅(qū)動，發(fā)展學生的模型意識和數(shù)學應用能力?！耙淮魏瘮?shù)模型的應用”以奧運會成績預測、人體指距與身高關系探究等問題鏈為載體，將一次函數(shù)模型嵌入真實情境，實現(xiàn)數(shù)學與體育、生物學等學科的跨領域融合。教師通過精心設計的實踐活動，引導學生靈活運用一次函數(shù)模型解決實際問題，深化對函數(shù)本質(zhì)和應用價值的理解，培養(yǎng)數(shù)學建模能力和問題解決能力，深刻體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學習數(shù)學的興趣與熱情，增強運用數(shù)學知識探索未知、解決難題的主動性。本課教學既是對學生已掌握的一次函數(shù)理論知識的深化與拓展，也是引導學生將抽象的數(shù)學知識巧妙融入現(xiàn)實生活情境并解決現(xiàn)實問題的必經(jīng)過程[3]。

八年級學生已具備一定的函數(shù)基礎，學習了一次函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，掌握了用待定系數(shù)法求解析式等基礎知識。然而，學生從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能力尚顯不足，在運用一次函數(shù)模型解決復雜實際問題時存在困難，且學生個體間數(shù)學素養(yǎng)、思維能力存在差異，部分學生分析問題、解決問題的能力有待提升。基于建構(gòu)主義學習理論，教師可依托奧運會相關情境創(chuàng)設，引導學生從現(xiàn)實問題中自主構(gòu)建一次函數(shù)模型，達成以下三個目標：通過回顧一次函數(shù)的基礎知識，如函數(shù)圖象、性質(zhì)和解析式法等，進一步加深學生對一次函數(shù)的理解；引導學生在實際操作、合作學習中，識別關鍵變量，建立兩個變量間的函數(shù)模型，體驗建模方法的多樣性與靈活性，并能運用模型進行預測和解釋；通過一次函數(shù)模型的應用實踐，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，使其在面對實際問題時能夠靈活運用數(shù)學知識，提出創(chuàng)造性的問題解決方案，深刻感悟數(shù)學的應用價值。

二、溫故引新 講授新知，啟發(fā)思維

（一）建立新舊知識之間的聯(lián)系

溫故引新是一種有效的學習策略，它強調(diào)在學習新知識之前，先復習和鞏固已有的相關知識，以建立新舊知識之間的聯(lián)系，促進認知發(fā)展。通過回顧舊知，學生能夠鞏固已學知識，還能在此基礎上形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學習奠定基礎。在“一次函數(shù)模型的應用”教學的溫故引新環(huán)節(jié)，教師采用結(jié)構(gòu)化提問的方式，引導學生回顧一次函數(shù)的基礎知識。提問內(nèi)容包括函數(shù)圖象的特征（直線形狀）方向性（斜率決定）和與坐標軸的交點（截距確定）等知識點，以幫助學生快速回憶一次函數(shù)的有關知識。同時，教師對學生的回答提供診斷性反饋，通過糾正理解偏差幫助學生形成正確認知；通過具體實例和一次函數(shù)圖象演示，加深學生對上述知識點的理解。

（二）視頻引入教學情境，提取數(shù)學問題引發(fā)學生思考

為了有效激發(fā)學生的學習興趣并促進學生的深度思考，教師選取了一段奧運會游泳比賽的精彩視頻作為課程開篇的情境導入。視頻中，運動員們奮力劃水、勇爭上游的比賽場景躍然眼前。視頻播放完畢，教師恰當?shù)貪B透愛國主義教育，引導學生分享各自的觀賽感受，搭建起一個開放包容的交流平臺。學生紛紛表達了對游泳運動員的敬佩之情，對比賽過程中緊張刺激的氛圍有了深刻體驗，并對國家運動員在國際賽場上贏得榮譽產(chǎn)生了由衷的自豪感。之后，教師用多媒體呈現(xiàn)了男子 400m 自由泳項目歷年冠軍的比賽用時數(shù)據(jù)（如圖1），據(jù)此提出與一次函數(shù)等數(shù)學知識緊密相關的問題。這一設計為學生搭建起從體育賽事通往數(shù)學探索的橋梁，使學生在享受比賽激情的同時，自然而然地步入數(shù)學學習的奇妙之旅。

情境認知理論認為，學習應嵌入真實的社會文化背景。基于此，教師選取奧運會游泳比賽視頻作為情境載體，以奧運會男子 400m 自由泳項目冠軍成績與年份的關系這一真實問題為切入點，引導學生從體育現(xiàn)象中抽象出數(shù)學模型，激發(fā)其探究動機，為接下來的數(shù)學教學活動營造一個極向上、充滿好奇與探索欲望的學習氛圍。此時，教師可以提問：“運動員獲得冠軍的成績和年份之間有怎樣的數(shù)量關系？同學們是如何根據(jù)已有數(shù)據(jù)預測2012年倫敦奧運會時男子400m 自由泳項目的冠軍成績？”啟迪學生從現(xiàn)實情境中識別數(shù)學問題，鼓勵學生運用數(shù)學知識探索解決問題的方案，培養(yǎng)學生數(shù)學建模的意識和能力。

三、探究新知 深化理解，提煉模型

（一）信息提取與變量識別

數(shù)學抽象是模型觀念的核心要素，要求學生剝離現(xiàn)實問題的非本質(zhì)屬性，提取關鍵變量。在信息提取與變量識別環(huán)節(jié)，教師的首要任務是引導學生用數(shù)學的眼光去觀察現(xiàn)實世界，以一種細致入微且富有耐心的態(tài)度去深入閱讀材料。這些材料包括詳盡的文字描述、直觀的數(shù)據(jù)圖表或是貼近生活的實際情境。學生在這一過程中，需要運用敏銳的觀察力和理解力，從紛繁復雜的信息中準確捕捉到那些對解決問題至關重要的關鍵信息。這些信息往往聚焦某些量的動態(tài)變化。例如，“一次函數(shù)模型的應用”一課教學情境中男子 400m 自由泳項目冠軍成績與年份數(shù)據(jù)表，構(gòu)成了數(shù)學問題中的核心要素。教師通過此數(shù)據(jù)表，引導學生識別時間 （x） 與成績（y），分析兩者間的線性相關性，完成從體育數(shù)據(jù)到數(shù)學變量的抽象轉(zhuǎn)化。通過這樣的細致分析和深入理解，學生能牢固掌握一次函數(shù)的基本概念，還能在實踐中培養(yǎng)信息提取能力、邏輯推理能力和數(shù)學建模意識。

（二）函數(shù)形式猜測與模擬

在信息提取與變量識別之后，“一次函數(shù)模型的應用”教學進入函數(shù)形式猜測與模擬的階段。這一階段的核心任務是引導學生通過觀察和分析數(shù)據(jù)點在坐標系中的整體分布，運用直觀想象和合情推理去猜測變量y與 x 之間可能存在的函數(shù)關系。這是一個既需要嚴謹邏輯又需要一定創(chuàng)造力的過程。學生需要仔細觀察數(shù)據(jù)點在坐標系中的分布情況，可能會注意到數(shù)據(jù)點呈現(xiàn)出直線分布的樣態(tài)?；谶@種線性狀態(tài)，學生猜測y與 x 之間可能存在一次函數(shù)關系。在此基礎上，教師選擇一次函數(shù) y=kx+b 作為初步的數(shù)學模型進行模擬，指導學生探索數(shù)據(jù)背后的數(shù)學規(guī)律。

（三）小組合作求解與驗證

在小組合作求解與驗證環(huán)節(jié)，學生被分成若干學習小組，運用已經(jīng)掌握的一次函數(shù)知識，協(xié)作完成一次函數(shù)解析式的推導過程。這一過程既考驗學生的一次函數(shù)知識掌握程度，也培養(yǎng)了學生的團隊協(xié)作和分工合作能力。教師借助幾何畫板動態(tài)展示數(shù)據(jù)點與函數(shù)圖象的擬合過程，將抽象的斜率、截距參數(shù)轉(zhuǎn)化為視覺化反饋，幫助學生直觀理解模型優(yōu)化的數(shù)學邏輯。通過將數(shù)據(jù)點與函數(shù)圖象進行對比，學生能夠清晰地看到模型對數(shù)據(jù)點的擬合效果，從而確定了一次函數(shù)模型的準確性和適用性。這一環(huán)節(jié)的教學，加深了學生對一次函數(shù)知識的理解，培養(yǎng)了學生的問題解決能力和批判性思維能力。

（四）函數(shù)模型選擇與建模步驟總結(jié)

基于對數(shù)據(jù)特性和實際需求的分析，教師指導學生精選直線模型作為解決方案，并總結(jié)提煉出建立一次函數(shù)模型的系統(tǒng)步驟：數(shù)據(jù)收集一變量識別一函數(shù)模型猜測一模型求解與驗證。這一總結(jié)為學生提供了建立一次函數(shù)模型的清晰路徑（如圖2），也為學生后續(xù)參與數(shù)學建模活動提供了方法論指導[3]，培養(yǎng)學生系統(tǒng)性的數(shù)學建模思維，建立可遷移的問題解決框架。

在歸納總結(jié)環(huán)節(jié)，師生共同回顧并總結(jié)在構(gòu)建兩個變量之間函數(shù)模型時所需遵循的基本步驟，這些步驟包括但不限于數(shù)據(jù)的收集與預處理、變量的明確與識別、函數(shù)關系的初步判斷與形式猜測、模型參數(shù)的求解，以及通過圖形化工具進行的驗證等。在此過程中，教師強調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要性，即利用圖形直觀展現(xiàn)數(shù)據(jù)分布與函數(shù)關系，以及模型思想的應用，即如何根據(jù)具體問題抽象出數(shù)學模型并用以解決實際問題。通過這些數(shù)學思想方法的深入理解和靈活運用，學生能夠更好地掌握一次函數(shù)模型的構(gòu)建技巧，提升數(shù)學素養(yǎng)和問題解決能力。

四、學以致用 強化應用，提升技能

在學以致用環(huán)節(jié)，教師可以設計貼近學生實際生活背景的一次函數(shù)模型應用的練習題（如圖3），引導學生回溯一次函數(shù)的核心要素，強化學生對函數(shù)建模完整流程的系統(tǒng)認知與熟練掌握，切實達成強化學生數(shù)學應用意識的教學目標。學生在經(jīng)歷分析問題、建立模型和求解驗證的過程中，需要識別問題中的關鍵變量，建立它們之間的線性關系，并據(jù)此寫出相應的一次函數(shù)模型，培養(yǎng)了提取關鍵信息、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力。當學生學會運用所學知識解決實際問題時，知識便“活”了起來。

如圖，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指間的距離稱為指距。人體構(gòu)造學的研究成果表明，一般情況下人的指距 x和身高y成某種關系。【觀察與測量】某綜合實踐小組通過觀察與測量，得到下表數(shù)據(jù)：指距x/cm 19 20 21身高y/cm 151 160 169【探究發(fā)現(xiàn)】觀察上表數(shù)據(jù)，請求出身高y與指距x之間的函數(shù)表達式。【結(jié)論應用】應用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：（1）當指距為23cm時，身高為 _cm。（2）根據(jù)你的身高，求出指距。

本題聚焦函數(shù)關系的構(gòu)建與實際情境的應用，借助指距和身高的關系引入問題任務。在探究發(fā)現(xiàn)這一關鍵環(huán)節(jié)，學生假設身高變量y與指距變量 x 之間滿足一次函數(shù)關系，將其表達式設定為 y=kx+b ，接著將所采集的數(shù)據(jù)代入該表達式構(gòu)建方程組并求解，從而確定函數(shù)表達式為 y=9x-20 ，并通過代入其余數(shù)據(jù)進行驗證以確保其準確性。在結(jié)論應用環(huán)節(jié)，當給定指距為 23cm 時，學生將其代入上述函數(shù)表達式，可準確得出身高為 187cm ；在依據(jù)個人實際身高 y₀ 求解指距時，學生可通過方程 進行計算。在此過程中，學生體驗到數(shù)學模型的強大功能，培養(yǎng)了數(shù)學建模能力和問題解決能力，增強了運用數(shù)學知識解決實際問題的信心。在學以致用環(huán)節(jié)，部分學生可能面臨理解、識別關鍵變量和建立函數(shù)關系等困難。為此，教師應加強基礎知識教學，增加實踐環(huán)節(jié)和案例分析，同時鼓勵學生互助學習，以小組合作的形式共同解決建模難題，幫助學生更好地掌握一次函數(shù)模型的應用，提升數(shù)學建模和問題解決能力。

五、總結(jié)反思 凝練方法，回顧收獲

在數(shù)學建模過程中，從對問題的理解、模型的假設，到模型的建立與求解，每個步驟都蘊含相應的方法。通過回顧整個建模歷程，學生能清晰地看到自已在知識遷移運用、思維拓展等方面所取得的收獲，進而凝練出有效的建模方法；通過總結(jié)反思，學生可以發(fā)現(xiàn)自身存在的不足，明確改進方向，為后續(xù)更高效地開展數(shù)學建模學習積累經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)與數(shù)學應用能力的持續(xù)提升。

在“一次函數(shù)模型的應用”課堂總結(jié)反思環(huán)節(jié)，教師采用思維導圖這一直觀且高效的方式進行課堂小結(jié)，展示了本課的核心內(nèi)容（如圖4）。思維導圖以一次函數(shù)模型應用為中心，向外輻射出多個分支，包括函數(shù)建模的基本概念、建立步驟、應用實例以及調(diào)整參數(shù)解決實際問題的方法等關鍵要素。這種展示形式能幫助學生清晰地梳理本課知識脈絡，從而更好地消化和吸收所學內(nèi)容。此外，教師還鼓勵學生將本課所學的知識和方法運用到日常生活中去，嘗試用數(shù)學的眼光去觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維去思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言去描述現(xiàn)實世界。通過這樣的實踐，學生能夠進一步鞏固所學知識，在實踐中不斷提升數(shù)學建模能力和問題解決能力。

從現(xiàn)實生活中的具體情境抽象出數(shù)學問題建立兩個變量間的函數(shù)模型次函數(shù)模型的應用確定函數(shù)形式并用待定系數(shù)法求出具體的函數(shù)表達式應用函數(shù)模型解決問題

綜上所述，在初中數(shù)學建模教學過程中，教師通過創(chuàng)設豐富多樣且貼合生活實際的問題情境，成功激發(fā)了學生的數(shù)學學習興趣與探究熱情，促使學生靈活運用數(shù)學工具去剖析和解決生活中的實際問題，使學生體會到數(shù)學的應用價值。通過“一次函數(shù)模型的應用”的學習，學生經(jīng)歷了從問題分析、模型構(gòu)建到求解驗證的學習過程，加深了對數(shù)學知識的理解與掌握，認識到數(shù)學不僅是書本上的知識，更是解決實際問題的重要工具。這種認識將激勵學生在未來的學習和生活中，更加主動地運用數(shù)學知識去分析和解決實際問題，持續(xù)提升自身的數(shù)學素養(yǎng)和綜合能力。

參考文獻

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注：本文系廣西教育科學“十四五”規(guī)劃2024年度專項課題“基于典型經(jīng)驗的縣域中小學教師專業(yè)發(fā)展成效評估與模式優(yōu)化研究”（2024ZJY173）的階段研究成果。

（責編韋榕峰）