初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略研究

數(shù)學(xué)建模能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系的重要組成部分，在學(xué)科育人中具有重要價(jià)值。在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，學(xué)生需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)據(jù)分析能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、直觀想象能力。當(dāng)前，初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)仍存在實(shí)施困境，主要表現(xiàn)在以下方面。其一，建模情境失真，脫離學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平，削弱建模教育的積極作用。其二，建模環(huán)節(jié)碎片化，破壞建模流程的系統(tǒng)性，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)思維鏈條斷裂。這些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題制約學(xué)生建模能力的培養(yǎng)。因此，深入研究在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要性

（一）提高學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的抽象，通過(guò)對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系?，F(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題比較復(fù)雜，通常涉及多個(gè)變量或者單個(gè)關(guān)鍵因素動(dòng)態(tài)變化的情形。數(shù)學(xué)建模能力能幫助學(xué)生在面對(duì)這些問(wèn)題時(shí)，通過(guò)系統(tǒng)分析，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而找到解決方案。比如，在分析奶茶店日利潤(rùn)時(shí)，需要先篩選關(guān)鍵因素，如定價(jià)、成本、銷(xiāo)量等，剔除天氣等次要變量；再用一次函數(shù)構(gòu)建利潤(rùn)模型，將抽象的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的決策工具。通過(guò)這種數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，學(xué)生能夠逐步提高解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。

（二）培育學(xué)生高階思維

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象概念的理解不深，易陷入“公式套用”的慣性思維，而建模任務(wù)的開(kāi)放性情境可打破這一思維局限。第一，學(xué)生需要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，在這一過(guò)程中需要運(yùn)用分析、比較和歸納等批判性思維；第二，在建立模型的過(guò)程中學(xué)生需要綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何等多領(lǐng)域知識(shí)，這能夠促進(jìn)學(xué)生提高知識(shí)整合能力；第三，模型驗(yàn)證與優(yōu)化環(huán)節(jié)要求學(xué)生通過(guò)邏輯推理檢驗(yàn)假設(shè)、修正方案，這可以培養(yǎng)學(xué)生的反思能力與決策能力。這些能力共同構(gòu)成高階思維的核心要素，使學(xué)生從被動(dòng)解題轉(zhuǎn)向主動(dòng)構(gòu)建高階思維框架，為應(yīng)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。

（三）提高學(xué)生的創(chuàng)新與實(shí)踐能力

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模能夠使學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并求解。這一過(guò)程具有創(chuàng)新性與實(shí)踐性。在建模過(guò)程中，學(xué)生需要完整經(jīng)歷“問(wèn)題抽象一模型構(gòu)建一驗(yàn)證優(yōu)化”的環(huán)節(jié)，主動(dòng)整合知識(shí)、探索策略及反思改進(jìn)。例如，在“設(shè)計(jì)最優(yōu)交通路線(xiàn)”任務(wù)中，學(xué)生需要先調(diào)查路口的車(chē)流量（數(shù)據(jù)收集），用一次函數(shù)模擬不同時(shí)段的車(chē)速變化（模型建立），再通過(guò)調(diào)整變量（如紅綠燈時(shí)長(zhǎng)）驗(yàn)證方案可行性。這一過(guò)程不僅能夠鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，還能夠激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決復(fù)雜問(wèn)題的意識(shí)，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新與實(shí)踐能力。

二、初中階段數(shù)學(xué)建模的思想與定位

教師需要培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)思維思考世界”的底層思維，將抽象符號(hào)與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)，為學(xué)生深化模型思想與解決復(fù)雜問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。因此，初中階段數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)應(yīng)立足基礎(chǔ)性與啟蒙性，以發(fā)展學(xué)生的模型觀念為核心目標(biāo)。其內(nèi)核在于引導(dǎo)學(xué)生從生活情境中抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題一模型構(gòu)建一驗(yàn)證優(yōu)化”的完整思維過(guò)程，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維與實(shí)踐應(yīng)用意識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，教師需要注重階梯式任務(wù)設(shè)計(jì)，通過(guò)簡(jiǎn)化問(wèn)題案例幫助學(xué)生掌握變量提取、關(guān)系梳理等基礎(chǔ)建模方法，避免過(guò)度追求模型復(fù)雜度，導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣。

數(shù)學(xué)建模的課程定位應(yīng)兼具工具價(jià)值與育人功能，在新課標(biāo)框架下發(fā)揮承上啟下的作用。教師在定位上不宜過(guò)度強(qiáng)調(diào)競(jìng)賽導(dǎo)向的專(zhuān)業(yè)建模，而應(yīng)聚焦日常情境的數(shù)學(xué)解讀，如消費(fèi)決策、數(shù)據(jù)圖表分析等，使建模過(guò)程成為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)興趣、創(chuàng)新意識(shí)的實(shí)踐平臺(tái)，最終實(shí)現(xiàn)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”的素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)。

三、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略

綜合考慮學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)建模的思想定位及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，教師在建模教學(xué)中可采取“情境驅(qū)動(dòng)一分階段訓(xùn)練一多元評(píng)價(jià)”策略，讓學(xué)生在探究中體會(huì)建模的工具性與創(chuàng)造性。此外，教師需要淡化建模的形式化步驟，重點(diǎn)強(qiáng)化模型思維的遷移，借助多元評(píng)價(jià)反饋幫助學(xué)生理解“數(shù)學(xué)有用”。

（一）從生活情境出發(fā)，創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題

教師從生活情境出發(fā)創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題，能夠有效激活學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，使抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為可感知的現(xiàn)實(shí)對(duì)象。教師需要選擇學(xué)生熟悉的、貼近生活的真實(shí)情境，以激發(fā)學(xué)生的建模興趣[1]。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)把握三個(gè)關(guān)鍵原則。第一，選擇學(xué)生能夠理解的生活場(chǎng)景；第二，注意知識(shí)的銜接性，提前梳理與教材知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的生活問(wèn)題，確保數(shù)學(xué)工具與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的適配性；第三，注意難度循序漸進(jìn)，從單一變量的基礎(chǔ)問(wèn)題入手逐步過(guò)渡到多變量的問(wèn)題，同時(shí)避免復(fù)雜計(jì)算。

七年級(jí)常見(jiàn)的優(yōu)化建模問(wèn)題，可作為一元一次方程和不等式結(jié)合的典型案例。以文具購(gòu)買(mǎi)方案設(shè)計(jì)為例。教師可以設(shè)定生活場(chǎng)景：班級(jí)用100元班費(fèi)購(gòu)買(mǎi)筆記本和鋼筆獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生，筆記本5元1本，鋼筆8元1支，要求至少購(gòu)買(mǎi)10本筆記本，如何購(gòu)買(mǎi)數(shù)量最多？

以下為建模過(guò)程。第一步，使問(wèn)題數(shù)學(xué)化：提取關(guān)鍵數(shù)據(jù)，預(yù)算100元，筆記本單價(jià)5元，鋼筆單價(jià)8元，筆記本數(shù)量 ≥10 本；分析問(wèn)題變量，設(shè)筆記本數(shù)量為x本，鋼筆數(shù)量為y支。第二步，建立模型：?jiǎn)栴}約束條件，即 5x+8y≤100 元， x≥10 ；問(wèn)題的目標(biāo)，即求 x+y 的最大值。第三步，求解與驗(yàn)證：當(dāng) _x=10 時(shí)，剩余預(yù)算50元，對(duì)應(yīng) γ=6 ，總數(shù) ：=16 ；當(dāng) _x=12 時(shí)，剩余預(yù)算40元，對(duì)應(yīng) _y=5 ，總數(shù) ：=17 . x 繼續(xù)增加至14時(shí)，預(yù)算僅余30元，無(wú)法整除鋼筆單價(jià)，證明 _x=12 ， y=5 為最優(yōu)解。

該案例通過(guò)直觀演示預(yù)算耗盡原則，讓學(xué)生理解不等式約束的實(shí)際意義，體會(huì)邊界值對(duì)問(wèn)題解的限定作用，并讓學(xué)生掌握整數(shù)解情境下的臨界分析，為后續(xù)更復(fù)雜的線(xiàn)性規(guī)劃學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（二）分階段訓(xùn)練建模能力

1.初級(jí)階段

數(shù)學(xué)建模初級(jí)階段在學(xué)段上主要對(duì)應(yīng)七年級(jí)，主要目標(biāo)是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如方程、不等式、圖表等，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，教師需要簡(jiǎn)化問(wèn)題結(jié)構(gòu)，突出關(guān)鍵要素，通過(guò)“關(guān)鍵詞提取 .+ 表格輔助”的方法降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，讓學(xué)生逐步構(gòu)建“現(xiàn)實(shí)情境 $$ 數(shù)學(xué)模型”的模型觀念。

以七年級(jí)一元一次不等式、分段函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)為例。教師可以創(chuàng)設(shè)生活情境：某公園門(mén)票5元/人，團(tuán)體票20人以上4元/人，如何購(gòu)票最省錢(qián)？

以下為建模步驟分解。第一步，提取關(guān)鍵詞：“最省錢(qián)”指的是需要比較不同方案的總費(fèi)用；“20人以上”是團(tuán)體票的條件即人數(shù)的分界點(diǎn)。第二步，定義問(wèn)題變量：設(shè)人數(shù)為x，總費(fèi)用為y。第三步，數(shù)學(xué)化表達(dá)：構(gòu)建分段函數(shù)模型y

關(guān)鍵問(wèn)題討論：為什么不能直接認(rèn)為“ x?20 一定更省錢(qián)”？

舉例：當(dāng)人數(shù)為19人時(shí)，若購(gòu)買(mǎi)團(tuán)體票，則總費(fèi)用為 4×20=80 元，比19人單獨(dú)購(gòu)票 5×19=95 元更便宜。

該案例生動(dòng)展現(xiàn)分段函數(shù)在實(shí)際決策中的應(yīng)用價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生突破慣性思維，培養(yǎng)臨界分析能力和優(yōu)化意識(shí)，符合七年級(jí)學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過(guò)渡的認(rèn)知發(fā)展需求。

2.中級(jí)階段

八年級(jí)建模教學(xué)著重引導(dǎo)學(xué)生掌握模型假設(shè)與合理簡(jiǎn)化，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模的基本步驟。其中理解“合理簡(jiǎn)化”是建模的關(guān)鍵，學(xué)生需要學(xué)會(huì)在保持問(wèn)題核心特征的前提下忽略次要因素。為達(dá)成這一教學(xué)目標(biāo)，教師可以通過(guò)“對(duì)比假設(shè)差異 + 討論簡(jiǎn)化合理性”的方法實(shí)施教學(xué)。

以八年級(jí)一次函數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)點(diǎn)為例。教師可以創(chuàng)設(shè)生活情境：小紅從家到學(xué)校1.5千米，步行速度約1.2米/秒，途中需要等待2個(gè)紅綠燈，每個(gè)紅燈最多等1分鐘。她至少需要提前多少分鐘出發(fā)才能不遲到？

以下為建模步驟分解。第一步，提出假設(shè)：簡(jiǎn)化條件，假設(shè)步行速度恒定，忽略加速、減速因素，設(shè)步行速度恒定為1.2米/秒；假設(shè)紅燈等待時(shí)間為最大值，每個(gè)紅燈60秒，共120秒。第二步，建立模型：路程 ：=1500 米，速度 =1.2 米/秒，時(shí)間 ∣= 路程÷速度 =1500÷1.2=1250 秒 ≈20.8 分鐘；總時(shí)間 = 步行時(shí)間+ 紅燈等待時(shí)間 分鐘；因此，至少提前23分鐘出發(fā)。第三步，對(duì)比真實(shí)情況：在實(shí)際中，紅燈等待時(shí)間可能更短，若平均等待30秒/次，總時(shí)間 分鐘，但“最長(zhǎng)等待時(shí)間”是確保不遲到，需要按最壞的情況進(jìn)行計(jì)算。

3.高級(jí)階段

九年級(jí)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)重點(diǎn)是訓(xùn)練學(xué)生使用數(shù)學(xué)建模解決復(fù)雜問(wèn)題，培養(yǎng)其創(chuàng)新思維。教師可以通過(guò)“多工具求解 + 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”的方式，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化模型的創(chuàng)新思維。教學(xué)過(guò)程可以圍繞“假設(shè)一建模一驗(yàn)證一修正”展開(kāi)，強(qiáng)調(diào)多角度驗(yàn)證。學(xué)生在對(duì)比不同工具生成的數(shù)據(jù)時(shí)，既能夠理解理論推導(dǎo)與實(shí)際操作的關(guān)聯(lián)性，又能夠掌握通過(guò)數(shù)據(jù)差異反思模型缺陷的方法，從而提升科學(xué)驗(yàn)證的嚴(yán)謹(jǐn)性。

以紙船承重挑戰(zhàn)的問(wèn)題為例。首先，教師可以基于物理原理引導(dǎo)學(xué)生建立核心假設(shè)一一船底面積與承重正相關(guān)，船體高度制約穩(wěn)定性，進(jìn)而抽象長(zhǎng)為a、寬為b的矩形船體幾何模型。其次，教師可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系阿基米德原理，推導(dǎo)浮力計(jì)算公式，建立船體承重能力與長(zhǎng)寬高的二次函數(shù)關(guān)系。再次，教師可以引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，采用對(duì)照實(shí)驗(yàn)法，分組制作底面長(zhǎng)寬比分別為1：1、2：1、3：1的紙船，通過(guò)逐次加載硬幣記錄沉沒(méi)臨界值，并借助Excel建立變量關(guān)系數(shù)據(jù)表，將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與模型函數(shù)曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比。最后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析，反推最優(yōu)船體比例，完整呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的實(shí)證研究模式。

（三）滲透建模思想的日常教學(xué)技巧

1.課堂提問(wèn)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)是指教師通過(guò)指向性提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，識(shí)別關(guān)鍵變量并建立初步模型。其目的在于培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)化思考”的習(xí)慣，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)工具描述問(wèn)題現(xiàn)象。學(xué)生處于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體運(yùn)算到形式運(yùn)算的過(guò)渡期，因此教師需要借助課堂提問(wèn)搭建建模思維腳手架。

在課堂中，教師應(yīng)當(dāng)選取生活化錨點(diǎn)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，如零花錢(qián)管理、運(yùn)動(dòng)成績(jī)等學(xué)生身邊的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在具象問(wèn)題與抽象符號(hào)之間建立聯(lián)系，既要幫助學(xué)生識(shí)別關(guān)鍵變量形成數(shù)學(xué)表達(dá)式，又要滲透數(shù)學(xué)工具的選擇意識(shí)，從而讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中逐步形成數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng)思維。這種雙角度的課堂設(shè)計(jì)既符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展階段特征，又能夠有效培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具描述現(xiàn)象的核心素養(yǎng)。

2.作業(yè)設(shè)計(jì)

日常的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)以真實(shí)生活情境為載體，通過(guò)“分析一假設(shè)一建模一驗(yàn)證”的完整任務(wù)流程，配合教師提供的結(jié)構(gòu)化任務(wù)清單分步指引，促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模思維。教師在設(shè)計(jì)層面需要雙軌并進(jìn)，提供“問(wèn)題分析模板”以降低學(xué)生畏難情緒；每節(jié)新課至少設(shè)計(jì)1個(gè)建模導(dǎo)向問(wèn)題，每月至少設(shè)計(jì)1個(gè)開(kāi)放式建模任務(wù)。如此，將建模思維訓(xùn)練分解到日常教學(xué)環(huán)節(jié)，能夠使學(xué)生自然形成“問(wèn)題 $$ 模型 $$ 應(yīng)用”的思維閉環(huán)。

（四）信息技術(shù)工具輔助建模

使用Excel圖表可以使數(shù)學(xué)建模直觀可視化，降低學(xué)生理解的難度；同時(shí)，可以快速處理多組數(shù)據(jù)，避免手工計(jì)算的錯(cuò)誤，節(jié)省大量時(shí)間，提高建模效率。比如，Excel圖表的聯(lián)動(dòng)功能可以使數(shù)據(jù)變化實(shí)時(shí)反映在圖表中，幫助學(xué)生理解變量關(guān)系。

（五）小組合作與展示評(píng)價(jià)

小組合作能夠促進(jìn)學(xué)生多角度分析問(wèn)題、互補(bǔ)思維差異，在分工協(xié)作中提高綜合建模能力。展示評(píng)價(jià)能夠讓學(xué)生激發(fā)反思優(yōu)化意識(shí)，強(qiáng)化實(shí)踐應(yīng)用思維與批判性思維。通過(guò)系統(tǒng)實(shí)施小組合作與展示評(píng)價(jià)，學(xué)生不僅能夠掌握數(shù)學(xué)建模技能，還能夠發(fā)展批判性思維、團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力、跨媒介表達(dá)能力，這正是新課標(biāo)“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察、會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考、會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)）目標(biāo)的生動(dòng)實(shí)踐。

結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，是落實(shí)新課標(biāo)核心素養(yǎng)要求、促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要路徑。實(shí)踐表明，基于生活情境的真實(shí)問(wèn)題解決、符合認(rèn)知階梯的分層訓(xùn)練及信息技術(shù)的深度融合，能夠顯著發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新實(shí)踐能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1］馮軍.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略與實(shí)踐探索[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2025（10）：66-69.