中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的價值與路徑

隨著《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進中小學(xué)課程教材指南》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的實行，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化（以下簡稱“傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化”）的學(xué)習(xí)和弘揚受到廣泛的重視。很多一線教師在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融人數(shù)學(xué)教學(xué)方面做了有效的嘗試，但目前的教學(xué)實踐仍以單課時為主，缺少基于單元整體視角的教學(xué)設(shè)計、組織與實施，不利于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化教育教學(xué)價值的充分體現(xiàn)。在新課標強調(diào)學(xué)生核心素養(yǎng)整體性發(fā)展的背景下，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在單元整體教學(xué)的設(shè)計與實施方面具有怎樣的獨特價值？怎樣的研究路徑能更充分地發(fā)揮傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在單元整體教學(xué)中的價值？思考并解決以上問題，將有助于發(fā)揮傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化和單元整體教學(xué)的育人價值。

一、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在單元整體教學(xué)中的價值

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有機融人數(shù)學(xué)課程教學(xué)，需要高度關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的固有特點與價值意蘊，盡可能在數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中合理地融入中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，最終實現(xiàn)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的育人價值。①傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化具有內(nèi)容齊全、脈絡(luò)清晰、知識豐富、方法多樣、思想深刻、體系完備等特點。將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化運用于單元整體教學(xué)活動中，較之于單課時教學(xué)價值更為明顯。

1.提供整體視角

單元整體教學(xué)的目的和優(yōu)勢在于克服孤立化、淺表化的缺點，以整體性、結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)活動促進學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。整體性的活動設(shè)計并不能憑空產(chǎn)生，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化是教師全面理解和準確把握教學(xué)內(nèi)容的重要途徑。相較于單課時而言，與單元內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史料相對較多且可能具有一定的發(fā)展脈絡(luò)，史料的豐富性有助于教學(xué)的整體設(shè)計。[2基于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的單元教學(xué)能夠?qū)崿F(xiàn)整體大于部分之和的效果。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化促進整體性理解的例子比比皆是。例如，劉徽在為《九章算術(shù)》中的“方田章”的各種平面圖形面積計算方法做注時，頻繁使用“以盈補虛”（即“出入相補”原理）對這些圖形的轉(zhuǎn)化過程進行解釋，并將多邊形的面積計算公式同化為最基礎(chǔ)的長方形面積公式“廣從相乘”。教師引導(dǎo)學(xué)生對“出入相補”原理進行理解和運用，有助于學(xué)生整體認識各種多邊形面積計算公式之間的關(guān)系，使學(xué)生進一步加深對圖形面積“有限可加性”和“運動不變性”的理解，進而從平面圖形面積二維屬性的角度對所學(xué)圖形形成整體認知。

2.聚焦核心問題

在單元整體教學(xué)中，核心問題的作用至關(guān)重要，它揭示了一類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并貫穿于一個單元乃至一類問題學(xué)習(xí)的始終。抓住核心問題，就能切中要害，達到提綱挈領(lǐng)的效果，使整個單元的教學(xué)難點迎刃而解。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在漫長的發(fā)生、發(fā)展、鞏固、應(yīng)用的過程中去粗取精、不斷完善。在此過程中，數(shù)學(xué)問題的表象逐漸剝離，本質(zhì)逐漸清晰。這個過程對師生雙方都具有啟發(fā)意義，比如能克服常見的主次不分、舍本逐末的弊端，能從中獲得問題研究的視角、思路和方案等。

以“圓”單元為例，從現(xiàn)有的各版本數(shù)學(xué)教材編排情況來看，很難找到貫穿各教學(xué)內(nèi)容的核心問題。但仔細分析《九章算術(shù)》劉徽注中證明圓面積公式的方法、步驟和結(jié)論，就容易發(fā)現(xiàn)與圓有關(guān)的核心問題是“正多邊形與圓之間如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化”。正多邊形逐步向圓轉(zhuǎn)化的過程以及這兩種圖形之間的類比關(guān)系，有助于理解和把握圓的要素和特征；正多邊形的周長與對角線長的比值，是研究圓周率的起點與必經(jīng)之路；正多邊形的轉(zhuǎn)化和面積計算，可以為圓的面積公式探究提供方向和方法（如圖1）。因此，這個核心問題的解決，可以為圓的特征、周長和面積的研究提供共同的方法支持和事實依據(jù)。

3.完善認知結(jié)構(gòu)

新課標在教學(xué)建議中指出，在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系。[3這就要求教師必須以結(jié)構(gòu)化的視角來看待教學(xué)內(nèi)容，并通過恰當?shù)膶W(xué)習(xí)活動，使學(xué)生逐步形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)眼光，從而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師通過整合傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中與小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的內(nèi)容，特別是能體現(xiàn)整體性、結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容，將其轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動，可以有效地幫助學(xué)生梳理已有知識，形成結(jié)構(gòu)化認知。

在“多邊形的面積”單元中，教師可以借助已有的長方形面積計算方法，以《九章算術(shù)》“方田章”劉徽注中的“以盈補虛為直田”策略為線索，根據(jù)三角形、梯形兩者特點及其與長方形的形狀關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為長方形并推導(dǎo)出兩者的面積公式，并以《九章算術(shù)》中的“圭田術(shù)”“邪田術(shù)”“箕田術(shù)”等加以印證。同時，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中沒有提及的平行四邊形面積公式，也可以借助認知結(jié)構(gòu)遷移得到。當然，在積極探索傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入單元整體教學(xué)的過程中，也不排斥其他數(shù)學(xué)文化的介入。如在三角形面積學(xué)習(xí)的過程中，可以結(jié)合具體的問題理解《幾何原本》中的“等底等高”命題，在平行四邊形、梯形的面積探究過程中可以運用該命題探索新的轉(zhuǎn)化路徑，形成新的認知結(jié)構(gòu)等。

二、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化支持下的單元整體教學(xué)路徑

為了更好地發(fā)揮傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中獨有的價值，體現(xiàn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的特征，結(jié)合單元整體教學(xué)的目標追求，融入傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的單元整體教學(xué)研究基本路徑應(yīng)包括搜集與整理、篩選與解讀、分析與關(guān)聯(lián)、設(shè)計與融合、實施與評價等。本文以有關(guān)“圓”的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化素材與小學(xué)數(shù)學(xué)“圓”單元整體教學(xué)的融合為例，介紹上述路徑的實施過程。

圖1以“正多邊形與圓之間如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化”為核心問題的教學(xué)內(nèi)容分析

1.搜集與整理，建立豐富合理的資源庫

對于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化素材的搜集，首先是從數(shù)學(xué)史著作入手，全面搜羅相關(guān)數(shù)學(xué)史料，擴大認知廣度；其次是閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)專著，有針對性地搜集數(shù)學(xué)家們深入研究過的內(nèi)容，增強理解深度；再次是借助歷史文物和考古發(fā)現(xiàn)等，與文字材料相互印證，提升數(shù)學(xué)史料的可信度。在搜集數(shù)學(xué)史料的過程中，應(yīng)遵循“以我為主，兼收并蓄”的原則。多元文化進課堂，能使學(xué)生在古今對照、中外對比中，更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更多地了解世界文化，更好地感悟傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的獨特魅力。[4]因此，在搜集到相關(guān)的資料之后，還應(yīng)該根據(jù)歷史序、邏輯序和認知序?qū)ζ溥M行整理，并努力促使三序的有機融合與協(xié)調(diào)統(tǒng)一。首先，整理出數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生、發(fā)展順序，便于了解和掌握其來龍去脈；其次，以現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光重新審視數(shù)學(xué)史料，避免出現(xiàn)邏輯不通、循環(huán)論證等問題；最后，按照學(xué)生的認知水平和認知順序進行整理，使數(shù)學(xué)史料更加貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

在對“圓”的相關(guān)數(shù)學(xué)史料進行搜集的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，“圓”是日常生活和數(shù)學(xué)研究中的重要對象，一般的數(shù)學(xué)史著作中都會提及圓的研究起源、發(fā)展、應(yīng)用等，以及其中的關(guān)鍵節(jié)點和重要人物，這些內(nèi)容是廣泛了解圓全貌的重要途徑?！毒耪滤阈g(shù)》中的“圓田術(shù)”及其劉徽注，是認識圓的面積、圓的周長、圓周率、割圓術(shù)及其包含的極限思想的重要載體，有助于學(xué)生深入體會學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)。教師通過考古出土的陶碗、玉琮、玉璧等實物，將其作為數(shù)學(xué)史發(fā)展的見證，與相關(guān)的文本材料相互佐證，能使數(shù)學(xué)史料更加可信，同時能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在有關(guān)“圓”的數(shù)學(xué)史料整理時，需要注意幾點：一是劉徽從正六邊形入手研究圓面積并實現(xiàn)了方與圓的轉(zhuǎn)化，學(xué)生也認為學(xué)習(xí)了三角形和四邊形之后應(yīng)該學(xué)習(xí)正五邊形、正六邊形，這體現(xiàn)了歷史序與認知序的統(tǒng)一，也從一定程度上證實了歷史相似性原理的存在；二是很早以前，人們很難通過粗略的圓周率來精確地計算圓的面積，因此，劉徽通過“割圓術(shù)”實現(xiàn)以直代曲，并用勾股定理計算正多邊形的邊長，再進一步轉(zhuǎn)化并計算正多邊形的面積（圓的近似面積），最后求出更加精確的圓周率。這與我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了精確的圓周率并根據(jù)圓的周長和半徑推導(dǎo)出圓面積公式的順序是不同的。在整理這些史料時，教師應(yīng)在尊重學(xué)生已有認知的基礎(chǔ)上進行辯證地分析。

2.篩選與解讀，構(gòu)建聯(lián)系緊密的關(guān)系網(wǎng)

從單課時的角度而言，前期搜集到的素材都有其特定的價值，如創(chuàng)設(shè)情境、提供素材、鋪設(shè)路徑、拓寬思路、增強體驗等，但對于單元整體而言，有些素材與單元核心問題的關(guān)系比較松散。為了突出傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化元素的核心價值，避免喧賓奪主，教師需要圍繞單元主線篩選出最為重要的素材。在篩選的過程中，應(yīng)以弱枝強干為目的，兼顧同一主題下古今中外的不同素材。同時，由于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的部分內(nèi)容較為隱晦、復(fù)雜，為達到預(yù)期的教學(xué)效果，教師需要確保自身對其中包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容及其本質(zhì)的理解準確無誤。因此，教師應(yīng)對篩選得到的素材進行解讀，使其恰當?shù)匕l(fā)揮應(yīng)有的作用。素材的解讀一方面是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的語句進行翻譯和補充，使其便于學(xué)生理解；另一方面則是通過古今中外的對比，使傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的知識技能、思想方法更易于被學(xué)生接受。

研究發(fā)現(xiàn)，“圓”單元的相關(guān)素材應(yīng)圍繞“正多邊形與圓之間如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化”這一核心問題，結(jié)合圓的特征、周長與面積等主要內(nèi)容，進行篩選與解讀。比如，教師可以選擇傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的“圓出于方”“一中同長”“周三徑一”“割圓術(shù)”等作為主要的素材。其中，“圓出于方”是中國古代關(guān)于方圓之間關(guān)系的思想；“一中同長”是《墨經(jīng)》中記載的圓的定義；“周三徑一”作為圓周長與直徑比值的粗略結(jié)果，實際是正六邊形的周長與對角線長的比值；“割圓術(shù)”是劉徽運用極限思想以直代曲以證明圓面積公式的具體操作方法。這些素材與教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標的有機結(jié)合，將會有效地提升學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。

3.分析與關(guān)聯(lián)，繪制主線明晰的結(jié)構(gòu)圖

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與學(xué)生之間存在一定的距離，教師用于教學(xué)前需要做適當?shù)姆治?。一是對學(xué)情的分析，主要包括學(xué)生對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的理解、接受程度等。二是對教學(xué)內(nèi)容的分析，如傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化是否能與教材內(nèi)容兼容，需要做哪些調(diào)整與鋪墊等。在分析的基礎(chǔ)上，應(yīng)充分考慮傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化浸潤、教學(xué)目標達成、學(xué)生能力發(fā)展之間的關(guān)系，明確所選的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在教學(xué)過程中能發(fā)揮的作用，在各司其職的基礎(chǔ)上形成有效的結(jié)構(gòu)。

調(diào)查顯示，學(xué)生普遍認為圓與多邊形最大的區(qū)別是“圓的邊不是直的，沒有角”，這說明學(xué)生只關(guān)注了圓的表象以及與多邊形的差異。這將會在圓的特征、周長和面積等學(xué)習(xí)過程中形成一定的障礙。因此，正確、合理地將圓與已知多邊形建立聯(lián)系顯得尤為重要。在劉徽的研究中，正六邊形作為“割圓術(shù)”的起點，對圓的周長、面積的研究具有重要意義。教師可以對劉徽研究過程進行分析，整合其他相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，在教材的基礎(chǔ)上，按照歷史序、邏輯序與認知序進行重組，以正六邊形為起點，對相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化資源進行整合，將正多邊形、圓的特征、圓的周長、圓的面積四個內(nèi)容作為一個學(xué)習(xí)單元開展整體教學(xué)設(shè)計與實施（如圖2）。

4.設(shè)計與融合，形成目標明確的任務(wù)群

一線教師要加強歷史研究，解析數(shù)學(xué)史料，提升數(shù)學(xué)專業(yè)知識，同時基于教學(xué)實踐，提升教學(xué)內(nèi)容，促進數(shù)學(xué)史自然地融入數(shù)學(xué)教學(xué)。5單元整體教學(xué)活動的設(shè)計，不僅應(yīng)關(guān)注課時目標的達成，更應(yīng)關(guān)注整體目標的落實。為此，活動的設(shè)計應(yīng)更具有整體性、連貫性，應(yīng)體現(xiàn)教學(xué)活動之間的呼應(yīng)與互通。同時，應(yīng)注意避免傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化游離于教學(xué)活動之外或僅作為點綴，而應(yīng)特別注重將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化由歷史形態(tài)、數(shù)學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育教學(xué)形態(tài)。教師通過學(xué)習(xí)活動的素材、路徑、方法等形式，使傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化成為教學(xué)活動的有機組成部分，構(gòu)建起單元整體教學(xué)的框架，形成目標明確的學(xué)習(xí)任務(wù)群，推動單元整體教學(xué)的進程?；谏鲜隹剂?，“圓”單元各課時活動設(shè)計如表1所示。

圖2傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與圓單元教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)

5.實施與評價，呈現(xiàn)多元立體的效果圖

單元整體教學(xué)活動應(yīng)著眼于學(xué)生核心素養(yǎng)的整體發(fā)展，不宜過于追求面面俱到。根據(jù)歷史相似性原理，當前學(xué)生面臨的學(xué)習(xí)難點也是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中被重點探討的問題，相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動和成果也更加豐富。在教學(xué)活動實施的過程中，教師應(yīng)給予學(xué)生更為充分的時間與空間，使學(xué)生借助傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，對學(xué)習(xí)重點與難點開展獨立思考、合作交流，通過比較、辨析、遷移等方式，得到更深層次的發(fā)展。在學(xué)習(xí)效果評價的過程中，也應(yīng)同時兼顧對知識技能、學(xué)習(xí)過程、思維發(fā)展、情感態(tài)度及文化素養(yǎng)等多方面的考查，全面、深刻地體現(xiàn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在單元整體教學(xué)實施中的影響和價值。

表1“圓”單元各課時主要教學(xué)活動設(shè)計

在“圓”單元整體教學(xué)實踐中，教師組織學(xué)生重點對如下活動展開深入的研究：正六邊形周長與對角線的倍數(shù)關(guān)系，正六邊形的不同轉(zhuǎn)化方法，正多邊形與圓的關(guān)系，以正多邊形為基礎(chǔ)畫圓，理解“一中同長”的含義，辨析“周三徑一”并探究正多邊形周長與對角線的比值，制訂圓的轉(zhuǎn)化方案，推導(dǎo)圓的面積公式等。學(xué)生經(jīng)歷目標定位合理、學(xué)習(xí)主線明確、重點內(nèi)容突出、認知結(jié)構(gòu)完善的學(xué)習(xí)研究過程，形成了對“圓”相關(guān)內(nèi)容及其背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法的深刻理解和準確把握。課后調(diào)查發(fā)現(xiàn)，通過融入傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的單元整體學(xué)習(xí)，學(xué)生認識到圓與正多邊形存在著許多共同點：圓與正多邊形都有中心點、直徑（對角線），圓與其內(nèi)接正多邊形的形狀、周長、面積都比較接近，正多邊形的邊數(shù)越多就越接近于圓。關(guān)于正多邊形的周長與對角線（或圓的周長與直徑）的比值， 83.33% 的學(xué)生能準確地說出其研究方法，能說明比值的變化趨勢與取值。關(guān)于正多邊形或圓的面積， 54.17% 的學(xué)生能找到它們的通用計算公式（周長 x 邊心距 ÷2 ）。對于圓的周長與面積的共同研究思路， 47.92% 的學(xué)生能從正多邊形與圓的關(guān)系進行思考，其中 39.58% 的學(xué)生提到了割圓術(shù)、以直代曲或極限思想。

三、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入單元整體教學(xué)引發(fā)的思考

融入傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的單元整體教學(xué)，不僅能夠切實提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，還為教師提供了專業(yè)發(fā)展的有效路徑。實踐表明，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融人單元整體教學(xué)，對師生雙方都產(chǎn)生了直接或間接的積極影響。

1.直接影響師生的數(shù)學(xué)教學(xué)行為

從教師的角度而言，教師通過這樣的研究、設(shè)計與實施，自身對單元整體教學(xué)的目標、路徑、方法等都有了新的認識，在如何應(yīng)用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化方法方面也積累了寶貴的經(jīng)驗。從學(xué)生的角度來看，伴隨著對數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化相對完整的學(xué)習(xí)探究經(jīng)歷，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)生動活潑的一面。在全面、持續(xù)、主動的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅掌握了知識技能，而且了解了知識技能發(fā)展背后的歷史動因，形成了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容更加深入的認識。

2.間接影響師生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念

基于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的單元整體教學(xué)實踐，一定程度上改變了師生雙方對數(shù)學(xué)本身以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的固有看法，師生認識到數(shù)學(xué)不是孤立的，而是一個持續(xù)迭代演變的整體。這個整體不僅是指數(shù)學(xué)知識之間存在著聯(lián)系，更是指數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容不但包括課本知識，更有豐富的數(shù)學(xué)歷史文化；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的場所并不局限于課堂，還有課外的廣闊天地；數(shù)學(xué)活動的形式也不僅僅是課堂上的師生問答，還包括豐富多樣的自主閱讀和實踐。這也提醒我們，對于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的挖掘與運用，現(xiàn)在所做的只是冰山一角，還有更多元的價值和更豐富的活動形式等著我們?nèi)ヌ剿髋c實踐。

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（責(zé)任編輯：羅小熒）