聚焦“一題”精研，賦能“一課”素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2025）23-0050-04

【作者簡(jiǎn)介】，江蘇省蘇州市第六中學(xué)校（江蘇蘇州，215001）教師，高級(jí)教師，蘇州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

近年來(lái)，高考命題堅(jiān)持素養(yǎng)立意，注重?cái)?shù)學(xué)的通性通法，綜合考查學(xué)生的“四基”“四能”。高三復(fù)習(xí)課往往采用專題復(fù)習(xí)模式，如何在專題復(fù)習(xí)中減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，更有效地提升學(xué)生的“四基\"和\"四能”，顯得尤為重要。因此，筆者嘗試探究“一題一課\"教學(xué)方式，以期更有效地提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

“一題一課\"是指通過(guò)對(duì)一個(gè)思維含量比較豐富的典型問(wèn)題進(jìn)行深入研究，挖掘其內(nèi)在的本質(zhì)，科學(xué)、合理、有效地開展數(shù)學(xué)探究教學(xué)活動(dòng)。這種探究教學(xué)，強(qiáng)調(diào)在“一課\"中完成“一題”，以一道經(jīng)典高考題或教材例題為母題，逐層深人開展一題多解、一題多變、一題多編、多題歸一等環(huán)節(jié)，由淺入深、由此及彼，提升學(xué)生思維的深度、廣度及靈活度，讓學(xué)生在主動(dòng)探索中掌握數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到\"學(xué)一題、會(huì)一類、通一片\"的學(xué)習(xí)效果。“一題一課\"以教師、學(xué)生、課堂為對(duì)象，可以從以下四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行組織教學(xué)探究（見(jiàn)圖1）。

橢圓中三角形的面積問(wèn)題是解析幾何與代數(shù)相結(jié)合的經(jīng)典題型，是高考解析幾何大題的常見(jiàn)考點(diǎn)，在天文學(xué)、光學(xué)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值。解決橢圓中三角形面積的最值問(wèn)題，能夠幫助學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等教學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。下面，筆者，詳細(xì)闡釋基于一題一課的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)。

一、一題多解，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

“一題一課\"教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是精選母題，母題應(yīng)具有基礎(chǔ)性（筑牢知識(shí)根基）通用性（題型模板，可衍生多種變式）典型性（聚焦高頻考點(diǎn)）和綜合性（培養(yǎng)綜合能力），因此教師可精選一道包含多個(gè)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的教材例題、例題改編題或高考題為母題。教學(xué)中，教師可以以母題為核心，通過(guò)一題多解，充分挖掘題目的多元價(jià)值，將不同章節(jié)、不同層面的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，從而幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)體系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

【母題（教材改編）】如圖2，已知橢圓 E y²=1 ，過(guò)左焦點(diǎn) F 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，若點(diǎn) P 是橢圓上任意一點(diǎn)，直線 l 的斜率為1，求ΔPAB 面積的最大值。

（圖2）

師：該問(wèn)題有幾種處理方法？

生：可從兩個(gè)角度分析，圖形的角度和計(jì)算的角度。

法一（幾何法）：以 AB 為底，將直線 AB 平移后與橢圓相切，切線到直線 AB 的距離即為高的最大值，將 ΔPAB 面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線與橢圓相切的問(wèn)題。

法二（代數(shù)法）：以 AB 為底，點(diǎn) P 到直線 AB 的距離為高，設(shè)點(diǎn) P（x₀，y₀） ，利用柯西不等式求最值。

法三（代數(shù)法）：以 AB 為底，點(diǎn) P 到直線 AB 的距離為高，設(shè)點(diǎn) P（acosθ，bsinθ） ，借助三角函數(shù)有界性，利用橢圓參數(shù)方程求解。

【設(shè)計(jì)意圖本題是對(duì)教材例題的改編，是定直線與動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積問(wèn)題。該題涉及多個(gè)模塊的核心知識(shí)點(diǎn)，包括橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程、三角形面積公式、三角函數(shù)、不等式的性質(zhì)等。通過(guò)一題多解，可以將不同方法與橢圓核心知識(shí)點(diǎn)、解題策略相關(guān)聯(lián)，從而幫助學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，加深對(duì)該類問(wèn)題的理解。

二、一題多變，促進(jìn)思維進(jìn)階

在學(xué)生掌握母題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)一步適當(dāng)改變母題的條件，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析與解決問(wèn)題。通過(guò)對(duì)母題的不斷變式，可以幫助學(xué)生突破思維的局限性，提升思維的深度和廣度，促進(jìn)學(xué)生思維不斷進(jìn)階。

【變題1】如圖3，已知橢圓 ，過(guò)左焦點(diǎn) F 的直線 l 交橢圓于 ^A，B 兩點(diǎn)，若點(diǎn) o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，求 ΔOAB 面積的最大值。

（圖3）

師：母題與變題1有什么區(qū)別？

生：母題是定直線與動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積問(wèn)題，本題是動(dòng)直線與定點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積問(wèn)題。

法一（代數(shù)法）：由于點(diǎn) F 的特殊性，首先要考慮直線AB斜率為0的情況，再設(shè) AB：x=my-1 ，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式即可求解。

法二（幾何法）：設(shè)線方法與法一一致，利用三角形面積公式一一水平寬乘鉛錘高的一半，即可求解。

【變題2】已知橢圓 ，過(guò)定點(diǎn) C 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，若點(diǎn) o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，求 ΔOAB 面積的最大值。

分析：變題2在變題1的基礎(chǔ)上，將定點(diǎn)由焦點(diǎn)變?yōu)闄E圓內(nèi)一般的點(diǎn)，同樣可通過(guò)代數(shù)法與幾何法求解。

【設(shè)計(jì)意圖】在母題的基礎(chǔ)上，把“定直線”變成“動(dòng)直線”，把“動(dòng)點(diǎn)\"變成“定點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生比較兩題的差異，歸納出“定直線與動(dòng)點(diǎn)\"\"動(dòng)直線與定點(diǎn)\"這兩種模型，并針對(duì)兩大模型總結(jié)不同的解題策略，從而促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階。

三、一題多編，激發(fā)創(chuàng)新思維

為了讓學(xué)生更好地把握問(wèn)題的本質(zhì)，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生嘗試以母題為模板自主編題。這樣，學(xué)生從知識(shí)的接收者轉(zhuǎn)變成知識(shí)的創(chuàng)造者，不僅能有效提升思維的靈活度，更能激發(fā)創(chuàng)新思維。

師：以變題1的“動(dòng)直線與定點(diǎn)”為模型，能否設(shè)計(jì)一個(gè)新的問(wèn)題，并試著求解？

生：以“動(dòng)直線與定點(diǎn)\"為模型，可從“變點(diǎn)”與“變線”兩個(gè)方面入手進(jìn)行變題。

1.從變“點(diǎn)”入手

【學(xué)生自編題1】如圖4，已知橢圓 過(guò)左焦點(diǎn) F 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，若點(diǎn) C 是右頂點(diǎn)，求 ΔABC 面積的最大值。

（圖4）

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是 C ，求 ΔABC 面積的最大值。

（圖5）

【學(xué)生自編題3】如圖6，已知橢圓 過(guò)左焦點(diǎn) F 的直線交橢圓于 ^A，B 兩點(diǎn)，若原點(diǎn)是 ΔABC 的重心，求 ΔABC 面積的最大值。

（圖6）

2.從變“線”入手

【學(xué)生自編題4】已知橢圓 E ，點(diǎn) A ，B 是橢圓上的任意兩點(diǎn)，設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 求 ΔOAB 面積的最大值。

【學(xué)生自編題2】如圖5，已知橢圓 過(guò)左焦點(diǎn) F 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，若點(diǎn) A

【設(shè)計(jì)意圖通過(guò)實(shí)際操作和解決問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在已有母題的基礎(chǔ)上進(jìn)行自主創(chuàng)新。通過(guò)變“點(diǎn)”與變“線”，學(xué)生設(shè)計(jì)的問(wèn)題層層遞進(jìn)，在此過(guò)程中他們的思維也不斷進(jìn)階。學(xué)生自編題是一個(gè)有趣且高效的過(guò)程，有助于加深他們對(duì)知識(shí)的理解，不僅增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性和主動(dòng)性，更激發(fā)了其創(chuàng)新思維。

四、多題歸一，培養(yǎng)高階思維

在教學(xué)的最后，教師可以通過(guò)再次聚焦母題，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)單一問(wèn)題具體解法的關(guān)注，轉(zhuǎn)向?qū)σ活悊?wèn)題的通性通法的掌握，建立策略模型。同時(shí)，鏈接高考，讓學(xué)生在主動(dòng)探索中慢慢實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化與能力的躍遷，逐漸達(dá)到“學(xué)一題、會(huì)一類、通一片\"的效果，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

師：根據(jù)前面總結(jié)的兩大模型，能否歸納整理出對(duì)應(yīng)的解題策略思維導(dǎo)圖？

學(xué)生通過(guò)交流討論，總結(jié)的解題策略如下（見(jiàn)圖7、圖8）。

聯(lián)立直線與橢圓方程 |?| 弦長(zhǎng)公式求弦AB長(zhǎng) ? 求點(diǎn)P到AB距離的最值，即可求出三角形面積的最值√ ↓ T法一：線線距離 法二：設(shè)點(diǎn) P（x₀，y₀） +柯西不等式 法三：設(shè)點(diǎn)P（acosθ，bsinθ）+三角函數(shù)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法模型，形成思維導(dǎo)圖，并將其遷移應(yīng)用到高考題中。這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)，能夠鍛煉學(xué)生根據(jù)不同的問(wèn)題情境選擇合適方法模型的能力，培養(yǎng)其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)高階思維的形成，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

圖8“動(dòng)直線與定點(diǎn)”問(wèn)題模型的解題策略

在“一題一課”課堂教學(xué)中，教師的引導(dǎo)至關(guān)重要。面對(duì)學(xué)生思維的局限性，教師應(yīng)通過(guò)巧妙的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析已知條件，尋找（1）求 C 的方程;

（2）點(diǎn) N 為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值。

【練習(xí)1（2020年新高考海南卷21題）】已知橢圓 過(guò)點(diǎn) M（2，3） ，點(diǎn) A 為其左頂點(diǎn)，且 AM 的斜率為

分析：本題是“動(dòng)點(diǎn)與定直線\"的問(wèn)題，可用解題策略中的三種方法來(lái)求解。

【練習(xí)2（2024年新高考I卷16題）】已知A（0，3）和 為橢圓 上兩點(diǎn)。

（1）求 C 的離心率；

（2）若過(guò) P 的直線 l 交 C 于另一點(diǎn) B ，且 Δ ABP 的面積為9，求 l 的方程。

分析：本題可轉(zhuǎn)化為\"動(dòng)點(diǎn)與定直線\"的問(wèn)題，再來(lái)求解。

【設(shè)計(jì)意圖】多題歸一的核心在于抓本質(zhì)、建模型、重遷移。通過(guò)多題歸一，高考復(fù)習(xí)可實(shí)現(xiàn)從“盲目刷題\"轉(zhuǎn)向“精準(zhǔn)建模”，能用最少的時(shí)間抓住最核心的考點(diǎn)邏輯。教師在前面一題多解、一題多變、一題多編等教學(xué)環(huán)節(jié)的不同的解題方法，激發(fā)學(xué)生思維活力。例如，在講母題時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何和代數(shù)的角度分析問(wèn)題，不斷探索新的方法。“一題一課”從母題出發(fā)，不斷延伸，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三、觸類旁通，進(jìn)而使學(xué)生的思維得到拓展。從學(xué)生角度看，“一題一課\"探究教學(xué)模式，更好地讓學(xué)生參與其中，充分調(diào)動(dòng)其積極性和主動(dòng)性。

總之，“一題一課\"探究活動(dòng)在教師的不斷提問(wèn)和引導(dǎo)下，可以有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，促使其充分挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，在實(shí)踐中更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。國(guó)

【參考文獻(xiàn)】

[1]張文海.“一題一課”：讓高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)走向素養(yǎng)落實(shí)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，59（7）：30-34.

[2]李衛(wèi)星.例談“一題一課”型復(fù)習(xí)課的六種設(shè)計(jì)類型[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（1-2）：29-32.

[3]陳丹.“一課一題”教學(xué)方法研究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2020（20）：21-22.

助理編輯：王一民