用新課標(biāo)作導(dǎo)向 以新教材為源泉

作為高三上學(xué)期的一次重要模擬演練，2025年八省高考改革適應(yīng)性考試（以下簡稱八省聯(lián)考）備受廣泛關(guān)注.此次考試不僅是對學(xué)生知識掌握程度的全面檢驗(yàn)，更是對新高考改革背景下命題趨勢的一次重要探索.本文圍繞2025年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行剖析，從試題結(jié)構(gòu)、典型例題、考查重點(diǎn)、命題特點(diǎn)等方面展開詳細(xì)討論，希望能幫助學(xué)生更好地適應(yīng)新高考的要求，提升復(fù)習(xí)備考效果.

1考試概況

2025年八省聯(lián)考于2025年1月3一5日舉行，參加考試的?。ㄗ灾螀^(qū)）涉及河南、寧夏、山西、四川、陜西、云南、內(nèi)蒙古和青海，大約有350萬人參加本次考試.這次考試的數(shù)學(xué)試卷內(nèi)容緊密圍繞《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》，注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能以及綜合能力.試卷符合“依標(biāo)命題、源于教材”的命題理念，強(qiáng)化與課標(biāo)、教材的銜接.

2試題結(jié)構(gòu)與典型例題

2025年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題在結(jié)構(gòu)上延續(xù)了2024年新高考卷的常規(guī)模式，包括選擇題、填空題和解答題.選擇題和填空題主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握和運(yùn)用能力，解答題則更加注重考查學(xué)生的邏輯思維能力、解題能力和創(chuàng)新能力.本次數(shù)學(xué)試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘，試卷共4頁.試卷保持了2024年新高考卷的題型格局和賦分方案，分別為單選題8道（40分）、多選題3道（18分）、填空題3道（15分）、解答題5道（77分）.同時試卷控制和減少了閱讀量，避免了較復(fù)雜的運(yùn)算.試題設(shè)計(jì)具有較好的區(qū)分度，體現(xiàn)了“多考想的、少考算”的理念.

2.1 選擇題剖析

選擇題部分涵蓋了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，主要考查學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，包括單項(xiàng)選擇和多項(xiàng)選擇兩種，涉及高中階段學(xué)過的重點(diǎn)內(nèi)容.試題設(shè)計(jì)靈活多變，既有常規(guī)題型，又有創(chuàng)新題型.

例1 （第10題，多選題）在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱為激勵函數(shù).雙曲正切函數(shù)是一種激勵函數(shù).定義雙曲正弦函數(shù)sinh ，雙曲余弦函數(shù)cosh x= e2+e，雙曲正切函數(shù)tanh ，則（ ）.

A.雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B.雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C.雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)

O 對于選項(xiàng)A，令 f（x）= sinh ，則解析

，所以雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確.

對于選項(xiàng)B，令g（）=cosh ，則 .由選項(xiàng)A可知 g^′（x） 為增函數(shù).因?yàn)? ，當(dāng) x∈（-∞，0） 時， g^′（x）lt;0 ：當(dāng) x∈（0，+∞） 時， g^′（x）gt;0 ，所以 g（x） 在 （-∞，0） （2號上單調(diào)遞減，在 （0，+∞ ）上單調(diào)遞增，故B錯誤.

對于選項(xiàng)C，有

因?yàn)?y=e^2x+1 在 上單調(diào)遞增，且 y=e^2x+1gt;1 ，所以tanh x 是增函數(shù)，故C正確.

對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C可知tanh

所以 ，故D正確.

綜上，選ACD.

對于選項(xiàng)A和B，通過求導(dǎo)后即可判斷；對于選項(xiàng)C，借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函

數(shù)將雙曲正切函數(shù)化簡后，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于選項(xiàng)D，借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，分別將等式左右兩邊化簡即可判斷.

例2 （第8題）已知函數(shù) f（x）=x∣x-a∣- 2a² ，若當(dāng) xgt;2 時， f（x）gt;0 ，則 Δ_a 的取值范圍是（ ）.

A. （-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D ?[-1，+∞）

當(dāng) agt;2，xgt;2 時，有

解析

f（x）=x∣x-a∣-2a²=

當(dāng) 22+ax-2a² ，此時Δ=a²-4×2a²=-7a²lt;0 ，則 f（x）lt;0 ，不滿足當(dāng)xgt;2 時， f（x）gt;0 ，故 agt;2 不符合題意.

當(dāng) 02 時， f（x）=x²-ax-2a²= （x-2a）（x+a）gt;0 ，解得 xgt;2a .當(dāng) xgt;2 時，f（x）gt;0 ，故 2a?2 ，解得 0

當(dāng) a=0，xgt;2 時， f（x）=x²gt;0 恒成立，符合題意.

當(dāng) alt;₀，xgt;2 時， f（x）=x²-ax-2a²=（x- 2a）（x+a）gt;0 ，解得 .當(dāng) xgt;2 時， f（x）gt;0 故 -a?2 ，解得 -2?alt;0

解決本題的關(guān)鍵是對 a 分類討論，結(jié)合因式分解方法求解當(dāng) xgt;2 時 f（x）gt;0 的解集.

2. 2 填空題剖析

填空題主要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和公式的理解以及運(yùn)算能力.

例3 （第13題）有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為

從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)數(shù)為 C₈³=56. 因?yàn)?1+2+3+4+

5+6+7+8=36 ，所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為18.抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3種，所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18的樣本點(diǎn)數(shù)為3，故抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為

0

解題的關(guān)鍵在于先寫出基本事件總數(shù) C₈³ ，再求出所有卡片上的數(shù)字之和，進(jìn)而得出抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為18，列舉出和為18的3張卡片即可求解.

例4 （第14題）已知曲線 c ，兩條直線 l₁，l₂ 均過坐標(biāo)原點(diǎn) O，l₁ 和 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，l₂ 和 C 交于 P，Q 兩點(diǎn).若 ΔOPM 的面積為 ，則ΔMNQ 的面積為

令 ，則 f（x） 的定義域?yàn)閧x∣x≠0} ，又 -f（x） ，且 f（x） 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以 f（x） 為奇函數(shù)，曲線 c 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng) 時，函數(shù)單調(diào)遞增，由此畫出曲線 C 的圖像（如圖1）.

綜上， -2?a?1 ，故選B.

因?yàn)橹本€ l₁，l₂ 均過坐標(biāo)原點(diǎn) O ，所以 M，N 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱， P，Q 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.根據(jù)對稱性，不妨設(shè) M，N，P，Q 的位置如圖1所示，則|OP|=|OQ|，|OM|=|ON|，∠POM=∠QON ，所以 ΔOPM?ΔOQN ，故 .又ΔOQM 和 ΔOQN 等底等高，所以 ，故 ：

本題根據(jù)曲線的對稱性，充分利用曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)確定點(diǎn)的對稱關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵.通過對稱關(guān)系能夠推導(dǎo)出相關(guān)線段和三角形之間的等量關(guān)系，為后續(xù)計(jì)算面積提供依據(jù).

2.3 解答題剖析

解答題部分主要考查學(xué)生的邏輯思維能力、解題能力和創(chuàng)新能力.試題設(shè)計(jì)注重考查學(xué)生的綜合能力，注重在知識點(diǎn)的交會處命題，考查學(xué)生的知識整合能力、創(chuàng)新思維和解決問題能力.

例5 （第15題）為考察某種藥物A對預(yù)防疾病B的效果，進(jìn)行了動物（單位：只）試驗(yàn)，得到如表1所示的列聯(lián)表.

（1）求 s，t ：

（2）記未服用藥物A的動物患疾病B的概率為p ，給出 p 的估計(jì)值；

（3）根據(jù)小概率值 α=0.01 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物A對預(yù)防疾病B有效？

附： （1）由列聯(lián)表可知 s=100+80=180，t= 80+70=150

（2）由列聯(lián)表可知未服用藥物A的動物有180只，未服用藥物A且患疾病B的動物有80只，則未服用藥物A的動物患疾病B的頻率為 ，故未服用藥物A的動物患疾病B的概率 Σ_P 的估計(jì)值為

（3）零假設(shè) H₀ ：藥物A對預(yù)防疾病B無效.由列 聯(lián)表可得

根據(jù)小概率值 α=0. 01 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷 H_o 不成立，即在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，可以認(rèn)為藥物A對預(yù)防疾病B有效.

點(diǎn)本題主要考查學(xué)生根據(jù)2×2列聯(lián)表計(jì)算出χ² 的值，然后推斷藥物A對預(yù)防疾病B是否有效，但這種推斷可能會出錯.

例6 （第16題）已知數(shù)列 {a_n} 中， a₁=3 ！

（1）證明：數(shù)列 為等比數(shù)列；（2）求 {a_n} 的通項(xiàng)公式；（3）令 ，證明： b_nn+1lt;1

（1）由an+1 得

則

所以數(shù)列 是首項(xiàng)為 公比為 的等比數(shù)列.

（2）由（1）得 ，解得

（3）由（2）可得

令 ，則 f（n） 在

[1，+∞] ）上單調(diào)遞增，故

所以 是單調(diào)遞減數(shù)列，從而數(shù)列 {b_n} 是單調(diào)遞增數(shù)列，且 b_nlt;1 ，則 b_nn+1lt;1

本題主要考查數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，將數(shù)列與函數(shù)綜合進(jìn)行考查，對學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有一定的要求．

例7 （第17題）已知函數(shù)

（1）設(shè) a=1，b=-2 ，求曲線 y=f（x） 的斜率為2的切線方程；

（2）若 x=1 是 f（x） 的極小值點(diǎn)，求 b 的取值范圍.

解析 （1）當(dāng) a=1，b=-2 時， （ xgt;0 ，則

令f‘（x）=2，則-x2+2 ，化簡得 3x²-x- 2=（x-1）（3x+2）=0 ，解得 x=1 （負(fù)值舍去），此時f（1）=-3 ，則切線過點(diǎn) （1，-3） .結(jié)合切線的斜率為2可知切線方程為 y+3=2（x-1） ，即 2x-y-5=0

（2）由題意可得 f（x） 的定義域?yàn)?（0，+∞） ，且 .因?yàn)?x=1 是 f（x） 的極小值點(diǎn)，所以 f^′（1）=-1+a-b=0 ，則 a=b+1 ，故

若 b?0 ，令 f^′（x）gt;0 ，得 x∈（0，1） ；令 f^′（x）lt; 0，得 x∈（1，+∞） ，則 f（x） 在（O，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞ ）上單調(diào)遞減，故 x=1 是 f（x） 的極大值點(diǎn)，不滿足題意.

若 0′（x）gt;0 ，得 x∈（b，1） ；令f^′（x）lt;0 ，得 x∈（0，b）∪（1，+∞） ，則 f（x） 在 （b，1） 上單調(diào)遞增，在 （0，b），（1，+∞） 上單調(diào)遞減，故 x=1 是 f（x） 的極大值點(diǎn)，不滿足題意.

若 b=1 ，則 在（0， +∞i ）上單調(diào)遞減，故 f（x） 無極值，不滿足題意.

若 bgt;1 ，令 f^′（x）gt;0 ，得 x∈（1，b） ；令 f^′（x）lt; 0，得 x∈（0，1）?（b，+∞） ，則 f（x） 在（1，b）上單調(diào)遞增，在（0，1）， （b，+∞） 上單調(diào)遞減，故 x=1 是f（x） 的極小值點(diǎn)，滿足題意.

綜上，若 x=1 是 f（x） 的極小值點(diǎn)，則 b 的取值范圍為 （1，+∞） ：

本題主要考查曲線的切線方程以及與函數(shù)極值點(diǎn)相關(guān)的函數(shù)單調(diào)性問題，對學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力要求較高.

3考查重點(diǎn)與命題特點(diǎn)

2025年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題在考查重點(diǎn)和命題特點(diǎn)上呈現(xiàn)出以下趨勢.

1）注重基礎(chǔ)知識的考查

試題設(shè)計(jì)注重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握情況和運(yùn)用能力.無論是選擇題、填空題還是解答題，都涉及了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識.因此，學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)注重鞏固基礎(chǔ)知識，只有牢固掌握基礎(chǔ)知識，才能在解題時應(yīng)用自如.

2）強(qiáng)調(diào)綜合能力的考查

試題設(shè)計(jì)注重考查學(xué)生的綜合能力，包括邏輯思維能力、解題能力和創(chuàng)新能力.有的題目通過引入新的數(shù)學(xué)方法與技巧，考查學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題能力.這種綜合能力的考查有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決實(shí)際問題的能力.

3）命題形式多樣化

試題設(shè)計(jì)在命題形式上呈現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)，既有常規(guī)題型，又有創(chuàng)新題型.這些創(chuàng)新題型通過引入新概念、情境或問題，考查學(xué)生對知識的綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)新思維.同時，試題設(shè)計(jì)還注重考查學(xué)生的信息提取和信息分析能力，如通過圖表、圖像等方式呈現(xiàn)題自信息，要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確提取信息并進(jìn)行分析和解答.

2025年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題的剖析表明，試題設(shè)計(jì)注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和綜合能力，命題形式多樣化且注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.這些特點(diǎn)對學(xué)生復(fù)習(xí)備考具有重要的啟示意義.學(xué)生應(yīng)注重基礎(chǔ)知識的鞏固和綜合能力的訓(xùn)練，關(guān)注命題趨勢和考查重點(diǎn)的變化，注重解題方法和技巧的總結(jié)，加強(qiáng)模擬訓(xùn)練和實(shí)戰(zhàn)演練.

（完）