區(qū)間二型模糊雙線性時(shí)滯系統(tǒng)的廣義 H₂ 控制

中圖分類號(hào)：0231 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

眾所周知，T-S模糊線性模型被廣泛應(yīng)用于研究非線性系統(tǒng)[1-2]。文獻(xiàn)[3]以雙線性系統(tǒng)為模糊系統(tǒng)的后件系統(tǒng)，提出了T-S模糊雙線性系統(tǒng)，從而解決了一類帶有狀態(tài)和輸人耦合項(xiàng)非線性系統(tǒng)的建模與控制難題。近年來，學(xué)者圍繞模糊雙線性系統(tǒng)的研究得到了一系列成果。文獻(xiàn)[4-6]研究了離散T-S模糊雙線性隨機(jī)系統(tǒng)、雙線性關(guān)聯(lián)大系統(tǒng)和不確定雙線性系統(tǒng)的廣義 H₂ 控制、分散控制及模糊觀測(cè)器控制問題。文獻(xiàn)［7]得到了多輸人離散T-S模糊雙線性模型與模糊控制器設(shè)計(jì)方法。然而，針對(duì)帶有不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng)往往找不到精確的隸屬度函數(shù)T-S模糊模型對(duì)應(yīng)。區(qū)間二型模糊模型利用隸屬度函數(shù)的上、下界加權(quán)和解決了這一問題。文獻(xiàn)[8]研究了區(qū)間二型模糊不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒 H_∞ 控制。文獻(xiàn)[9-10]把雙線性系統(tǒng)與區(qū)間二型模糊模型相結(jié)合，研究了模糊雙線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)與事件驅(qū)動(dòng)控制。文獻(xiàn)[11-12]研究了區(qū)間二型模糊線性系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)和滑模控制問題。

非線性系統(tǒng)中普遍存在時(shí)滯項(xiàng)，而時(shí)滯項(xiàng)是影響系統(tǒng)的性能和穩(wěn)定性的主要因素[3]，因此，各類時(shí)滯系統(tǒng)的分析與控制也是現(xiàn)階段控制領(lǐng)域研究的主要方向。文獻(xiàn)［13]基于動(dòng)態(tài)事件控制，研究了多模態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[14]利用先進(jìn)的時(shí)滯處理方法，得到了離散時(shí)間區(qū)間二型模糊雙線性時(shí)滯系統(tǒng)的可達(dá)集界定條件，并保證系統(tǒng)是耗散容許的。

廣義 H₂ 控制和 H_∞ 控制是魯棒控制的2個(gè)重要方面，都是反映系統(tǒng)輸出的某種范數(shù)不超過外部干擾范數(shù)乘以抑制因子 γ^[15] 。相比 H_∞ 控制，廣義H₂ 控制更具有一般性，它能在隨機(jī)意義下反映系統(tǒng)有抑制隨機(jī)噪聲干擾的性能，是現(xiàn)代控制論中一個(gè)非常重要的分支[8]。文獻(xiàn)[16]研究了線性時(shí)滯系統(tǒng)的廣義 H₂ 彈性控制問題，文獻(xiàn)[17]給出不確定區(qū)間二型模糊線性系統(tǒng)的廣義 H₂ 穩(wěn)定性充分條件，但針對(duì)離散時(shí)間區(qū)間二型模糊雙線性時(shí)滯系統(tǒng)的廣義 H₂ 控制問題研究還未涉及。

綜上所述，本文研究了一類具有不確定性的非線性系統(tǒng)，并在此基礎(chǔ)上提出了一種新的二型模糊控制方法，該方法具有較好的魯棒性。基于李雅普諾夫函數(shù)方法，研究了離散時(shí)間區(qū)間二型模糊雙線性時(shí)滯系統(tǒng)廣義 H₂ 控制問題?？紤]系統(tǒng)的狀態(tài)不能完全可測(cè)的情況下，通過設(shè)計(jì)模糊雙線性靜態(tài)輸出反饋控制器，得到了使閉環(huán)系統(tǒng)廣義 H₂ 穩(wěn)定的充分性條件。

1 系統(tǒng)描述

考慮以下離散時(shí)間區(qū)間二型模糊雙線性時(shí)滯系統(tǒng)模型：

第 l 條規(guī)則：若 f₁（φ（k）） 是 F_l1，…，f_s（φ（k）） （是 F_ls ，則

其中： l∈N=1，2，3，…，r 表示第 l 條模糊推理規(guī)則， r 為模糊規(guī)則數(shù)， F_lj（j=1，2，3，…，s） 為已知函數(shù) f_j（φ（k）） ）對(duì)應(yīng)的第 ξ_l 條模糊規(guī)則中的二型模糊集， φ（k）∈Rⁿ，u（k）∈R，y（k）∈Rⁿ 分別為系統(tǒng)狀態(tài)變量，系統(tǒng)控制輸人變量和系統(tǒng)輸出變量， u（k） 為系統(tǒng)擾動(dòng)變量且 u（k）∈L₂[0，+∞） ，滿足 A_l，B_l，N_l，G，D_l 為已知的適維常數(shù)矩陣，表示系統(tǒng)的第 ξ_l 個(gè)局部模型；變量d（k） 為系統(tǒng)的時(shí)變時(shí)滯，滿足 0m?d（k）? d_u ，正常數(shù) d_m 和 d_u 分別表示時(shí)滯的上界和下界。

設(shè)第 l 條模糊規(guī)則的激活強(qiáng)度為以下區(qū)間集：

其中 為已知函數(shù)f_j（φ（k）） 隸屬度上界， 0?μ_Fij（f_j（φ（k）））?1 為已知函數(shù) f_j（φ（k）） 隸屬度下界，而 為模糊隸屬函數(shù)的上界， 為模糊隸屬函數(shù)的下界。

系統(tǒng)（1）的總體模型為：

其中

2 控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)如下模糊雙線性靜態(tài)輸出反饋控制器，其中第 i 條規(guī)則為：

第 i 條規(guī)則：若 g₁（φ（k）） 是 M_i1，…，g_s（φ（k）） 是 M_is ，則

M_ij（i=1，2，…，r;j=1，2，…，s） 為隸屬函數(shù)g_i（φ（k） ）對(duì)應(yīng)的第 i 條模糊規(guī)則中的模糊集， K_i 為第 i 個(gè)靜態(tài)輸出反饋控制器增益， ρgt;0 待定的標(biāo)量，其中

第 i 條模糊控制規(guī)則的激活強(qiáng)度為以下區(qū)間集：

和 0?μ_Mijg_j（φ（k））?1 分別為已知函數(shù) g_j（φ（k） ）的上下隸屬度，其中 為模糊系統(tǒng)隸屬函數(shù)的上界， h_i（φ（k）） 為模糊系統(tǒng)隸屬函數(shù)的下界。

則整個(gè)系統(tǒng)的輸出反饋控制律可表示為

其中

為加權(quán)系數(shù)函數(shù)。

在式（4）的作用下，當(dāng) u（k）≠0 時(shí)，其閉環(huán)系統(tǒng)可以表示為：

為了書寫方便，式（5）可表示為如下形式：

φ（k+1）=A（k）φ（k）+A_dl（k）φ（k-d（k））+

其中

下面給出證明要用到的定義和引理：

定義2.1[6] 對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)（6）滿足以下條件：

1）無外部干擾項(xiàng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。

2）給定正常數(shù) γ ，在零初始條件下，當(dāng) ν（k）∈ l₂[0，+∞] 不為零時(shí)，有 ∥z∥_∞lt;γ∥v∥₂ ，則稱閉環(huán)系統(tǒng)（6）是廣義 ΔH₂ 穩(wěn)定的。

引理 2.1^[10] 若矩陣 M，N 為任意適維常數(shù)矩陣，Y 為適當(dāng)維度的正定矩陣，存在任意標(biāo)量 αgt;0 ，有以下不等式成立

M^TYN+N^TYM?αM^TYM+α^-1N^TYN

3 主要結(jié)果

定理3.1對(duì)于給定的常數(shù) γgt;0 ，若存在正定對(duì)稱矩陣 P，Q₁，Q₂，Q₃ ，控制器增益矩陣 K_i（i=1，2 ，…），適維矩陣 ?_i（ΩiΩ=1，2，3，…，l） ！ ，在h_i-m_iw_igt;0，m_i∈[0，1] 時(shí)，使得下列矩陣不等式成立，則閉環(huán)系統(tǒng)（6）是廣義 H₂ 漸近穩(wěn)定的。

其中

X_1，ii=δ₁A^T（k）PA（k）+δ₂（B（k）K_iG）^TPB（k）K_iG+

δ₃（N（k）G）^TPN（k）G-P+Q₁+Q₃

X_2，li=Q₂-Q₁，X_3，li=δ₄A_d^T（k）PA_d（k）-Q₃

X_4，li=-Q₂，X_5，li=δ₅D^T（k）PD（k）-I

證明 構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

沿閉環(huán)系統(tǒng)（6）分別對(duì) V₁（k），V₂（k） 求差分，由引理2.1得

?φ^T（k）[δ₁A^T（k）PA（k）+δ₂（B（k）K_iG）^T?

PB（k）K_iG+δ₃（N（k）G）^TPN（k）G-P]φ（k）+

φ^T（k-d（k））（δ₄A_dl^T（k）PA_dl（k））φ（k-d（k））+

ν^T（k）（δ₅D^T（k）PD（k））ν（k）

因?yàn)?/p>

則

由式（11）和（12），得

=ξ^T（k）X_iξ（k）+p^T（k）p（k）

其中 ξ（k）=[φ^T（k），φ^T（k-d（k）），φ^T（k-x）]， 。

考慮等式 ，這里 ?_l= ?_l^T 是任意矩陣，可得

可知

由式（7）—（10），可得 ΔV（k）lt;0 ，則閉環(huán)系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的。

下面證明閉環(huán)系統(tǒng)（6）在零初始條件下，滿足廣義 H₂ 穩(wěn)定性的第二個(gè)條件，由式（14）可知

ΔV（k）lt;ν^T（k）ν（k）

在零初始條件下，即 φ（0）=0 ，從 k=0 到 k=T 對(duì)式（15）兩邊求和，得

由式（17）可得

由式（16）和（18）得

由定義2.1可證閉環(huán)系統(tǒng)（6）是廣義 H₂ 穩(wěn)定的。

注1考慮到定理3.1中含有的 A^T（k）PA（k） ，（B（k）K_iG）^TPB（k）K_iG，（N（k）G）^TPN（k）G 為雙線性的，不能直接用LMI工具箱直接求解，因此給出以下定理。

定理3.2對(duì)于給定常數(shù) ρgt;0，ε₁gt;0，δgt;0，δ_igt; 0，i=1，2，3，4，5 ，若存在正定對(duì)稱矩陣 ?_P，Z，Q1 ，Q₂，Q₃ 控制增益矩陣 和矩陣 在 h_l-m_lw_lgt;0，m_l∈ [0，1]時(shí)，使以下矩陣不等式成立，則閉環(huán)系統(tǒng)（6）是廣義 H₂ 穩(wěn)定的。

其中

證明由Schur補(bǔ)引理可知，定理3.1中矩陣 X_li 等價(jià)于矩陣 ，其中

對(duì)矩陣 同時(shí)分別左、右乘以矩陣diag {I P^-1，P^-1，P^-1，I，I，P^-1，I，I，P^-1} ，并記 Z=P^-1 且PZ=PP^-1=I ，則可以得到

其中

W₁=-P+Q₁+Q₃，W₂=Q₂-Q₁，Θ₁=δ₁A（k）

θ₂=δ₂B（k）K_iG，θ₃=δ₃GN（k），θ₄=δ₄A_d（k）

θ₅=δ₅D（k），T₁=δ₁A_l，T₂=δ₂B_lK_iG

T₃=δ₃N_lG，T₄=δ₄A_dlZ，T₅=δ₅D_lZ

所以由定理3.1知定理3.2成立。

4 數(shù)值仿真

基于系統(tǒng)（1），選取以下系數(shù)矩陣：

模糊系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)取為：

模糊控制器的隸屬度函數(shù)取為：

求解定理3.2條件，式（19）—（23），可得：

取初始值為[-0.80.16]，仿真可得系統(tǒng)狀態(tài)和輸入響應(yīng)圖。圖1是系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)，圖2是系統(tǒng)控制響應(yīng)。由仿真結(jié)果可知在設(shè)計(jì)控制器（4）的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)（6）是廣義 H₂ 漸近穩(wěn)定的。

5結(jié)語

本文考慮系統(tǒng)中普遍存在時(shí)滯，基于李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性理論，對(duì)一類受外部干擾的離散時(shí)間區(qū)間二型模糊雙線性系統(tǒng)的廣義 H₂ 穩(wěn)定控制問題進(jìn)行討論。通過設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器，并運(yùn)用矩陣不等式方法，得到閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)滯依賴的廣義H₂ 穩(wěn)定的充分性條件。定理的結(jié)果可以利用SLPM方法求解。數(shù)值仿真例子驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。

參考文獻(xiàn)：

[1]賀鐵清，陳珺，劉飛．連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)新的鎮(zhèn)定條件和 H_∞ 控制器設(shè)計(jì)[J].信息與控制，2017，46（5）：564-570.

［2］李江榮，李俊民，崔志明．基于模糊Lyapunov函數(shù)對(duì)帶有離散無窮分布時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)的非PDC廣義H₂ 控制[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2013，27（3）：11-22.

[3]TSAISH，LITHS. Robust fuzzy control ofa classoftionsamp;Fractals，2009，39：2028-2040.

[4］李江榮，李俊民，夏志樂．離散模糊雙線性關(guān)聯(lián)大系統(tǒng)的廣義 Π_H2 分散控制［J]．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32（10）：2203-2209.

[5］李鈺，李江榮．離散T-S模糊雙線性隨機(jī)系統(tǒng)的模糊觀測(cè)器控制[J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2016，30（2）：116-126.

[6］李江榮，李俊民，張果．基于T-S雙線性模型的不確定離散時(shí)滯非線性系統(tǒng)的分段廣義 H₂ 控制[J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2012，26（1）：115-125.

[7］楊倫樂，李俊民.多輸入離散T-S模糊雙線性模型與模糊控制器設(shè)計(jì)［J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2011，25（5） ： 96-105.

[8］毛晨斐，李江榮，李琳，等．區(qū)間二型模糊不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒 H_∞ 控制[J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2021，35（5） ： 76-86.

[9］李琳，李江榮，毛晨斐．離散區(qū)間二型模糊雙線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定控制［J]．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2021，35（2） ： 59-66.

[10]劉治沼，李琳，喬田田，等．離散時(shí)間區(qū)間二型模糊雙線性系統(tǒng)的事件驅(qū)動(dòng)控制［J]．延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，41（2）：58-64.

[11]YAOXM，SUNZ，LAMHK.Uncertaindisturbance at-tenuation and rejection for interval type-2 fuzzy systemsvia disturbance observer[J].Information Sciences，2023，619：340-357.

[12]ZHANGZN，NIUYG，CAO ZR，et al. Security slid-ing mode control of interval type-2 fuzzy systems subjectto cyber attcks：the stochastic communication protocolcase[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2021，29（2） ： 240-251.

[13]CAOL，PANYN，LIANGHJ，et al.Observer-baseddynamic event-triggered control for multiagent systemswith time-varying delay[J]. IEEE Transactions on Cy-bernetics，2023，53（5）：3376-3387.

[14]喬田田，李江榮．離散時(shí)間區(qū)間二型模糊雙線性時(shí)滯系統(tǒng)的可達(dá)集估計(jì)與耗散性［J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2023，42（11）：2470-2475.

[15]劉樹博，趙丁選，尚濤．基于靜態(tài)輸出反饋的非脆弱H₂. /廣義 H₂ 控制［J]．沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，33（3）： 338-342.

［16]劉宏亮，樊麗穎，段廣仁.線性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒廣義H₂ 彈性控制[J]．電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2008，12（2）：213-217.

[17]王雪飛，周紹生．不確定區(qū)間二型離散系統(tǒng)的廣義H₂ 控制器設(shè)計(jì)[J]．杭州電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，37（5）：51-56.

（責(zé)任編輯：周曉南）