G-α-E. -半預(yù)不變凸規(guī)劃的Wolfe型對(duì)偶

中圖分類(lèi)號(hào)：0221.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

凸性和廣義凸性在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、工程、機(jī)器學(xué)習(xí)、最優(yōu)化理論等許多領(lǐng)域有著十分重要的應(yīng)用。有關(guān)對(duì)偶模型的建立以及廣義凸性的研究是凸規(guī)劃最重要的方向之一。一些學(xué)者致力于推廣這方面的研究并得到了重要的研究成果。

1981年，HANSON[1]提出一類(lèi)廣義凸函數(shù)一—不變凸函數(shù)，它是凸函數(shù)的真推廣。隨后，許多文獻(xiàn)利用這類(lèi)函數(shù)探討了優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解和對(duì)偶性。WEIR等23在研究中對(duì)不變凸函數(shù)進(jìn)行了真推廣，得到另外一類(lèi)廣義不變凸一—預(yù)不變凸函數(shù)，并提出了非線性規(guī)劃的最優(yōu)性條件和對(duì)偶理論，為傳統(tǒng)凸函數(shù)研究帶來(lái)了重要的進(jìn)展。YANG等[4]拓展了預(yù)不變凸函數(shù)的范疇，引人了半預(yù)不變凸函數(shù)的概念，并拓展了此類(lèi)函數(shù)在優(yōu)化問(wèn)題的有關(guān)應(yīng)用，得到了相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題Fritz-John條件。陳秀宏[5-6]先后研究了半預(yù)不變凸函數(shù)的一些性質(zhì)，給出了相應(yīng)不可微最優(yōu)問(wèn)題的最優(yōu)性條件以及多目標(biāo)規(guī)劃（multi-objectivepro-gramming，MP）真有效解必要條件的2個(gè)定理，對(duì)MP進(jìn)行了對(duì)偶性的討論。江維瓊探討了半預(yù)不變凸多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題有效解的充要條件，基于Wolfe型對(duì)偶模型得出了弱對(duì)偶和強(qiáng)對(duì)偶定理。文獻(xiàn)[8-9]系統(tǒng)探討了 E- 凸集、 E- 凸函數(shù)、 E? 凸規(guī)劃以及半預(yù) E? 凸函數(shù)的相關(guān)研究。陳雪靜等[10]提出了一類(lèi)新的廣義凸函數(shù)，即 α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，并研究了 α -E-半預(yù)不變凸函數(shù)的一些性質(zhì)以及它在多目標(biāo)規(guī)劃中的應(yīng)用。作為對(duì) G- 凸函數(shù)的一種推廣，2007年， G- 不變凸首次被ANTCZAK[\"提出。對(duì)于非可微情形，ANTC-ZAK^[12] 定義了 G- 預(yù)不變凸函數(shù)的概念。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[13-14]把 G- 不變凸函數(shù)推廣到非可微的情況下，進(jìn)而研究了其對(duì)應(yīng)的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，得出了相應(yīng)的最優(yōu)性條件和對(duì)偶性條件。2013—2017年，彭再云等[15-18]定義了幾類(lèi)廣義不變凸函數(shù)，即 G_- 半預(yù)不變凸函數(shù)、-G-E-半預(yù)不變凸函數(shù)和半嚴(yán)格-G-E-半預(yù)不變凸函數(shù)，并證明了這幾類(lèi)函數(shù)的存在性;隨后，探討了其在多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中的應(yīng)用，得到一系列最優(yōu)性條件；此外，還建立了與之相對(duì)應(yīng)的Wolfe型對(duì)偶模型，并得出了弱對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶和逆對(duì)偶定理。近年來(lái)，這一領(lǐng)域的研究取得了一些新的進(jìn)展和成果[19-22]。陳玉等[23]研究了 G-α- 預(yù)不變凸函數(shù)與非光滑向量?jī)?yōu)化問(wèn)題。祁鈺等[24]運(yùn)用Clark廣義梯度，給出了一類(lèi)新的廣義凸函數(shù)一半預(yù)不變凸函數(shù)，并得到了其可行解是弱有效解的若干最優(yōu)性條件。

在文獻(xiàn)[7，10，16]的基礎(chǔ)上，本研提出了一類(lèi)新型的廣義凸函數(shù)—G-α-E-半預(yù)不變凸函數(shù)。首先，通過(guò)具體示例證明了 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)的存在性，并探討了它與其他相關(guān)廣義凸函數(shù)之間的聯(lián)系；其次，引入了與 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)有關(guān)的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，給出這類(lèi)問(wèn)題的最優(yōu)性充分條件；再次，建立相對(duì)應(yīng)的Wolfe型對(duì)偶模型，探討了該模型與原問(wèn)題之間的可行解和有效解之間的關(guān)系，獲得了弱對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶、逆對(duì)偶定理，并進(jìn)行了證明以驗(yàn)證這些定理。

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1^[4] （2號(hào) 設(shè)集合 X?Rⁿ ，若存在一個(gè)非零向量值映射 η：X×X×[0，1]?Rⁿ ，使得對(duì)任意 x，y∈ ，滿足

y+λη（x，y，λ）∈X

則稱 X 是關(guān)于 η 的半連通集。

定義 2^[21] 設(shè) K?Rⁿ 是非空子集，若存在向量值映射 ， ，使得對(duì)任意 x，y∈K，λ∈[0，1] ，滿足

則稱 K 是關(guān)于 η 和 α 的 α- 半不變凸集。

定義 3^[10] 設(shè) K?Rⁿ 是非空子集，若存在向量值映射 ， ，以及 E（?） ，使得對(duì)任意 x，y∈K ，λ∈[0，1] ，滿足

E（y）+λα（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ）∈K 則稱 K 是關(guān)于 η 和 α 的 α-E. 半不變凸集。

定義 4^[20] 設(shè)集合 X?Rⁿ 是關(guān)于 η：X×X×[0 的半連通集，則 是 X 上關(guān)于 η 的（嚴(yán)格） G- 半預(yù)不變凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在連續(xù)的實(shí)值遞增函數(shù) ，使得對(duì)任意 x，y∈ （ x≠y，λ∈（0，1）. ，滿足

lim_λ0λη（x，y，λ）=0

且

定義5設(shè)集合 X?Rⁿ 是關(guān)于 η：X×X×[0，1] ， 的 α-E- 半不變凸集， ，則 是 X 上關(guān)于 η 和 α 的（嚴(yán)格） G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在連續(xù)的實(shí)值遞增函數(shù) ，使得對(duì)任意 x，y∈ （ x≠y，λ∈（0，1） ），滿足

且

注1若 G（t）=t ，則 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)為 半預(yù)不變凸函數(shù)。

注2若 α（x，y）=1 ，則 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)為 G-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。

定義6設(shè)集合 X?Rⁿ 是關(guān)于 η：X×X×[0，1]? ， 的 α-E- 半不變凸集，E（?） XX ，則 是 X 上關(guān)于 η 和 α 的半嚴(yán)格 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在連續(xù)的實(shí)值遞增函數(shù) ，使得對(duì)任意 x，y∈ 和 ，滿足

lim_λ0⁺λη（E（τ），E（τ），λ）= 0

且

首先，通過(guò)例1來(lái)說(shuō)明 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)是大量存在的。

例1設(shè)

按照定義5進(jìn)行驗(yàn)證，可以很容易證明函數(shù) f 是 X 上關(guān)于 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。

注3 α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)是（關(guān)于同一 η 和 α 的） G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)（可取 G（t）=t ）的一個(gè)特例，但反之可能不成立。

下面，通過(guò)例2來(lái)說(shuō)明 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)有可能不是（關(guān)于同一 η 和 α 的） α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。

例2設(shè)

X=（0，+∞） 是關(guān)于 η 和 α 的 α-E. 半預(yù)不變凸集，函數(shù) f 是（關(guān)于 η 和 α 的） G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。但取 時(shí)，有

f（E（y）+λα（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ））

顯然，函數(shù) f 不是（關(guān)于 η 和 α 的） G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。

緊接著，通過(guò)例3來(lái)說(shuō)明 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)可能不是（關(guān)于同一 η 和 α 的）嚴(yán)格 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。

例3設(shè)

G（t）=e^t，t∈[0，+∞），E（x）=x²，α（x，y）=xy

由定義5可得，函數(shù) f 是關(guān)于 η 和 α 的 G-α-E. 半預(yù)不變凸函數(shù)。

然而，令 ，可得

f（E（y）+λα（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ）） =f（2.5） =G^-1（λG（f（E（x）））+（1-λ）G（f（E（y）））） 顯然，函數(shù) f 不是（關(guān)于同一 η 和 α 的）嚴(yán)格 G_-α-E 半預(yù)不變凸函數(shù)。

2 最優(yōu)性條件

引理1[12] 設(shè) G：RR 是一個(gè)實(shí)值連續(xù)，則 G^-1 是遞增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) G 也是遞增函數(shù)。引理 2^[12] 設(shè) G：RR 是一個(gè)實(shí)值連續(xù)，如果 G 遞增且是凹的，則 G^-1 是凸的；如果 G 遞增且是凸的，則 G^-1 是凹的。

由參考文獻(xiàn)[4]和參考文獻(xiàn)［7]的引理1，類(lèi)似可得引理3。

引理3若 {φ_i}，i∈I={1，2，…，m} 為 α-E- 半不變凸集 X 上關(guān)于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)簇，則下面兩系統(tǒng)中有且僅有一個(gè)有解：

（1）存在 ， （2）存在 ，使得

引理4設(shè) X 是關(guān)于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集，如果 在 X 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， G 遞增且凹，則 是 X 上關(guān)于 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)的必要條件是對(duì)于任意 ，E（x）≠E（y） ，有

其中 0證明因?yàn)? 是 X 上關(guān)于 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，由 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)的定義可得，對(duì)于任意 有

由于 G 遞增且凹，由引理2知 G^-1 遞增且凸，從而對(duì)任意 ， E（x）≠E（y） ，

即

（204號(hào)去括號(hào)移項(xiàng)可得

不等式兩邊同時(shí)除以 λ（λ≠0） ），則

x，y∈X，?λ∈（0，1]，E（x）≠E（y）

有

又因?yàn)?λ 是任意性，當(dāng) 時(shí)，有

從而

也即

說(shuō)明若實(shí)值函數(shù) G 滿足 G（x+y）=G（x）+ G（y） ， x，y 在該函數(shù)的定義域中，則稱 G 滿足可加性；若實(shí)值函數(shù) G 滿足 G（kx）=kG（x），kgt;0 ， x 在該定義域中，則稱 G 滿足正齊次性。

定理1設(shè) X?Rⁿ 是關(guān)于 η 和 α 的 α?E? 半不變凸集，實(shí)值函數(shù) 和 G^-1 具備可加性和正齊次性條件，若函數(shù) f_i，g_j，h_k：X?R（i=1，2，…， p;j=1，2，…，m;k= 1，2，…，s） 均為 X 上關(guān)于同-η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，同時(shí)有常數(shù) h_kgt;0（k=1，2，…，s） ，那么函數(shù) ， （204j=1，2，…，m;k=1，2，…，s） 也是 X 上關(guān)于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。

證明因?yàn)楹瘮?shù) f_i：X?R（iω_i=1，2，…，p） 為 X 上關(guān)于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，即

f_i（E（y）+λα（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ）） ）常數(shù) t_igt;0（i=1，2，…，p） ，實(shí)值函數(shù) 和 G^-1 具備可加性和正齊次性條件，所以

（204號(hào) 是 G-α-E- 半雞是倒

ujgi，∑Uhk也是 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，即 以上兩式相加可得

（204號(hào)

（204號(hào)所以 是 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)， s ）也是 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。

設(shè) ，x=y 表示 x_i=y_i（i=1，2，…，n） ; xilt; y_i（i=1，2，…，n） ： x≦y 表示 x_i?y_i（i=1，2，… n ）； x?y 表示 x_i?y_i（i=1，2，…，n） ，而 x≠y 5 表示存在 x_igt;y_i（i=1，2，…，n） 。

本節(jié)在 G-α-E- 半預(yù)不變凸條件下考慮如下多

目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

（MP）

s. t.

其中， X?Rⁿ 是關(guān)于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集， 1，2，…，m;k=1，2，…，s） 均為 X 上的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)。

同時(shí)，記（MP）的可行域?yàn)?D ，即

D={x∈X|g_j（E（x））?0，h_k（E（x））=0， j=1，2，…，m，k=1，2，…，s} 定義 7^[25] 設(shè) ，如果不存在 x∈D 使得 成立，則稱 為（MP）的有效解（弱有效解）。（若 min 改成 max ）應(yīng)改成 。

由參考文獻(xiàn)[6]，可類(lèi)似得到如下定義：

定義8稱 為多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題（MP）的真有效解，如果 為（MP）的有效解且存在 Mgt;0 使得對(duì)于滿足 的每一個(gè) i∈{1，2，… 和 x∈X ，都至少存在一個(gè)滿足 f_j（E（x））gt; 的下標(biāo) j ，使得 。定理2設(shè) D，X?Rⁿ 是關(guān)于 η 和 α 的 α-E. 半不變凸集， x^*∈D 為（MP）的真有效解，若 f_i（i=1，2 ，…_δδδ? 為 X 上關(guān)于 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，且 G 和 G^-1 滿足可加性和正齊次性，那么存在（204號(hào) 使得 x^* 為如下問(wèn)題的最優(yōu)解：

（P_t）min_x∈Dt^Tf（E（x））

證明如果 x^* 為（MP）的真有效解，則存在 Mgt;0 使得當(dāng) i=1，2，…，p 取定時(shí)，對(duì)每個(gè) j=1，2，…，p 如下系統(tǒng)在 D 中無(wú)解：

f_i（E（x^*））gt;f_i（E（x））j=i

f_i（E（x^*））-f_i（E（x））gt;M（f_j（E（x））-

f_j（E（x^*）））j≠i

定義

其中

Fⁱ（E（x））lt;0，x∈D

由以上定理?xiàng)l件可知， ?x，y∈X 及 ，

E（y）+α（E（x），E（y））η（E（x），E（y），λ）∈X 且當(dāng) j=i 時(shí)，有

（1-λ）G（f_i（E（y））））-f_i（E（x^*））

?G^-1（λG（M（f_j（E（x）））-f_j（E（x^*）））+f_i（E（x））-

f_i（E（x^*）））+（1-λ）G（M（f_j（E（y））-f_j（E（x^*）））+

f_i（E（y））-f_i（E（x^*））））

=G^-1（λGF_jⁱ（E（x））+（1-λ）GF_jⁱ（E（y）））

所以 F_jⁱ（x）（j=1，2，…，p） 為 X 上關(guān)于 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，由擇一定理（引理3）知，存在 ，使得

即

令

則 t_i^j∈Λ⁺⁺ ，且有

所以 x^* 為（ （P_t） 的最優(yōu)解。

定理3設(shè) D，X∈Rⁿ 是關(guān)于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集， x^*∈D，f_i，g_j，h_k（i=1，2，…，p;j=1，2，…， m;k=1，2，…，s） 均為 X 上關(guān)于同一 η 和 α 的G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，并且 g_j，h_k（j=1，2，… m;k=1，2，…，s） 在 X 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（引理4成立， G 遞增且凹，若（MP）為強(qiáng)相容的，即存在 使得 g（E（Δ?））lt;0，h（E（Δ?））=0 ，又對(duì)（MP）的有效解 x^* ，函數(shù)族 {[?h_k（E（x^*））} ， 在 D 上線性無(wú)關(guān)，則存在

使得

證明由定理2知，存在 x^* ，使得 x^* 為 （P_t） 的最優(yōu)解，從而由文獻(xiàn)[16]（定理3.5）可知存在不全為0的 ，使得

由 g_j，h_k（j=1，2，…，m;k=1，2，…，s） 是 G-α-E. 半預(yù)不變凸函數(shù)，所以有

從而有

若 τ≠0 ，則式（3）可以變形為

，則有 t∈Λ⁺⁺，u∈R₊^m，v∈ R₊^s ，所以式（1）（2）成立。

設(shè) τ=0，u≠0 ，有矛盾不等式

現(xiàn)設(shè) τ=0，u=0，v≠0 ，由于

E（x^?））??_k=1^s

在 D 上線性無(wú)關(guān)，所以

另一方面，由 h_k 的半預(yù)不變凸性，有

矛盾，證畢。

于是 τgt;0 ，式（1）（2）成立。

3 Wolfe型對(duì)偶

問(wèn)題（MP）的wolfe型對(duì)偶問(wèn)題（WD）的形式如下：

L（E（y），u，v）

s.t.

其中：

可行域：

{Γ（t，u，v，y）∈ΓR₊^p×R₊^m×ΓR₊^s×XΓ}

v_τ=（v₁，v₂，…，v_s）^?∈R₊^s} 定理4（弱對(duì)偶）設(shè) X 是關(guān)于 α 與 η 的 α-E- 半不變凸集，連續(xù)實(shí)值函數(shù) 遞增且凹，x∈D，（t，u，v，y）∈W 且 f_i（i=1，2，…，p） ， ^{1，2，…，m）} . h_k（k=1，2，…，s） 是關(guān)于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

證明 使用反證法。不妨設(shè)

f（E（x））?L（E（y），u，v）

由于 tgt;0，t^Te=1 ，不等式兩邊同時(shí)左乘 t^T ，有

又因?yàn)?x∈D，u?0，v?0 ，所以 又因?yàn)?f_i，g_j，h_k 均是 X 上關(guān)于 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，由定理1知 （201 也是關(guān)于同一 η 瑪和雲(yún) α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由引理4得

不等式兩邊分別乘 t_i，u_j，v_k ，使三式相加

定理5（強(qiáng)對(duì)偶）設(shè) _D，X 是關(guān)于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集，且連續(xù)實(shí)值函數(shù) G：I_f（x）R 遞增且凹的， x^*∈D 為（MP）的有效解， 為（WD）的可行解，如果 f_i（i=1，2，…，p），g_j（j=1，2 …，m） h_k（kΘ₌1，2，…，s） 是關(guān)于同一 η 和 α 的G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且（MP）為強(qiáng)相容的，即存在 x^*∈D 使得 g（E（x^*））lt;0 h（E（x^*））=0 ，則存在 t=（t₁，t₂，…，t_p）^Tgt;0 ，u_θ=（u₁，u₂，…，u_m）^T?0，v_θ=（v₁，v₁，…，v_s）^T?0 （20使得 （t，u，v，x^?） 為（WD）的有效解。

證明因?yàn)?x^*∈D 為（MP）的有效解，由定理3知，存在 t∈Λ⁺⁺，u∈R₊^m，v∈R₊^s 使得 （t，u，v，x^*） 為（WD）的可行解，且滿足

顯然兩目標(biāo)函數(shù)值在 x^* 點(diǎn)和 （t，u，v，x^*） 點(diǎn)的函數(shù)值均為 f（E（x^*） ），又對(duì)于（WD）的任意形如（t，u，v，y） 的可行解，由定理4知

L（E（x^*），u，v）

由定義7知 （t，u，v，x^*） 為（WD）的有效解。

定理6（逆對(duì)偶）設(shè) _D，X 是關(guān)于 η 和 α 的 α-E- 半不變凸集，且連續(xù)實(shí)值函數(shù) G：I_f（x）R 遞增且凹的， x∈D 為（MP）的可行解， （t，u，v，y）∈W 為（WD）的可行解，其中 t∈Λ⁺⁺，u∈R₊^m，v∈R₊^s ，f_i（i=1，2，…，p） g_j（j=1，2，…，m） h_k（k=1，2 ，…，s） 是關(guān)于同一 η 和 α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足 f（E（x））?L（u Φ_v，y） ，則 ，且 x 是（MP）的有效解。

證明（1）首先證 。如若不然，不妨假設(shè)x≠y 。

由定理4的推導(dǎo)過(guò)程，可得

在該題設(shè)條件

不等式兩邊同時(shí)左乘 t^T ，可得

顯然上述兩式矛盾，所以 x=y 。

（2）第二步證 y 是（MP）的有效解。假設(shè) y 只是問(wèn)題（MP）的某個(gè)可行解而非有效解，由定義6知，存在（MP）的另一個(gè)可行解 ，使得

由 t∈Λ⁺⁺ ，可知 t^Te=1 ，所以

又 ，和題設(shè)條件

可得

又因?yàn)? 也是關(guān)于同一 η 和α 的 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

所以由定理5的推導(dǎo)過(guò)程，可得

其與

相矛盾。

所以 x （即 y ）是（MP）的有效解。

4結(jié)語(yǔ)

本文引人一類(lèi)新型的廣義凸函數(shù)—G-α-E-半預(yù)不變凸函數(shù)，通過(guò)舉例說(shuō)明這類(lèi)廣義不變凸函數(shù)是大量存在的；在新的廣義凸性假設(shè)下建立了多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，給出了這類(lèi)問(wèn)題的最優(yōu)性充分條件；建立與多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題對(duì)應(yīng)的Wolfe型對(duì)偶模型，通過(guò)探討該模型與原問(wèn)題之間可行解和有效解的關(guān)系，獲得了弱對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶和逆對(duì)偶定理，并對(duì)其結(jié)果加以證明。研究結(jié)果拓展了已有文獻(xiàn)中與凸規(guī)劃相關(guān)的結(jié)論，通過(guò)進(jìn)一步研究 G-α-E- 半預(yù)不變凸函數(shù)，有助于我們更深入地理解這一概念，并且可以將其廣泛應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

在后續(xù)研究中，將進(jìn)一步探索鞍點(diǎn)定理和相關(guān)算法的應(yīng)用，以更深人地理解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的復(fù)雜性。此外，將探討如何將這些理論和方法應(yīng)用于多目標(biāo)分式規(guī)劃等實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，為解決現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題提供有效的解決方案。這一研究領(lǐng)域的不斷發(fā)展將為優(yōu)化理論和實(shí)踐帶來(lái)新的啟示，并推動(dòng)相關(guān)領(lǐng)域的進(jìn)步和發(fā)展。

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（責(zé)任編輯：周曉南）

Wolfe-type Duals for G -α- E -Semi-Preinvex Programming

LI Yu*，WEI jia（College of Mathematicsand Computer Science，Yan’anUniversity，Yan’an716Ooo，China）

Abstract： The article introduces a new class of generalized convex functions called G α E - semi-preinvex functions；Subsequently，itdiscussesmulti-objectiveoptimizationproblemsassociated withthis classoffunctions and provides suficient conditions for optimality；Finally，it establishes the corresponding Wolfe-type dual model and examines therelationship between feasible and optimal solutions of this model and the original problem， obtaining the weak duality，strong duality，and inverse duality theorems.Its study enriches the existing literature on Wolfe-type dyadic theories related to generalised convex programming.

Keywords ： G α E - semi-preinvex functions；multi-objective programming；optimality conditions；Wolfe-type duals