基于多視角的二元不等式求最值問題研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1673-8918（2025）20-0061-03

高三學生進行一輪復習時，對二元不等式求最值的問題，往往出現(xiàn)無從下手、思路不清晰的情況。有些同學即使解答出來了，也有一種“瞎貓碰到死耗子”的感覺，即解題思路不明確。

美籍匈牙利數(shù)學教育家波利亞非常提倡多角度解題。他認為多角度解題是培養(yǎng)學生數(shù)學才能和教會他們思考的一種重要手段和途徑。解題思路就像是金庸筆下武林高手的內(nèi)功，具體解題方法像是具體的武功招式，每個人都有可能將一種武功招式練得出神人化，但無內(nèi)功的人終將成為不了武林高手。

一、解題思想方法的總結(jié)歸納

一般不等式以變量、次數(shù)、形式（結(jié)構）構成，文章對不等式的解題思路也從這幾個方面展開，具體如圖1所示。

總結(jié)歸納：1.在二元對稱多項式中用地位平等所求的值有可能不是題目要求的最值。這是因為它只是求得極值，并不一定是最值。此方法一般適用于做小題。

2.比值代換有時還可以用于分離變量。

3.特別是在分式中將多項式換元成單項式也是常見的一種處理思路。

二、例題詳解

下面以具體的例題對上述二元不等式的解題視角進行具體分析運用。

【例】（2022年新高考 I 卷，12題）若 x，y 滿足 x²+y²-xy=1 ，則

A. x+y?1 B. x+y≥-2

C. x²+y²≤2 （2 D. x²+y²?1

方法一：分析：從元入手，想著消元，題目條件給的是二元二次方程，可以先配方，再換元消一次項。

解：由 x²+y²-xy=1 ，得 Y cos02，則 ，所以 x+y= 32y=sin0 。綜上可知 B ，C正確。

方法二：分析：不一定將 x，y 看作是兩個變量，我們也可以將 x+y，x²+y² ，xy 等整體看作變量，然后利用基本不等式及變形形式，進行消元。

解： 1=x²+y²-xy=（x+y）²-3xy?（x+y）²- 當且僅當 x=y=1 或-1時，等號成立，故B正確。又因為 ≥xy，所以1=2+xy2+22 。當且僅當 x=y=1 或-1時，等號成立。而“ x²+y² ”的最小值沒法用不等式放縮等到，但我們可以進行驗證： x²+y²≥1?x²+y²≥x²+ y²-xy?xygtrless0 。因為 x，y∈R ，所以 xy?0 不可能恒成立的?？膳e反例令 代人 1=x²+y²-xy 中取 ygt;0 的值，可求得 經(jīng)檢驗有 x²+y²= 。綜上可知B，C正確。

方法三：分析：用萬能 k 法，本質(zhì)上還是消元思想。

解：令 x+y=k，∴1=x²+y²-xy=（k-y）²+y²- （k-y）y，3y²-3ky+k²-1=0 ，所以 =-3k²+12?0，k²?4∴x+y∈[-2，2] 。令 x²+y²= t，∴（x-y）²=t-2xy=t-2（t-1）=-t+2?0?t?2 x²

方法四：分析：從次數(shù)角度看，可以進行配其次化。

解：令 ，t∈R，有（x+y）2： 由分式函數(shù)求值域可知 （x+y）²∈[0，4] 由 x，y 對稱性及均可取正負，故 （λ_x+y）∈[-2，2] 。 當t=-1，1 時取到邊界。

方法五：分析：直接比值代換也可以進行分離變量，從而達到消元目標。

解：令 ，于是： 1=x²+y²-xy=（t²-t+ 從而

方法六：分析：主元法，還是以消元為目標。

解：在條件 1=x²+y²-xy 中以 y 為主元，看作關于y的一元二次方程，所以x=y±√4-3y2 ，所以0 。由于 x，y 對稱，不妨取 ，代人有h=x+y=y+√4-3y2 ，化簡得 （1）Δ=9k²-12（ωk²-1）?0，k²?4，x+y∈[-2，2] 。經(jīng)檢驗，當 k=2 時，代入（1）中，有 y²-2y+1=0，y=1 在定義域內(nèi)。當 k=-2 時，代入（1）中，有 y²+2y+1= ^0，y=-1 在定義域內(nèi)。所以 x+y 的最大值和最小值分別為2，-2。但用這個方法求“ x²+y² ”的最值就不太適用了，計算量太大。

方法七：分析：利用二元對稱性取極值。

解：由題干和問題中 x，y 的表達知 x，y 對稱，所以在 x=y 時可以取到極值，代入條件 1=x²+y²- xy中，解得 x=y=1 或 ^-1 。從而“ x+y ”的最值可求得，“ x²+y² ”的最大值求得，但其最小值沒法求的。需要注意的是，在未知情況下，一般需要代值驗證一下所求得值為最大還是最小，也有可能兩者均不是，故一般慎用此法。

方法八：分析：數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義。二元二次方程所對圖像為圓錐曲線，可知 x²+y²-xy= 1表示的為非標準曲線，故去 xy 項。

解：令 原條件為 1=（a-b）²+（a+b）²- （204號 看作是關于 ^a，b 的橢圓，那么根據(jù)橢圓上點的取值范圍和點到原點的距離公式，可知 x+y=2a∈[-2，2] ， x²+y²=2（a² ，綜上可知B，C 正確。

點評：此類題均可用這個方法變換成標準型圓錐曲線，目標為消去一次項和 xy 項

方法九：分析：從向量的數(shù)量積角度分析。

。令 ，設 2y=x+y，∴ m=1，n=√3，即b=（1，3）。于是由 -|a|?|b|?a?b?|a|?|b| ，知 x+y∈[-2 2]。又令 x²+y² 取 于是由 -∣a∣?∣c∣?a?c?∣a∣?∣c∣ ，知 x²+y²? ，令 t=x²+y² ，則 ，綜上可知B，C正確。

點評：上述向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成不等式的角度看即為二元柯西不等式。

方法十：分析：數(shù)形結(jié)合，利用三角形余弦定理。

解：當 x=0 時可得 y=1 或 -1，∴x+y=1 或 ^-1 0而當 x，ygt;0 時，條件可變?yōu)? ^°=1 ，從而看作邊長為 x，y，1 的三角形，其角分別記為 ∠A，∠B，∠C 。其中，邊長為1所對的角記為 ，于是此三角形的外接圓的半徑確定，那么固定點 _{A，B，C} 在外接圓上動，從而由幾何對稱性可知當 ΔABC 為等邊三角形時，其周長最大，即 Ω_x+ y?2 ，再由 x，y 的對稱性可知 -2?x+y ，所以 x+y ∈[-2，2] 。由條件知，當求 x²+y² 的最大值時，顯然可以設 x，ygt;0 來求，且為等邊三角形時取到最大值，但求最小值時就不適用此方法。

總結(jié)：高考題往往可以從多個角度嵌入，所以在學習過程中，要多角度去想問題，解決問題

三、結(jié)論

數(shù)學是培養(yǎng)和訓練學生思維的重要學科，教師在平時的教學中，要有意識地培養(yǎng)學生多角度去思考問題發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的有效方法，讓學生從解題過程中感悟其中蘊含的數(shù)學方法，使思維更開闊，從而提升學生自己的思維能力和解題能力，真正將數(shù)學的核心素養(yǎng)落到實處。

參考文獻：

[1]波利亞.怎么解題—數(shù)學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭?，2011.

[2]教育部教育考試院.高考試題分析（數(shù)學）[M].北京：語文教育出版社，2022.