二次曲線中的蝴蝶定理及其簡證

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0002-05

蝴蝶定理是一個在圓中成立的美妙結(jié)論，而實際上它能被推廣到任意二次曲線.在本文中，借助二次曲線，給出了這一推廣的簡潔證明.基于該推廣，能夠編擬出許多具有較大難度的平面解析幾何題目，同時本文也給出了這些題目的完整解答.

1 一道高考題及其解答

題1（2003 年高考北京卷理科第18 題）如圖1，橢圓的長軸 A₁A₂ 與 x 軸平行，短軸 B₁B₂ 在 y 軸上，中心為點 M（0，r）（bgt;rgt;0）^[1-2]

（1）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率；

（2）設(shè)直線 y=k₁x 交橢圓于兩點 C（x₁，y₁） ， D（x₂，y₂）（y₂gt;0） ；直線 交橢圓于兩點 G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄gt;0） .求證

（3）對于（2）中的四點 C，D，G，H ，設(shè)線段 CH 交x 軸于點 P ，線段 _GD 交 x 軸于點 Q 求證： ∣OP∣ =|OQ| .（證明過程不考慮線段 CH 或 _GD 垂直于 x 軸的情形）

解析 （1）所求橢圓的方程為 ε=1 ，左、右焦點的坐標(biāo)分別為 ， ，離心率

（2）將直線 CD 的方程 y=k₁x 代人橢圓方程 =1，得

b²x²+a²（k₁x-r）²=a²b².

即

由韋達(dá)定理，可得

所以

將直線 GH 的方程 y=k₂x 代人橢圓方程 后，同理可得

（3）可設(shè)兩點 P（p，0），Q（q，0）

由 C，P，H 三點共線，可得

解得

由 D，Q，G 三點共線，同理可得

解得

由第（2）問的結(jié)論 可得

所以 |p|=|q|

即 |OP|=|OQ|

2 高考題的背景分析

題1這道高考題的背景是蝴蝶定理.蝴蝶定理最先是一個征解的證明問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》第 39～40 頁.而“蝴蝶定理”.

這個名稱最早出現(xiàn)在《美國數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號，由于其幾何圖形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名.

蝴蝶定理的內(nèi)容是：如圖2所示，圓 o 的弦 PQ 的中點為 M ，過點 M 任作兩弦 AB，CD ，弦 AD 與 BC 分別交弦 PQ 于點 X，Y ，則 M 為線段 XY 的中點.

有意思的是，直到1972年以前，人們對蝴蝶定理的證明都十分煩瑣且非初等.至于初等數(shù)學(xué)的證法，在國外出現(xiàn)的資料中，一般都認(rèn)為是由一位中學(xué)教師斯特溫首先給出的面積法證明.1985年，在河南省《數(shù)學(xué)教師》創(chuàng)刊號上，山東大學(xué)杜錫錄教授以“平面幾何中的名題及其妙解”為題向國內(nèi)介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地傳開.

下面介紹一種較為簡便的初等證法：

如圖3所示，作 OS⊥AD 于點 S，OT⊥BC 于點T ，連接 OX，OY，MS，MT，OM.

由 ΔAMD～ΔCMB 及垂徑定理，可得

再由 ∠A=∠C ，可得

ΔAMS?ΔCMT，∠MSX=∠MTY.

由 ∠OSX+∠OMX=90^°+90^°=180^° ，可得 o ，

s，X，M 四點共圓.

所以 ∠MSX=∠MOX.

同理可得 o，T，Y，M 四點共圓所以 ∠MTY=∠MOY. （2從而 ∠MOX=∠MOY. （204號

由 M 是弦 PQ 的中點，可得 OM⊥XY ，進(jìn)而可得M 為線段 XY 的中點.

實際上，還可把蝴蝶定理推廣到任意的圓錐曲線中.

定理 （二次曲線中的蝴蝶定理）若過二次曲線 T 的弦 AB 的中點 M 任作兩條弦 _CD，EF ，直線 CE，DF 與直線 _AB 分別交于點 P，Q ，則∣MP∣=∣MQ∣

3定理的兩種證明

證法1如圖4所示，以 M 為坐標(biāo)原點，直線_AB 為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系 xMy

可設(shè)二次曲線 T 的方程為

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0.

再設(shè)兩點 A（0，t），B（0，-t）（t≠0） ，可得 t，-t 是關(guān)于 y 的方程 cy²+ey+f=0 的兩個根

所以 cf≠0，e=0

得二次曲線

T：ax²+bxy+cy²+dx+f=0.

當(dāng)直線 _CD，EF 的斜率有不存在的情形時，可得

∣MP∣=∣MA∣=∣MB∣=∣MQ∣.

當(dāng)直線 CD，EF 的斜率均存在時，可設(shè) C（x₁）

k₁x₁），D（x₂，k₁x₂），E（x₃，k₂x₃），F(xiàn)（x₄，k₂x₄），P（0， p），Q（0，q） ，得直線

再得p=x

同理，可得

進(jìn)而可得

由 可得

（a+bk₁+ck₁²）x²+dx+f=0.

0

同理，可得

所以

進(jìn)而可得 p+q=0 即 |MP|=|MQ|

引理設(shè)兩條二次曲線 f_i（x，y）=0（i=1，2） 有且僅有四個公共點，則過這四個公共點的二次曲線系方程為 ，其中常數(shù) λ₁，λ₂∈R 5

證法2 如圖4所示，以 M 為坐標(biāo)原點，直線_AB 為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系 xMy 由定理的證法1知，可設(shè)二次曲線 T 的方程為

ax²+bxy+cy²+dx+f=0.

可設(shè)兩條直線 _CD，EF 的方程分別是

α_ix+β_iy=0（i=1，2），

則由兩條直線 _CD，EF 組成的二次曲線是

由引理可得，過兩條二次曲線 T，Y 的四個公共點 C，D，E，F(xiàn) 的二次曲線系方程為

其中常數(shù) （20號

設(shè)由兩條直線 _CE，DF 組成的二次曲線是 ψ ，因為四點 C，D，E，F(xiàn) 均在二次曲線 ψ 上，所以存在λ₁=λ₁^′，λ₂=λ₂^′∈R;∣λ₁^′∣+∣λ₂^′∣≠0 ，使得此時的方程 ① 即

表示二次曲線 ψ.

在 ② 中令 x=0 ，可得

（λ₁^′c+λ₂^′β₁β₂）y²+λ₁^′f=0.

因為這個關(guān)于 y 的方程的兩個根分別是兩點P，Q 的縱坐標(biāo)，所以由韋達(dá)定理可得

yp +yQ =0. 因而 |MP|=|MQ|

4蝴蝶定理的應(yīng)用

題2過橢圓 的左焦點 F 作兩條直線分別交橢圓于 ^A，B 兩點和 ^C，D 兩點，其中點 A 的坐標(biāo)是（0，1）.再過點 F 作 x 軸的垂線分別交直線 AD，BC 于點 E，G. （2

（1）求點 B 的坐標(biāo)及直線 AB 的方程;

（2）求證： |EF|=|FG| 解析 可得橢圓 W 的左焦點 F（?-1，0）

（1）由直線 AB 經(jīng)過兩點（-1，0），（0，1），可求得直線 AB 的方程是 y=x+1

將直線 AB 的方程與橢圓 W 的方程聯(lián)立，解此方程組可求得點 B 的坐標(biāo)是

（2）當(dāng)直線 CD⊥x 軸時，由橢圓 W 關(guān)于 x 軸對稱，可得欲證結(jié)論成立.

當(dāng)直線 CD 與 x 軸不垂直時，可設(shè)直線 CD：y =k（x+1）（k≠1） 及兩點 C（x₁，k（x₁+ 1）） ，D（x₂，k（x₂+1））

聯(lián)立 可得

（2k²+1）x²+4k²x+（2k²-2）=0.

由題設(shè)可得這個關(guān)于 x 的一元二次方程的判別式 Δgt;0 ，且

可求得直線 AD

令 x=-1 ，可求得點

還可求得直線 BC

令 x=-1 ，可求得點

所以

所以 y_G+y_E=0 進(jìn)而可得 |EF|=|FG| 綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

（2）的另解由定理可得欲證結(jié)論成立，下面給 出詳細(xì)證明過程.

把題中的所有圖形均沿向量 （其中 o 是坐標(biāo)原點）平移，可得原題等價于下面的問題：

在平面直角坐標(biāo)系 x^′O^′y^′ 中，過橢圓 W^′ 的左焦點即坐標(biāo)原點 作兩條直線分別交橢圓于 A^′，B^′ 兩點和 C^′，D^′ 兩點，其中 A^′ ，B^′ 兩點的坐標(biāo)分別是 .設(shè)兩條直線 A^′D^′，B^′C^′ 分別與 y^′ 軸交于點 E^′，G^′ ，求證：∣E^′F^′∣=∣F^′G^′∣.

證明如下：

可求得直線 A^′B^′：x^′-y^′=0 可設(shè)直線 C^′D^′：αx^′-βy^′=0 則由兩條直線 A^′B^′，C^′D^′ 組成的二次曲線是

Y_：（x^′-y^′）（αx^′-βy^′）=0.

由引理可得，過兩條二次曲線 +2y^′2-2=0 與 γ 的四個公共點 A^′，B^′，C^′，D^′ 的二次曲線系方程為

-βy^′）=0 ， ③ 其中常數(shù) （204號

設(shè)由兩條直線 A^′D^′，B^′C^′ 組成的二次曲線是ψ. 因為四點 A^′，B^′，C^′，D^′ 均在二次曲線 ψ 上，所以存在 λ₁=λ₁^′，λ₂=λ₂^′∈R;∣λ₁^′∣+∣λ₂^′∣≠0 ，使得此時的方程 ③ 即

表示二次曲線 ψ.

在 ④ 中令 x^′=0 ，可得

（2λ₁^′+βλ₂^′）y^′2-λ₁^′=0.

因為這個關(guān)于 y^′ 的方程的兩個根分別是兩點E^′，G^′ 的縱坐標(biāo)，所以由韋達(dá)定理可得

y_E^′+y_G^′=0.

因而 ∣E^′F^′∣=∣F^′G^′∣

5 結(jié)束語

認(rèn)真鉆研高考題是教師的重要教學(xué)研究活動[4]，包括追求本質(zhì)、自然、規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔、優(yōu)雅的解題教學(xué)，發(fā)現(xiàn)、闡釋高考題的背景等.教師要不斷提高自身的解題素養(yǎng)，包括深入了解數(shù)學(xué)文化（比如數(shù)學(xué)家的鉆研精神等）、鉆研數(shù)學(xué)名題.在平面解析幾何教學(xué)中，教師要熟練掌握二次曲線系、平移等知識、方法及其在解題中的應(yīng)用.解答平面解析幾何問題，不僅能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，也能很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)[5].

參考文獻(xiàn)：

[1］甘志國.數(shù)學(xué)文化高考題舉隅（Ⅱ）［J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2017（05）：3-9.

[2］甘志國.數(shù)學(xué)文化高考研究［M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2018.

[3］李鴻昌.二次曲線系在圓錐曲線四點共圓問題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2022（07） ：92 -94.

[4］甘志國.從解題教學(xué)談高效課堂[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬），2018（03）：6-12.

[5］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]