同構(gòu)法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0039 -03

同構(gòu)法是高中數(shù)學(xué)中重要的解題方法.運(yùn)用該方法時(shí)，學(xué)生需要依據(jù)題干信息，挖掘數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)在的結(jié)構(gòu)關(guān)系，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一框架下的同構(gòu)形式，其核心在于突破表象差異，激活學(xué)生深層次的數(shù)學(xué)思維.同構(gòu)法適用函數(shù)、不等式等多個(gè)知識(shí)模塊，主要價(jià)值體現(xiàn)在提升解題效率、簡(jiǎn)化邏輯推理過(guò)程以及整合知識(shí)點(diǎn).在具體應(yīng)用中，可遵循三個(gè)步驟：首先識(shí)別同構(gòu)特征，其次進(jìn)行定向變形，最后依托函數(shù)性質(zhì)求解.例如，在解決恒成立問(wèn)題時(shí)，需分離變量構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，并驗(yàn)證變量定義域，分析其對(duì)結(jié)果產(chǎn)生的影響；在函數(shù)大小比較中，則要確保結(jié)構(gòu)變形合理成立.教師通過(guò)開(kāi)展針對(duì)性訓(xùn)練，能夠逐步推動(dòng)學(xué)生從“解題思維”向“構(gòu)建思維”進(jìn)階，為解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題筑牢基礎(chǔ).

1 在函數(shù)比大小中應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)或表達(dá)式的比較是常見(jiàn)題型，同構(gòu)法可作為有效的解題策略.運(yùn)用同構(gòu)法時(shí)，需通過(guò)構(gòu)造同構(gòu)式，并借助函數(shù)的單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.具體而言，首先應(yīng)根據(jù)給定條件建立聯(lián)系——以函數(shù)比大小為例，需挖掘所給函數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系，通過(guò)代數(shù)變形、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換等方式，將待比較函數(shù)統(tǒng)一為結(jié)構(gòu)相同的表達(dá)式[1]；其次，針對(duì)構(gòu)造后的函數(shù)，可通過(guò)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性或?qū)ふ曳纸琰c(diǎn)、確定極值點(diǎn)位置，分析函數(shù)在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的變化趨勢(shì)；最后，利用映射和反演等方法完成題目的求解.遵循這樣的步驟，能夠顯著簡(jiǎn)化思考路徑.

例1設(shè) 則下列大小的關(guān)系正確的是（ ）.

A. b

解析 在解答本題目時(shí)，可以先假設(shè) h（x） =tanx-x，0

所以 h（x）=tanx-x 在（0，1）上單調(diào)遞增.

所以 h（x）=tanx-xgt;h（0）=0.

即 tanxgt;x，0

令 ，則

所以 在（0，1）上單調(diào)遞增則 （204

即 ， x∈（0，1）

所以

則當(dāng) x=0，21 時(shí)，

所以 cgt;agt;b ，故選B.

2 在函數(shù)最值問(wèn)題中應(yīng)用

在求解函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)題目條件識(shí)別同構(gòu)特征，觀察題目中函數(shù)的表達(dá)式，探索指數(shù)、系數(shù)等結(jié)構(gòu)相似點(diǎn)，通過(guò)變量替換、冪運(yùn)算等方式定向變形對(duì)齊結(jié)構(gòu)，將原函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的形式，構(gòu)建出相同的“骨架”形式，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解[2].這也就是根據(jù)構(gòu)造后的函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性和周期性等性質(zhì)展開(kāi)分析，找到區(qū)間內(nèi)的最值（最大值或最小值），最后驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性，確保計(jì)算出的結(jié)果符合題目條件以及求解要求.

例2已知函數(shù) 若 f（x） 有兩個(gè)極值點(diǎn) x₁，x₂ ，且 f（x₁）+f（x₂）lt;λ（x₁ +x₂ ）恒成立，則實(shí)數(shù) λ 的取值范圍為（ ）.

解析由 ，得 因?yàn)?f（x） 有兩個(gè)極值點(diǎn) x₁，x₂ ，所以 x₁，x₂ 是方

程 x²-ax+1=0（xgt;0） 的兩個(gè)不同的實(shí)根.所以 Δ=a²?4gt;0 ，且 x₁+x₂=agt;0，x₁x₂lt;1 若不等式 f（x₁）+f（x₂）lt;λ（x₁+x₂） 恒成立，則

gt;f（x）+f（x2）恒成立.因?yàn)?

設(shè) ，則（204號(hào) 因?yàn)?a²gt;4 ，所以 h^′（a）lt;0 所以 h（a） 在 （2，+∞） 上單調(diào)遞減.所以 所以 故選A.

3 在恒成立問(wèn)題中應(yīng)用

在求解恒成立問(wèn)題時(shí)，需依據(jù)已知條件，運(yùn)用同構(gòu)法將不等式或等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一形式，從而明確變量間的關(guān)系.在這一過(guò)程中，學(xué)生要確保構(gòu)造的等價(jià)性，隨后深入探討構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，包括定義域、通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性以及分析極值等.這有助于清晰梳理變量間的約束條件，借助分離變量的思想，將復(fù)雜問(wèn)題拆解為多個(gè)獨(dú)立部分，把原本抽象的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀易懂的形式，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.遵循上述步驟，能夠有效提升學(xué)生的解題效率，增強(qiáng)分析的嚴(yán)謹(jǐn)性，保障結(jié)果的準(zhǔn)確性.

例3設(shè)函數(shù) ，若 f（x）gt;（k-1）x-1 恒成立，則滿足條件的正整數(shù)k 可以是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析 構(gòu)造函數(shù) -1）x+1 ，

則

因?yàn)?xgt;0 ，所以

則當(dāng) 2-k?0 ，即 k?2 時(shí)， g^′（x）gt;0 ，當(dāng) xgt;0 時(shí)恒成立，故 在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增.

則 g（x）gt;g（0）=1gt;0 ，即 k?2 符合題意，故滿足條件的正整數(shù) k 為1或2.

當(dāng) 2-klt;0 ，即 kgt;2 時(shí)，令 g^′（x）gt;0 ，則 xgt; e^k-2-1 故 g（x） 在 （0，e^k-2-1） 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.

則 g（x）?g（e^k-2-1）=k-e^k-2gt;0.

構(gòu)造函數(shù) G（k）=k-e^k-2 ，則 G^′（k）=1-e^k-2 lt;0 ，當(dāng) kgt;2 時(shí)恒成立.

故 G（x） 在 （2，+∞） 上單調(diào)遞減 則 G（k）0

因?yàn)?G（3）=3-egt;0，G（4）=4-e²lt;0 ，所以滿足 G（k）gt;0（kgt;2） 的整數(shù) k=3

綜上，符合條件的整數(shù) k 為1或2或3.

故選ABC.

例4已知關(guān)于 x 的不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是

解析 原不等式

構(gòu)造函數(shù) 則 （20號(hào) 則

令 f^′（x）=2lnx+3=0 ，解得 ，故當(dāng) 0 時(shí) f^′（x）lt;0 ；當(dāng) 時(shí) f^′（x）gt;0

所以 f（x） 在 上單調(diào)遞減，在 +∞） 上單調(diào)遞增，且

若 alt;0 ，則當(dāng) xgt;1 時(shí)， 此時(shí) 恒不成立.

故 a?0. 所以

所以 成立，只需 成立即可.即 恒成立.

令 則 （204號(hào)

當(dāng) xgt;1 時(shí)， h^′（x）lt;0 ；當(dāng) 0′（x）gt; 0，所以 h（x） 在（0，1）上單調(diào)遞增，在 （1，+∞） 上單調(diào)遞減，故 h（x）_max=h（1）=1. 所以 a?1 ：故答案為 [1，+∞）

4 結(jié)束語(yǔ)

同構(gòu)法是解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法之一，能夠培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維與遷移應(yīng)用能力，幫助他們更好地應(yīng)對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題.在教學(xué)過(guò)程中，教師需著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用同構(gòu)法，同時(shí)警惕“偽同構(gòu)”的解題陷阱，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面提升.

參考文獻(xiàn)：

[1］張峰.巧用同構(gòu)法解答含有指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的不等式問(wèn)題［J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版），2024（12） ：44.

[2］時(shí)科峰.例析用同構(gòu)法解決不等式問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2024（27）：41-43.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]